張志銀，劉丹丹

(1.鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，河南鄭州　451191；2.中原工學(xué)院理學(xué)院，河南鄭州　450007)

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矩形波卷積求解方法的研究

張志銀1，劉丹丹2

(1.鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，河南鄭州451191；2.中原工學(xué)院理學(xué)院，河南鄭州450007)

本文詳細(xì)地分析了矩形波卷積的方法，并結(jié)合矩形波本身的特點，重點討論了三種較為簡便的方法.通過對比，我們總結(jié)出這些方法的優(yōu)點以及適用對象，最后舉例說明各個方法的具體計算過程.

矩形波；卷積；沖激函數(shù)；門函數(shù)①

0　引言

卷積是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它在信號和系統(tǒng)理論中占有重要地位，特別是在線性時不變系統(tǒng)，簡稱LTI(Linear Time Invariant)系統(tǒng)中，有著重要的應(yīng)用，可歸結(jié)為以下幾個方面：

(1)任一信號均可分解為沖激信號的疊加，即信號與沖激函數(shù)的卷積，從而得到求解LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積原理，所以它是時域系統(tǒng)分析的強有力工具，可避免直接求解復(fù)雜的微分方程；

(2)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可用輸入信號與系統(tǒng)本身的沖激響應(yīng)進行時域卷積而得到，無論對系統(tǒng)作時域分析還是變換域分析，這個結(jié)果都非常重要，可以減少運算量，大大簡化計算過程；

(3)卷積的實際物理意義就是把某時刻以前的輸入對此事的影響都累加起來，這個特點在離散序列里面看得更清楚，這是系統(tǒng)具有必然性的結(jié)果.

在工程應(yīng)用中常見的一種信號就是矩形波，它不僅簡單而且是組成其它復(fù)雜信號的基礎(chǔ)，而矩形波卷積是信號與系統(tǒng)分析中經(jīng)常遇到的問題[1-3].因此，討論兩矩形波卷積的計算方法有著十分重要的意義.

1　卷積積分及其性質(zhì)

1.1卷積積分

(1)

1.2卷積的主要性質(zhì)

由定義易知卷積滿足交換律、分配律、結(jié)合律等代數(shù)運算，本文主要討論矩形波卷積的方法，下面僅列出與矩形波卷積計算關(guān)系密切的性質(zhì).

性質(zhì)1若f1(t)和f2(t)的取值區(qū)間分別為(t1a,t1b)、(t2a,t2b)， 則f(t)=f1(t)*f2(t)的取值區(qū)間為(t1a+t2a,t1b+t2b).

注：此性質(zhì)也適用于取值區(qū)間為閉區(qū)間.

性質(zhì)2函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積是它本身，即

f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)

(2)

性質(zhì)3若f(t)=f1(t)*f2(t)，則

f1(t-t1)*f2(t-t2)=f1(t-t2)*f2(t-t1)=f(t-t1-t2)

(3)

此性質(zhì)十分重要，有利于簡化卷積求解的過程.它表明：卷積結(jié)果的曲線形狀只與相卷的兩個函數(shù)形狀有關(guān)，而與相卷兩個函數(shù)的具體位置無關(guān).這一性質(zhì)跟信號與系統(tǒng)的理論是相符的.

若設(shè)f1(t) 為信號，f2(t)為LTI系統(tǒng)，則f2(t-t2)仍為LTI系統(tǒng)，故延遲的信號f1(t-t1)通過LTI系統(tǒng)f2(t-t2)后得到的輸出信號形狀肯定與未延遲時一致，僅有些延時(位移) 而已.即f1(t)*f2(t) 與f1(t-t1)*f2(t-t2) 形狀相同，僅位置不同.

性質(zhì)4(卷積的微分與積分)若f(t)=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)，則

其導(dǎo)數(shù)

(4)

其積分

(5)

如果對(4)(5)兩式分別求積分或求導(dǎo)，則有

(6)

2　矩形波卷積的計算方法

矩形波是一種簡單且常見的一種信號，矩形波在信號與系統(tǒng)中占有相當(dāng)重要的地位，故討論兩矩形波卷積的計算方法有著十分重要的意義.由于矩形波自身函數(shù)特點，我們除了直接根據(jù)卷積定義計算外，還可結(jié)合性質(zhì)得到幾種簡便計算方法.本節(jié)討論了矩形波卷積的幾種較為簡便的計算方法，并比較這些方法的特點及適用對象，以便更好地計算矩形波卷積.

2.1定義法

設(shè)任意兩矩形波，如圖1所示，其中d-c≤b-a，求卷積f(t)= f1(t)*f2(t).按照卷積積分的定義，將兩信號的函數(shù)表達(dá)式直接代入公式(1)計算即可.

圖1　任意兩矩形波的波形圖

2.2圖解法

圖2　圖解法示意圖

設(shè)A 與D 點，C 與B 點，C 與A 點，D 與B 點重合的坐標(biāo)值分別為t1、t2、t3、t4，兩矩形波的高分別為k1，k2，則有

t1-c=a?t1=a+c，t2-d=b?t2=b+d，

t3-d=a?t3=a+d，t4-c=b?t4=b+c.

設(shè)t由-∞逐漸增大(即f2(t-τ) 由左向右移).當(dāng)t>t1時，由0開始增大，當(dāng)t>t3時， 達(dá)最大值. 由于d-c≤b-a，所以當(dāng)t>t4時， 由最大值開始變小，當(dāng)t>t2時，又變?yōu)榱?因此，

其波形圖,如圖3所示.

圖3　矩形波卷積的波形圖

2.3門函數(shù)法

矩形函數(shù)常常用階躍函數(shù)來表示.在上圖1中，所示的兩個矩形波分別表示為

f1(t)=ε(t-b)-ε(t-a) ，f2(t)=ε(t-d)-ε(t-c).

由于這種簡單的表達(dá)形式，我們利用公式(3)及常用卷積ε(t)*ε(t)=tε(t)，不用畫圖便可求出卷積積分

f1(t)*f2(t)=[ε(t-b)-ε(t-a)]*[ε(t-d)-ε(t-c)].

2.4微分與積分法

圖4　微分與積分法示意圖

2.5矩形波卷積的圖形

由以上分析可知:

①兩個不等寬矩形波的卷積為一等腰梯形，梯形高為兩矩形波高之積與較短矩形波長度的乘積(即k1k2(d-c))，短邊長度為兩矩形波長度之差，長邊長度為兩矩形波長度之和.

注: 此處的高可為正或負(fù).

②兩等寬矩形波卷積，結(jié)果為一等腰三角形，底邊為兩矩形波長度之和，高度為兩矩形波高度與矩形波長度的乘積.

3 實例分析

例 f1(t)與f2(t)為如圖5所示兩矩形波，計算f1(t)*f2(t).

圖5　兩矩形波的波形

解 ①圖解法

直接利用2.2圖解法的結(jié)論，此題為兩不等寬的矩形波作卷積，由圖5知，a=2，b=6，c=1，d=4，k1=2，k2=1，從而t1=3，t2=10，t3=6，t4=7， k1k2(d-c)=2，故f1(t)*f2(t)的波形取值范圍為[3,10]，卷積圖形為一等腰梯形，高1×2×(4-3)=2，短邊長為4-3=1，長邊長度為3+4=7，如圖6所示.

圖6　卷積圖形

②門函數(shù)法

由圖5可知，

f1(t)=ε(t-1)-ε(t-4)，f2(t)=2[ε(t-2)-ε(t-6)]

故

f1(t)=[ε(t-1)-ε(t-4)]*2[ε(t-2)-ε(t-6)]

=2[ε(t-1)*ε(t-2)-ε(t-1)*ε(t-6)-ε(t-4)*ε(t-2)+ε(t-4)*ε(t-6)]

=(2t-6)ε(t-3)-(2t-14)ε(t-7)-(2t-12)ε(t-6)+(2t-20)ε(t-10)

此函數(shù)波形與圖6相同.

③利用微分與積分性質(zhì)

圖7　微分、積分和卷積的波形圖

以上，同一例題利用本文給出的三種不同的解法進行計算，通過比較不難得到如下結(jié)論：

①門函數(shù)法計算直接明了，易于求函數(shù)表達(dá)式，且適用范圍廣，對兩個信號均不是矩形波的情形同樣適用，但不易直接得到卷積之后信號的波形；

②圖解法和微分與積分法都可直接結(jié)合圖形得到最終的結(jié)果，但圖解法只適用于兩個均是矩形波的情形；微分與積分方法計算較為簡單，充分利用了沖激函數(shù)和卷積的性質(zhì)，既可給出函數(shù)表達(dá)式，也可直接圖解，適用范圍較廣，對一個信號為矩形波，另一個不是矩形波的情形同樣適用.

4　結(jié)論

本文從卷積的基本概念及性質(zhì)出發(fā)，研究了矩形波卷積的問題，給出了三種較為簡便的計算方法，舉例說明方法的優(yōu)點及適用對象. 理論與實踐均表明，這些方法簡化了矩形波卷積的計算與作圖，進一步加深了矩形波卷積的概念與定性的理解，以便更好地應(yīng)用在信號與系統(tǒng)的分析理論中.

[1]鄭君里,應(yīng)君珩,楊為理.信號與系統(tǒng)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]吳大正.信號與線性系統(tǒng)分析(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

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[責(zé)任編輯：房永磊]

Several Simple Methods of Solving the Rectangular Wave Convolution

ZHANG Zhi-yin1,LIU Dan-dan2

(1.Department of Mathematics, Zhengzhou Shengda University of Economics Business and management, Zhengzhou 451191, China;2.College of Science, Zhongyuan University of Technology, Zhengzhou 450007, China)

In this paper, We systematically analyzes the rectangular wave convolution methods, combining with the rectangular wave self characteristics, and we focus on the three relatively simple methods. By contrast, we concluded the advantages of these methods and application objects. Finally, an example is given to illustrate the specific calculation process of each method.

rectangular-wave; convolution; impulse-function; gate-function

2016-08-01

張志銀(1983-)，男，河南鹿邑人，鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院講師，碩士，主要從事微分幾何、高等數(shù)學(xué)教學(xué)等研究.劉丹丹(1983-)，女，河南鹿邑人，中原工學(xué)院理學(xué)院講師，博士，主要從事原子與分子、大學(xué)物理教學(xué)等方面的研究.

O177.92

A

1004-7077(2016)05-0047-06