甘小艇, 殷俊鋒, 李　蕊,3

(1. 同濟大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 上海 200092； 2. 楚雄師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南 楚雄 675000;3. 嘉興學(xué)院 數(shù)理與信息工程學(xué)院, 浙江 嘉興 314001)

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有限體積法定價跳擴散期權(quán)模型

甘小艇1,2, 殷俊鋒1, 李蕊1,3

(1. 同濟大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 上海 200092； 2. 楚雄師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南 楚雄 675000;3. 嘉興學(xué)院 數(shù)理與信息工程學(xué)院, 浙江 嘉興 314001)

考慮有限體積法求解Kou模型下美式跳擴散期權(quán).基于線性有限元空間,構(gòu)造了向后歐拉和Crank-Nicolson兩種全離散有限體積格式,并采用簡單高效的遞推公式對偏微分積分方程中的積分項進(jìn)行逼近.針對美式期權(quán)離散得到的線性互補問題(LCP),采用模超松弛迭代法(MSOR)進(jìn)行求解,并證明了H+離散矩陣下算法的收斂性.數(shù)值實驗表明,所構(gòu)造的方法是高效而穩(wěn)健的.

有限體積法;Kou跳擴散期權(quán)模型; 線性互補問題; 模超松弛迭代法

在金融經(jīng)濟學(xué)中, 標(biāo)準(zhǔn)的Black-Scholes定價方程是最成功也是使用最廣泛的期權(quán)定價工具[1]. 然而實證分析結(jié)果顯示: 標(biāo)準(zhǔn)的Black-Scholes假設(shè)——標(biāo)的資產(chǎn)價格服從波動率為常數(shù)的對數(shù)正態(tài)分布——與實際的市場觀察并不一致. 通常將這一現(xiàn)象稱作波動率偏態(tài)或波動率微笑, 該現(xiàn)象如今在許多主要金融市場中都存在. 為了解決波動率微笑的存在問題, 人們提出了Black-Scholes模型的各種演變形式. 常見的有: 隨機波動率模型、帶跳躍過程模型、非確定波動率模型、市場狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型及確定性波動率模型等. 其中Merton[2]和Kou[3]跳擴散模型所隱含的波動率曲線與市場中觀察到的波動率微笑十分接近, 吸引了眾多國內(nèi)外學(xué)者和專家的廣泛關(guān)注和研究[4].

近年來, 人們對跳擴散期權(quán)定價問題作了大量研究工作.Tavella和Randall[5]給出了歐式Merton跳擴散模型的隱式有限差分格式, 并提出了一種用于求解稠密系統(tǒng)的迭代格式.Andersen等[6]中構(gòu)造了歐式跳擴散模型的交替方向(ADI)格式, 并引入快速傅里葉變換(FFT)對積分項進(jìn)行逼近, 計算量為O(mlogm), m表示空間節(jié)點個數(shù). 此后,d′Halluin等[7-8]結(jié)合積分項的FFT逼近, 同時對歐式和美式Merton和Kou模型進(jìn)行了研究. 針對歐式期權(quán), 采用文獻(xiàn)[5]中的迭代格式進(jìn)行求解, 并對該迭代格式進(jìn)行了收斂性分析; 而針對美式期權(quán), 則采用懲罰方法進(jìn)行求解. 為了降低偏微分積分方程(PIDE)中積分項的計算量,Toivanen等[9-10]構(gòu)造了簡潔高效的線性插值逼近, 并從理論上證明了該插值逼近的二階收斂精度且離散矩陣為M矩陣. 特別地,根據(jù)Kou模型中對數(shù)雙指數(shù)分布函數(shù)的特點,Toivanen在文獻(xiàn)[9]中針對積分項給出了具有最優(yōu)計算量的遞推公式, 僅需O(m). 另外, 為克服Black-Scholes偏微分方程固有的對流占優(yōu)特性而引起的計算困難,Zhang等[11-12]討論了歐式和美式Merton以及歐式Kou跳擴散模型的擬合有限體積方法(Fittedfinitevolumemethod). 該方法主要是將經(jīng)典有限體積方法結(jié)合特定的逼近技術(shù)對偏微分方程(PDE)進(jìn)行離散. 美式期權(quán)定價的經(jīng)典有限體積方法及其最新研究進(jìn)展可參閱文獻(xiàn) [13-14].

定價美式期權(quán)另一重要任務(wù)是對離散得到的線性互補問題進(jìn)行求解. 目前常見的求解方法主要有: 投影超松弛迭代法(PSOR)[15];算子分裂方法[16]和懲罰函數(shù)方法[17]. 近年來, 另一類重要的迭代方法——模方法, 得到了人們的廣泛研究. 其數(shù)學(xué)思想在于將線性互補問題(LCP)轉(zhuǎn)化成一系列線性方程組的求解. 通過將LCP轉(zhuǎn)化成隱式不動點方程,Murty[18]最早提出了模迭代方法. 此后,Hadjidimos[19]和Dong[20]通過引入?yún)?shù), 分別提出了非定常外推方法[19]和改進(jìn)模方法[20], 加速了模方法的收斂速度. 通過將LCP轉(zhuǎn)化成一類新的不動點方程,Bai提出了一類基于模分裂的迭代算法(modulus-basedmatrixsplittingmethods)[21]. 此方法利用適當(dāng)?shù)木仃嚪至芽梢缘玫揭幌盗行碌牡椒? 如: 模超松弛方法(MSOR)等. 關(guān)于模方法的最新研究進(jìn)展,可以參閱文獻(xiàn) [22-23].

本文研究Kou模型下跳擴散期權(quán)的有限體積法求解. 基于線性有限元空間, 首先構(gòu)造了向后歐拉和Crank-Nicolson兩種穩(wěn)定的全離散格式. 其次, 采用文獻(xiàn)[9]中的線性插值技術(shù)對PIDE(partialintegro-differentialequation)中的積分項進(jìn)行逼近. 針對離散得到的線性互補問題,采用MSOR方法進(jìn)行求解,并進(jìn)一步建立H+離散矩陣矩陣下算法的收斂性. 數(shù)值實驗表明,文中方法是有效且穩(wěn)健的.

1　跳擴散期權(quán)模型

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格x滿足如下隨機微分方程：

(1)

式中:dx(t)/x(t-)為跳躍大小與跳躍前一個時刻的價格的比例;μ和σ分別為資產(chǎn)價格沒有發(fā)生跳躍時的期望收益率和波動率；W(t)為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動；N(t)為強度為λ的泊松過程；{Vj}是一系列獨立同分步的隨機變量的集合, 并且服從對數(shù)雙指數(shù)密度分布

(2)

其中α1>1,α2,p,q都是正常數(shù), 且p+q=1.

由文獻(xiàn)[9]可知,Kou模型下歐式跳擴散期權(quán)值v滿足如下PIDE：

(3)

(4)

初值條件為

(5)

對于看漲期權(quán), 邊界條件為

(6a)

(6b)

初值條件為

(7)

其中K為敲定價格.

另外,Kou模型下美式跳擴散期權(quán)可以通過求解如下互補問題得到：

(8)

其中：

考察美式看跌期權(quán), 初值條件為式(5), 邊界條件為

(9a)

(9b)

為有限體積離散方便, 首先將方程(3)簡化為如下變系數(shù)拋物型方程：

(10)

本文主要考慮美式看跌期權(quán)模型的有限體積離散, 看漲情況的處理相似.

2　積分項逼近及有限體積離散

期權(quán)定價問題是定義在無限的區(qū)域[0,∞)×[0,T]上, 為了采用有限體積求解, 必須把原問題限制在一個截斷的區(qū)域[0,X]×[0,T]上, 其中X要取得足夠大.

2.1積分項逼近

本小節(jié)中, 主要采用文獻(xiàn)[9]中的線性插值技術(shù)和遞推公式對方程(10)中的積分項

(11)

將Q分成兩部分,Q=Q-+Q+, 其中：

(12)

(13)

接下來, 首先考慮Q-項的逼近. 在離散節(jié)點xi(i=1,2,…,m-1)處, 有：

(14)

其中：

(15)

在區(qū)間[xj,xj+1]上對v(z)進(jìn)行線性插值處理, 可得：

(16)

其中：

(17)

經(jīng)積分計算得：

(18)

(19)

同理, 對Q+項進(jìn)行逼近, 即有：

(20)

其中：

(21)

(22)

在區(qū)間[xj,xj+1]上對v(z)進(jìn)行插值處理并求積分, 則式(21)可以改寫為

(23)

(24)

綜上可知

(25)

其中v=(v1,v2…,vm-1)T為未知向量.

定理1[9]對任意給定的τ∈(0,T], 假設(shè)v(τ,x)關(guān)于x∈[0,X]二階連續(xù)可導(dǎo). 則當(dāng)α2>0, α1>1時, 有如下結(jié)論成立：

定理2[9]矩陣R+λI是一個非負(fù)對角占優(yōu)的Z矩陣, 即：

(26)

結(jié)合(16), 可得遞推公式如下：

(27)

(28)

2.2有限體積格式

取試探函數(shù)空間Vh為相應(yīng)于Th的線性有限元空間, 即Vh為滿足下列條件的函數(shù)vh的集合:①vh∈C(E),vh(X)=0;②vh在每個Ei上是線性函數(shù), 它完全由單元的兩端點的值唯一確定. 由線性有限元空間的性質(zhì), 易知在單元Ei上有：

(29)

(30)

拋物型方程(10)的半離散有限體積格式為: 求vh=vh(τ,·)∈Vh使得:

(31)

或者等價地

(32)

(33)

由式(30),(16)和(20), 則：

(34)

(35)

另外,時間項方向

(36)

由式(34)—(36)可得, 方程(31)對應(yīng)的半離散矩陣形式為

(37)

其中S=P+R,R為積分部分離散所得稠密矩陣(25),P為非積分部分離散所得的三對角陣, 即:

且

式(37)的右端項為

證明首先對于P中的ai(i=2,…,m-1). 當(dāng)i=2時,

恒成立. 所以ai<0(i=2,…,m-1).

同理對P中的ci(i=1,…,m-2). 當(dāng)i=1時, 有：

恒成立. 故ci<0(i=1,…,m-2).

最后對P中的bi(i=1,…,m-1). 當(dāng)i=1和i=m-1時, 有：

另外, 當(dāng)i=2,…,m-2時, 顯然有

因此P-λI是一個嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣, 即:

由此式可知, 對任意的i顯然有(P-λI)i,i>0成立, 則定理得證.

由定理3.2和定理3.3可得如下推論.

(38)

將式(38)寫成矩陣形式：

(39)

由推論1可知, 下面推論2結(jié)論顯然成立.

推論2說明了全離散系統(tǒng)(39)滿足離散極大值原理且離散是單調(diào)的.

3.3線性互補問題

(40)

其中j=1,…,n, 向量g包含了收益函數(shù)g(x)在網(wǎng)格點處的函數(shù)值.特別地, 令z:=v(j)-g,A:=B,q:=Bg-Cv(j-1)-f,則式(40)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的LCP

(41)

記為LCP(q,A), 本文主要采用模超松弛迭代法對其進(jìn)行求解.

接下來, 建立MSOR方法求解Kou跳擴散期權(quán)定價模型的收斂定理.

3　數(shù)值實驗

用數(shù)值實驗來驗證文中方法的有效性.Kou模型參數(shù)?。?/p>

α2=3.077 5, p=0.344 5, q=0.655 5

(42)

且計算區(qū)域為[0,300]×[0,0.25]. 這里的模型參數(shù)與文獻(xiàn)[8-10]中的取值相同.

首先, 表1給出了當(dāng)取不同的網(wǎng)格剖分時,CN有限體積格式求解Kou模型下美式看跌期權(quán)所得的部分節(jié)點處的期權(quán)值, 并與文獻(xiàn)[9]作比計較. 記m為時間方向離散網(wǎng)格數(shù),n為空間方向離散網(wǎng)格數(shù).從表中不難看出, 數(shù)值解隨著網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù)的增大變得更加精確.

表1　美式Kou跳擴散看跌期權(quán)的期權(quán)值 (CN格式)

其次, 為了計算數(shù)值解的相對誤差, 采用CN格式在網(wǎng)格(m,n)=(4 800,3 200)上求解美式看跌期權(quán)的價格作為參考解. 期權(quán)價格曲面如圖1a所示. 圖中還展示了當(dāng)t=0時刻的期權(quán)值、Delta值和Gamma值. 從圖中不難看出,數(shù)值結(jié)果是穩(wěn)健的.

最后,比較PSOR方法和MSOR方法的求解時間, 平均迭代步數(shù)以及求解精度.

表2和表3中, 分別列出了BE和CN格式下PSOR和MSOR的平均迭代步數(shù)IT,CPU時間和相對誤差Error. 由這兩個表可以看出, 所有方法均隨著網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù)的增大數(shù)值解變得更加精確,PSOR和MSOR方法的計算精度大致相當(dāng). 雖然PSOR的平均迭代步數(shù)略少于MSOR, 但是其所需的

表2兩種方法的誤差, 迭代步數(shù)和所需CPU時間 (BE格式)

Tab.2Comparisonoftwomethodsoniterationnumber,CPUtimeandError(BEscheme)

(m,n)PSORMSORITCPUError/10-6ITCPUError/10-6(50,25)8.90.043579.60.01357(100,50)8.90.181549.70.06154(200,100)9.90.7759.914.80.3159.9(400,200)16.86.2322.927.53.6422.9(800,400)31.9102.279.5153.664.089.51

CPU時間卻比MSOR要多. 另外, 對比兩個表格還可看出,CN格式的計算效率明顯高于BE格式.在圖2中, 還畫出了MSOR和PSOR方法的CPU時間隨著空間方向離散網(wǎng)格數(shù)m的變化曲線. 由圖可以看出,PSOR比MSOR需要更多的CPU時間.

a 期權(quán)價格曲面

b 期權(quán)值

c Delta

d Gamma

a BE格式

b CN格式

Tab.3Comparisonoftwomethodsoniterationnumber,CPUtimeandError(CNscheme)

(m,n)PSORMSORITCPUError/10-6ITCPUError/10-6(50,25)9.60.032899.60.01289(100,50)9.60.131139.70.05113(200,100)9.70.6636.110.00.1736.1(400,200)10.63.6410.016.31.9710.0(800,400)18.862.312.4530.536.212.45

4　結(jié)論

本文主要研究了有限體積法定價Kou美式期權(quán)模型. 基于線性有限元空間, 構(gòu)造了向后歐拉和Crank-Nicolson兩種全離散有限體積格式, 針對Kou模型中的積分項, 采用文獻(xiàn)[9]中高效的遞歸公式進(jìn)行離散.針對美式期權(quán)定價離散得到的是一系列時間層上的線性互補問題, 采用模超松弛迭代方法進(jìn)行求解, 并建立相應(yīng)的收斂性定理. 數(shù)值實驗驗證了文中方法的高效性和穩(wěn)健性. 但是，如何將文中方法推廣至高維的美式跳擴散期權(quán)定價問題的求解, 例如Bates模型, 并進(jìn)行相應(yīng)的收斂性分析, 這仍需進(jìn)一步的研究.

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FiniteVolumeMethodsforPricingJump-DiffusionOptionModel

GANXiaoting1,2,YINJunfeng1,LIRui1,3

(1.DepartmentofMathematics,TongjiUniversity,Shanghai200092,China; 2.SchoolofMathematicsandStatistics,ChuxiongNormalUniversity,ChuxiongYunnan675000,China; 3.CollegeofMathematicsPhysicsandInformationEngineering,JiaxingUniversity,JiaxingZhejiang314001,China)

FinitevolumemethodsaredevelopedforpricingAmericanoptionsunderKoujump-diffusionmodel.Basedonalinearfiniteelementspace,bothbackwardEulerandCrank-Nicolsonfulldiscretefinitevolumeschemesareconstructed.Fortheapproximationoftheintegralterminthepartialintegro-differentialequation(PIDE),aneasy-to-implementrecursionformulaisemployed.Thenweproposethemodulus-basedsuccessiveoverrelaxation(MSOR)methodfortheresultinglinearcomplementarityproblems(LCPs).TheH+matrixpropertyofthesystemmatrixwhichguaranteestheconvergenceoftheMSORmethodisanalyzed.Numericalexperimentsconfirmtheefficiencyandrobustnessoftheproposedmethods.

finitevolumemethod;Koujump-diffusionoptionmodel;linearcomplementarityproblem;modulus-basedsuccessiveoverrelaxationmethod

2015-11-09

國家自然科學(xué)基金(11271289), 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金, 云南省應(yīng)用基礎(chǔ)研究計劃青年項目(2013FD045),云南省教育廳科學(xué)研究基金項目(2015Y443).

甘小艇(1983—), 男, 博士生, 主要研究方向為金融計算.E-mail: 9xtgan@#edu.cn

殷俊鋒(1979—), 男, 理學(xué)博士, 教授, 博士生導(dǎo)師, 主要研究方向為金融計算.E-mail:yinjf@#edu.cn

O241.8

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