袁　莉，譚志中，彭　菊

(南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南通　226019)

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三維△×n階電阻網(wǎng)絡(luò)的兩個等效電阻公式

袁莉，譚志中，彭菊

(南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南通226019)

研究了一類三維△×n階電阻網(wǎng)絡(luò)在2種不同情形下的等效電阻問題. 采用網(wǎng)絡(luò)分析方法，通過構(gòu)建差分方程組模型及矩陣變換，獲得了三維△×n階電阻網(wǎng)絡(luò)遠節(jié)點之間的2個等效電阻公式，并具體進行了討論和驗證.

三維△×n階網(wǎng)絡(luò)；差分方程；矩陣變換；等效電阻

電阻網(wǎng)絡(luò)模型具有具體、直觀以及便于分析研究等特征，因此電阻網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建與研究已成為一系列科學(xué)問題研究的基本方法之一.許多抽象、復(fù)雜的科學(xué)問題可以通過構(gòu)建電阻網(wǎng)絡(luò)模型進行模擬研究[1-12].電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻公式研究一直是一個比較困難的問題[8-11]，文獻[8]于2004年給出了任意矩形電阻網(wǎng)絡(luò)在二維和三維情形下的等效電阻公式.盡管如此，由于文獻[8]給出的結(jié)論表達式比較復(fù)雜(因為同一種結(jié)果可以有不同的表達方法)，不利于具體網(wǎng)絡(luò)的處理與應(yīng)用，因而一些具體網(wǎng)絡(luò)仍然值得我們?nèi)パ芯?，以便獲得簡潔而實用的理論公式. 文獻[10]的研究工作為我們提供了新的理論與方法.

非對稱情形的三維△×n階電阻網(wǎng)絡(luò)問題之前一直沒有得到很好地解決. 本文研究了三維△×n階電阻網(wǎng)絡(luò)在2種不同情形下的等效電阻，采用文獻[1]中建立的遞推與變換方法，得到了幾個新的結(jié)論，并且通過一些特殊情形下的結(jié)果對普適公式進行了驗證.

研究的三維△×n階電阻網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示. 該模型的縱向截面是三角形，橫向是由n個完全相同的三棱體單元相連而成，其中R、R1、R2和R3是4個任意電阻值，n是0到∞的任意自然數(shù).我們的目的是研究A、B兩節(jié)點間的等效電阻Rab(n)的普適公式.

圖1　三維△×n階電阻網(wǎng)絡(luò)模型

1　對稱情形下的三維△×n階網(wǎng)絡(luò)的等效電阻

在圖1結(jié)構(gòu)的三維△×n階電阻網(wǎng)絡(luò)模型中，設(shè)AA′、BB′、CC′軸線網(wǎng)絡(luò)單元的電阻均為R，所有三角形結(jié)構(gòu)上的電阻均分別為R1，R2，R3，電阻參數(shù)如圖1所示.首先考慮對稱條件下的情形，即計算R3=R2時的等效電阻Rab(n).在這種情形下，由圖1可以看出，AA′行、BB′行對于CC′具有完美的軸對稱.無論電流從A輸入B輸出，還是從B輸入A輸出，CC′軸上節(jié)點的電勢都是相等的，也就是說CC′軸中沒有電流通過，這樣CC′行中的電阻就算拆除也不會影響Rab(n). 由此，在僅求A、B兩節(jié)點間的等效電阻Rab(n)時，可以將圖1所示的三維△×n電阻網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等效為圖2所示的二維平面n階電阻網(wǎng)絡(luò)模型.

圖2　二維△×n階電阻網(wǎng)絡(luò)等效模型

根據(jù)并聯(lián)電阻的計算方法，可以很快得到圖2平面網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的電阻R0=R1//(2R2)(其中R1、R2的阻值已知).

特別指出，對于m×n階網(wǎng)絡(luò)的最簡單形式1×n階電阻網(wǎng)絡(luò)，如圖2所示，它實際上是一種特殊的二端梯形網(wǎng)絡(luò). 設(shè)左端A、B端為輸入端，且輸入端等效電阻為Rab(n). 這一二維平面模型的等效電阻可以由文獻[1，2]中的結(jié)論直接得到

(1)

其中R0=R1//(2R2)=2R1R2/(R1+2R2)，且α，β分別是方程

x2=2(1+R/R0)x-1

(2)

的兩個根. 解此方程得

(3)

另外，文獻[1]定義了一種tz(α，n)函數(shù)，

(4)

據(jù)此，可將等效電阻Rab(n)重新簡單地表示成

Rab(n)=[1-tz(α，n)]R0

(5)

式(1)、(5)即為三維△×n階網(wǎng)絡(luò)等效電阻Rab(n)的普適公式. 此二式對于n=0，1，2，…的一切自然數(shù)都是成立的.

注意：式(1)、(5)給出的目的是為了下文驗證非對稱情形下的等效電阻公式的正確性，同時也是為了說明特殊條件下的問題可以采用特殊的簡單方法求解.

1.1具體討論與比較

1) 在圖1中，當n→∞時，該網(wǎng)絡(luò)被稱為三維無窮△×n階電阻網(wǎng)絡(luò). 由式(4)取極限易得

(6)

所以由式(1)取極限易得

(7)

其中R0=R1//(2R2)，式(7)即為三維無窮△×n階電阻網(wǎng)絡(luò)A、B兩節(jié)點間的等效電阻的普適公式. 此時的等效電阻Rab(∞)是有限常數(shù)，并且是由無理式表示的結(jié)果.

2) 當圖1中的階數(shù)n=0時，該網(wǎng)絡(luò)簡化成為圖3所示的三維0階電阻網(wǎng)絡(luò)(退化成平面的三角形).由式(5)得到

Rab(0)=R0=2R1R2/(R1+2R2)

(8)

此與圖3所示的實際電路計算得到的等效電阻完全一致，說明式(5)包括了n=0時的情況.

圖3　△×0階網(wǎng)絡(luò)模型

圖4　△×1階網(wǎng)絡(luò)模型

3) 當圖1中的n=1時，該網(wǎng)絡(luò)退化成為圖4所示的三維三角形1階電阻網(wǎng)絡(luò)，由理論式(1)得到

(9)

這與由圖4所示的實際電路計算得到的等效電阻Rab(n)完全一致(此處實際計算略)，表明在n=1時式(5)是正確的.

2　非對稱情形下的三維△×n階網(wǎng)絡(luò)的等效電阻

當R3=R1時，對于節(jié)點A和B而言，圖1結(jié)構(gòu)的三維△×n階電阻網(wǎng)絡(luò)不再對稱.下面具體計算這種情形下的三維非對稱結(jié)構(gòu)的△×n階網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，研究A、B兩節(jié)點間的等效電阻Rab(n)的普適公式.

2.1電阻網(wǎng)絡(luò)中的電流規(guī)律

圖5　△×n階子電阻網(wǎng)絡(luò)模型

采用網(wǎng)絡(luò)分析方法，對圖5中的子網(wǎng)絡(luò)進行節(jié)點電流分析和網(wǎng)孔電壓分析，得到差分方程組模型：

(10)

(11)

式(11)是一元差分方程，由式(11)得到特征方程：

(12)

設(shè)關(guān)于x的方程的兩根分別為α、β，解方程(12)得

(13)

根據(jù)文獻[1，12 ]中的方法解差分方程(11)得到

(14)

式(14)即為任意子網(wǎng)絡(luò)中通過縱向電阻R2的電流通用規(guī)律.

另外，將式(10)、式(11)寫成矩陣形式的差分方程組模型：

(15)

將矩陣式(15)左乘一個二階待定矩陣，得到

(16)

其中P為式(15)中的系數(shù)二階矩陣. 設(shè)存在常數(shù)t1、t2，使得

(17)

將式(17)的左端和右端展開，得到

(18)

根據(jù)式(18)為恒等式，可確定λ1、λ2、t1、t2的具體值為

(19)

所以，矩陣方程(18)可以轉(zhuǎn)化成

(20)

由方程(20)得差分矩陣方程的特征方程：

y2=ty-1

(21)

設(shè)關(guān)于y的方程的兩根分別為γ、δ，由式(21)解得

(22)

(23)

式(23)即為任意子網(wǎng)絡(luò)中通過截面三角形電阻R1、R2的電流通用規(guī)律.

2.2邊界電流條件約束

當電流從A輸入至B輸出時，根據(jù)電流的連續(xù)性方程由圖5、圖6可知

(24)

(25)

所以，由式(24)、式(25)得到

(26)

(27)

圖6　△×n階電阻網(wǎng)絡(luò)左邊界條件

(28)

分別將式(23)、式(14)從k=1到n+1求和，并應(yīng)用式(28)及式(26)得到

(29)

(30)

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)分析方法，由圖6得左邊界電流參數(shù)的方程組：

Ia1R+I2R1+Ib1R-I1R1=0

(31)

(32)

Ia1R+I″2R1-Ic1R-I″1R1=0

(33)

對截面三角形進行網(wǎng)孔電壓分析，可得差分方程：

(34)

由圖6得左邊界節(jié)點電流方程組:

(35)

解以上諸式，并且化簡、整理得到

(36)

(37)

根據(jù)式(36)、式(37)得到

(38)

(39)

將式(38)代入式(29)，解方程得到

(40)

(41)

將式(39)代入式(30)，解方程得到

(42)

式(41)、式(42)即為圖1中電流從A輸入至B輸出時的邊界電流普適公式.

2.3計算等效電阻Rab(n)

(43)

其中α、β、γ、δ分別由式(13)、式(22)確定. 式(43)即為A、B兩節(jié)點間的等效電阻Rab(n)的普適公式.

特殊情形下，當R2=R1時，得到(α，β)=(γ，δ)，則式(43)退化為

(44)

當R2=R1時，式(44)與式(1)的值完全相同，這也相互驗證了彼此的正確性.

另外，根據(jù)式(4)定義的tz(n，x)新函數(shù)可以將等效電阻Rab(n)重新表示成

(45)

其中，式(45)滿足n=0，1，2，…的一切自然數(shù).

3　結(jié)束語

采用網(wǎng)絡(luò)分析方法，通過構(gòu)建差分方程組模型及矩陣變換，首次獲得了三維△×n階電阻網(wǎng)絡(luò)的兩個等效電阻公式. 研究表明，非對稱條件下的三維△×n階電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的研究比較復(fù)雜，但是我們得到的結(jié)論是比較簡單的. 所得到的式(1)、(5)、(44)、(45)等效電阻公式是普適規(guī)律，對于一切自然數(shù)n=0，1，2，…均成立. 本文采用的研究方法具備創(chuàng)新性，這對教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和創(chuàng)新思維能力，乃至科研上推動其他三維網(wǎng)絡(luò)的研究都具有積極意義.

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Two equivalent resistance formulas of 3D △×n network

YUAN Li, TAN Zhi-zhong, PENG Ju

(School of Science, Nantong University, Nantong, Jiangsu 226019, China)

Under various conditions, an equivalent resistance of 3D △×n network is studied. By establishing model of differential equations and matrix transformation in terms of network analysis, we have found two equivalent resistance formulas between two remote nodes of 3D △×n network. The equivalent resistance can be specifically discussed and confirmed.

3D △×n network; differential equation; matrix transformation; equivalent resistance

2015-07-18；

2015-11-20

袁莉(1979—)，女，江蘇南通人，南通大學(xué)理學(xué)院講師，工學(xué)碩士，主要從事物理教學(xué)與研究工作.

TM 131

A

1000- 0712(2016)04- 0022- 04