劉財興，杜會靜，王懷翔，牟從普，孫繼浩，白象忠

(1. 燕山大學 材料科學與工程學院，河北 秦皇島　066004； 2. 燕山大學 理學院，河北 秦皇島　066004；3. 燕山大學 建筑工程與力學學院，河北 秦皇島　066004)

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垂直激勵低黏度硅油的法拉第波研究

劉財興1，杜會靜2，王懷翔1，牟從普2，孫繼浩2，白象忠3

(1. 燕山大學 材料科學與工程學院，河北 秦皇島066004； 2. 燕山大學 理學院，河北 秦皇島066004；3. 燕山大學 建筑工程與力學學院，河北 秦皇島066004)

從實驗研究與理論分析兩個方面研究了垂直激勵低黏度硅油在低頻范圍內的法拉第波的特性，觀測到奇特而且清晰的“油星星”和其他豐富的表面駐波圖案(2峰～8峰模態(tài))．通過系統(tǒng)的實驗及理論研究，發(fā)現(xiàn)這類駐波是以重力為主要回復力的亞諧共振，并且采用無黏色散關系可以很好的描述這類表面波的色散關系．實驗中將駐波圖案按照容器表面出現(xiàn)的波峰數(shù)目進行分類，發(fā)現(xiàn)隨著驅動頻率增大，駐波圖案的峰數(shù)增加，模態(tài)復雜化，對應的驅動振幅減?。ㄟ^對駐波圖案的波長以及振動閾值等進行分析，較好的解釋了這一實驗現(xiàn)象．本文的研究結果對充液剛性容器中的波動問題的理論研究與工程應用具有一定的參考意義．

法拉第波；亞諧共振；黏滯流體

液體隨著容器垂直上下振動，在液體表面會形成非線性表面駐波，該現(xiàn)象由法拉第在1831年首先發(fā)現(xiàn)，因此被稱為法拉第波(Faraday wave)，此類波動問題研究具有重要的工程背景和理論意義．例如，充液容器受外激勵所產(chǎn)生的表面波對容器有作用力，會影響飛行器的穩(wěn)定性和整體結構的正常工作．通過對此類晃動引起的流體動力學問題的研究，可以控制充液容器運動的穩(wěn)定性，并對系統(tǒng)的工程設計提供理論依據(jù)，因此，近20年來對表面駐波的研究依然十分活躍．實驗上已經(jīng)觀測到豐富的、具有旋轉對稱的駐波圖案[1-3]，得到了相關的模態(tài)相圖，并且在一定程度上給出了參數(shù)與圖案的對應關系．法拉第波屬于經(jīng)典的流體力學不穩(wěn)定難題[4-6]，表面波模態(tài)對驅動頻率、振幅、液體黏度、表面張力等參數(shù)極為敏感[7,8]，共振時還存在競爭和滯后的現(xiàn)象[3,9]，因此幾乎不可能通過初始參數(shù)去理論預測出對應的表面波模式．當前，理論分析和實驗研究的定量結果還不能非常好的符合，屬于流體力學三大不穩(wěn)定性難題之一．

研究和發(fā)現(xiàn)新的駐波模態(tài)，探尋駐波模態(tài)與實驗參數(shù)的關系，對于深入研究和理解法拉第波及相關流體動力學問題有著重要的意義．2013年J.Rajchenbach等人在垂直振動的硅油中發(fā)現(xiàn)了新型的星星狀表面波圖案[10]，命名為“油星星”，這引起了人們對垂直振動硅油中的表面波問題的廣泛研究興趣[11-13]．傳統(tǒng)的垂直激勵方法一般采用容器側壁不動，只是對容器底部施加激勵，這種情況下容器側壁和黏滯流體間相互作用的邊界效應對實驗影響很大，因此，本文的實驗研究采用了容器和流體整體垂直振動的方法．

目前對于黏性流體表面駐波的研究主要集中在大頻段、大容器尺寸，觀察到了一些實驗現(xiàn)象．Bink等人[1]在直徑為440 mm的容器，22～45 Hz的驅動頻率范圍觀察到了四邊形和六邊形的振動模態(tài)，指出若要觀察到更加復雜的振動模態(tài)，則需要進一步降低硅油的黏度系數(shù)，增大容器的尺寸．本文的實驗旨在小頻段范圍(5～30 Hz)、小容器尺寸(直徑90 mm)情況下，觀察低黏度硅油的表面波的形成和演化規(guī)律．實驗采用激振器作為驅動源，研究隨著驅動頻率增加，圖案模態(tài)的變化規(guī)律，并對駐波波長和振動閾值進行理論分析，從而對低黏度硅油的表面波的形成和演化規(guī)律加以解釋．

1　實驗

1.1實驗裝置

為觀測到多樣駐波圖案，需減小液體運動時的耗散[14]和溫度變化對實驗的影響，因此本實驗選擇了低黏度、低表面張力、黏溫系數(shù)小的硅油作為實驗液體．20 ℃時其運動黏度ν為10 mm2/s，表面張力σ為0.018 N/m，密度ρ為963 kg/m-3．為保證實驗可靠，必須選用剛性容器，避免能量的額外耗散及振動遲滯．本實驗選擇直徑為90 mm的玻璃皿為剛性充液容器．由于硅油自身為透明液體，不方便觀察振動過程中的圖案．為避免有機染料著色硅油影響硅油自身物理參數(shù)，因此本實驗在玻璃皿外底涂上厚度約為0.1 mm紅色涂料，這對于振動的影響可以忽略不計．涂紅的外下底面反射垂直入射光線，使硅油呈現(xiàn)出紅色，非常有利于振動過程中各類圖案的觀察．

選用激振器(型號JZ-5)作為驅動源，可產(chǎn)生0～3 mm范圍的振幅和5～5 000 Hz頻率范圍的垂直振動，驅動振幅和驅動頻率均可連續(xù)調節(jié)．實驗過程中，通過改變驅動源的振動頻率以及振幅，觀察了硅油表面所形成的駐波圖案．玻璃皿與驅動源之間采取剛性連接，因此驅動源的頻率可認為就是玻璃皿的振動頻率．為方便對振動產(chǎn)生的駐波圖案進行描述，以表面駐波在最大振幅時所形成的穩(wěn)定的波峰數(shù)目，即法拉第波表面形成的突出的峰的數(shù)目，定義為峰數(shù)，將振動過程中形成的圖案進行分類．

1.2振動表面波模態(tài)的實驗觀測1.2.1典型“油星星”表面波模態(tài)的觀察

實驗選用直徑為90 mm的玻璃皿，硅油厚度為9 mm，驅動頻率14 Hz，實驗溫度控制為20 ℃，驅動振幅由零開始緩慢增大．當驅動振幅小于1.4 mm時，硅油表面無明顯波動現(xiàn)象，硅油整體隨著玻璃皿一起垂直上下振動．當振幅為1.4 mm時，液面上開始出現(xiàn)細小的波紋．繼續(xù)增大振幅，可觀察到液體表面振動逐漸增強．振幅增至1.45 mm時，液體表面形成穩(wěn)定的對稱的駐波圖案，5個波峰垂直上下振動，將此振動稱為五峰圖案，其振動周期為0.14 s．波峰向下振動成為波谷時，對應的5個波谷表現(xiàn)為類似的枝晶結構圖案．玻璃皿中央油面最薄處，呈現(xiàn)出清晰的五角星圖案．如圖1(a)所示．在波峰向波谷過程中還觀察到了5個凸起波峰組成的“五瓣花”圖案，圖案中心呈現(xiàn)出清晰的正五邊形．振幅繼續(xù)增大，5峰駐波圖案立即消失，液面呈現(xiàn)混亂振動狀態(tài)．繼續(xù)增加驅動振幅，液面波形斷裂，部分硅油表面振動急劇加大，有小的硅油液珠由表面垂直噴射濺出．

向下振動達最大振幅,中心呈清晰五角星圖案

將驅動頻率上調至15 Hz，初始驅動振幅從零緩慢增加，當振幅達到1.2 mm時液面開始出現(xiàn)幾個振幅很小的波峰．增大振幅至1.24 mm，可觀測到穩(wěn)定的由6個波峰組成的類似倒金字塔圖案，如圖2(a)

向上振動過程中的五瓣花圖案,中心呈現(xiàn)清晰五邊圖案

所示，該6峰波形振動周期為0.13 s．當6個波峰向下振動轉換成波谷時，可以清晰地看到波谷邊緣，如圖2(b)所示，呈現(xiàn)為類似于晶格的正六邊形．在波峰向波谷轉換過程中時，還觀測到與J. Rajchenbach等[10]人觀察到的類似的“油星星”圖案．圖3(a)所示是本實驗在6峰振動過程中觀察到的圖案，其中心呈現(xiàn)出5條突起的棱所組成的枝狀星星圖案，與J. Rajchenbach等人觀察到的“油星星”圖案類似圖3(b)．但是圖3(a)中的振動模態(tài)與J.Rajchenbach等人觀察到的“油星星”圖案相比，有著更豐富的模態(tài)信息，其外緣呈現(xiàn)出棱角鮮明的五角星圖案，其5個角是由對應的6峰振動模式的外緣的5個峰引起．

向上振動達最大振幅,6個波峰組成倒金字塔結構

向下振動達最大振幅,波谷邊緣呈晶格狀六邊形圖案

本實驗的油星星圖案(硅油厚度9 mm,驅動頻率15 Hz,驅動振幅1.24 mm)

Rajchenbach等人觀察到的油星星圖案(硅油厚度7 mm,驅動頻率8 Hz,驅動振幅1.95 mm)[10]

1.2.2其他振動模態(tài)觀測

通過調節(jié)激振器的振幅、頻率等參數(shù)，可以觀測到多種高度對稱的奇特駐波圖案．圖4給出了容器直徑為90 mm，硅油厚度為9 mm，驅動頻率及振幅改變時，出現(xiàn)的幾種駐波圖案．按照表面波呈現(xiàn)的波峰的數(shù)目，標示為2峰、3峰、4峰、7峰圖案，分別示于圖4(a)—圖(d)中．繼續(xù)緩慢增大頻率至30 Hz以上時，駐波圖案峰數(shù)增加，圖案越來越復雜，甚至顯示出混沌的狀態(tài)[15，16]．

2峰駐波圖案,驅動頻率10 Hz,驅動振幅2.20 mm

3峰駐波圖案,鑲嵌三角圖案,倒大三角內嵌正小三角,驅動頻率11 Hz,驅動振幅1.80 mm

4峰駐波圖案,中央呈現(xiàn)正四邊形,驅動頻率12.5 Hz,驅動振幅1.580 mm

7峰駐波圖案,驅動頻率16.6 Hz,驅動振幅0.90 mm

1.2.3實驗現(xiàn)象規(guī)律總結

由于實驗設備的限制，本文沒有對大振幅(>3 mm)、高頻率(>30 Hz)或者更大的硅油厚度(>9 mm)條件下進行系統(tǒng)的實驗研究和分析，只是定性的進行了實驗觀察，并得到了大致的實驗規(guī)律．主要原因為由于玻璃皿側壁高度為15 mm，大振幅、高頻率或者更大硅油厚度條件下，硅油容易出現(xiàn)噴濺出玻璃皿的情況，導致硅油的厚度及重量發(fā)生變化，影響后續(xù)的測量．另外，玻璃皿與激振器置物臺間的互聯(lián)沒有通過膠粘的形式，因為二者之間涂抹的膠水勢必會引起彈性滯后或者能量損耗，因此只是將玻璃皿放置在了置物臺上．此種情況下進一步增大振幅或者增大振動頻率，會引起玻璃皿發(fā)生跳起，脫離置物平臺，影響進一步的實驗測量．另外由于實驗選用的觀測設備是普通的數(shù)碼相機，其幀頻是50 Hz，即每秒最多記錄50幀圖像，當激振器的頻率接近50 Hz時，從數(shù)碼相機記錄的圖像數(shù)據(jù)中很難采用截幀法分析出可靠的振動數(shù)據(jù)．玻璃皿直徑、硅油厚度、驅動頻率及驅動振幅等參數(shù)改變時，法拉第波的變化規(guī)律如下：

在硅油深度相同時，玻璃皿直徑越大，相同的振動頻率條件下，法拉第波的圖形越復雜，表現(xiàn)為硅油表面呈現(xiàn)的法拉第波峰數(shù)越多．這是由于同頻率條件下，所對應的法拉第波的波長不變，因此，當玻璃皿直徑變大時，硅油表面所能容納的完整的駐波波數(shù)增加，因此圖案變得越復雜．而減小玻璃皿直徑時，同頻率條件下，觀察到的法拉第波波峰數(shù)減小，圖形變得簡單單調；硅油厚度、玻璃皿直徑保持不變時，連續(xù)改變驅動頻率， 隨著頻率增大，表面波共振時，駐波圖案在液面產(chǎn)生的波峰個數(shù)增多，即表面模態(tài)隨著頻率的增加趨于復雜化．

在玻璃皿直徑相同時，改變硅油的厚度，厚度越大，同頻率條件下，得到的圖案越簡單，即硅油表面呈現(xiàn)出的波峰數(shù)目減少．這是由于硅油的厚度越大，重力越大，同時硅油與玻璃皿側壁的黏滯力也增大大，因此若要獲得相同的振動圖案，需要克服重力及黏滯力變化帶來的影響，需要輸入比較大的振動能量，因此在玻璃皿直徑相同時，硅油的厚度增大，若要得到同樣的振動圖案，需要的頻率越高．相反，減小硅油的厚度，同頻率條件下，得到的圖案越復雜，但是此時對應的法拉第波的振幅偏小，普通相機難以拍攝出清晰的圖案；在保持玻璃皿直徑、硅油厚度、振動頻率不變的情況下，增大驅動振幅，對應法拉第波振幅增大，駐波波峰越明顯，但是對應圖案的復雜程度基本保持不變．

若要系統(tǒng)觀察到高頻、高振幅條件下的法拉第波振動，必須配備高速攝像機、驅動振幅更大的激振器以及側壁高度較大的玻璃皿，由于實驗條件的限制，目前本文尚不能對此進行深一步的研究．

2　實驗分析及討論

2.1驅動頻率和振幅對法拉第波的影響

本文僅對硅油厚度為9 mm，容器直徑為90 mm時，在低頻段5～30 Hz范圍內連續(xù)改變驅動頻率，對駐波圖案的形成規(guī)律進行了系統(tǒng)的研究，得到了表面駐波圖案的驅動振幅與驅動頻率的關系，如表1所示，更多的復雜振動模式未在表中給出．

表1　不同駐波圖案的振幅、驅動頻率

實驗研究發(fā)現(xiàn)，隨著頻率增大，表面波共振時，駐波圖案在液面產(chǎn)生的波峰個數(shù)增多，即表面模態(tài)隨著頻率的增加趨于復雜化．為了分析這一實驗規(guī)律，研究了表面波波長和驅動頻率的關系，并與理論曲線(由色散關系解得)進行比對，如圖5所示．由圖可以看出，隨著驅動頻率增大，表面波波長減?。谝欢ㄖ睆降膱A柱形容器里，表面波波長越小，液體表面能容納的波峰數(shù)目越多，宏觀上看圖案也就越復雜，從而可以定性的對我們得到的實驗規(guī)律進行解釋．

圖5　表面駐波波長λ與驅動頻率f的關系

從表1中還可以看出，表面駐波圖案從2峰向8峰過渡過程中，隨著驅動頻率的增加，對應的驅動振幅呈現(xiàn)減小的趨勢．為解釋這一現(xiàn)象，引入一個參數(shù)共振方程——Mathieu 方程．T.B.Benjamin的理論[17]證明Mathieu方程可以用于研究黏度較小的法拉第波現(xiàn)象．

對于一個無窮小的流體面Mathieu方程可表示為

(1)

z代表液面的垂直方向，μ是阻尼率，ω0是表面波角頻率，α(t)是一個無量綱的振動參數(shù)函數(shù)．在這種垂直振動系統(tǒng)中(z=Asinωt)，該函數(shù)可表達為

(2)

Γ表示最大加速度amax與重力加速度g的比值，很容易求得垂直激勵對應的最大加速度為amax=Aω2．因此式(1)可寫為

(3)

Γ=Aω2/g

(4)

可將Γ定義為駐波圖案的閾值[10,19,20]，每個駐波圖案都有一個相應的閾值，當驅動源的最大加速度與重力加速度之比達到這個閾值Γ時，才有可能激發(fā)共振，從而在流體表面出現(xiàn)駐波圖案．由此可計算出本實驗觀測到的各種駐波圖案(2峰到8峰)對應的閾值Γ，圖6給出了閾值Γ與對應駐波圖案的關系圖．由圖可以看出，在本實驗研究的低頻率范圍內(5～30 Hz)，閾值Γ與駐波圖案的峰數(shù)變化沒有明顯的線性關系，但其大小Γ始終維持在1左右基本不變[3]．由式(4)可以看出，維持閾值?；静蛔儯旘寗宇l率增加時，驅動振幅一定會對應減小．這與本實驗在5～30 Hz的小頻段范圍內，觀察到的駐波圖案峰數(shù)增加，對應的驅動頻率增大，驅動振幅總體呈現(xiàn)減小的實驗現(xiàn)象是一致的(表1)．

圖6　振動閾值Γ與對應駐波圖案的關系

黏滯流體垂直振動產(chǎn)生的法拉第波問題屬于流體力學不穩(wěn)定性問題，幾乎不可能通過初始實驗參數(shù)，從理論上預測出對應的表面波模式．目前，理論分析和實驗研究的定量結果還不能非常好的符合．對于法拉第波的形成原因，一般認為是在重力和表面張力共同充當回復力作用下的非線性振動[2]．這種非線性振動使液體表面形成多個表面波，表面波耦合共振從而形成了多樣的駐波圖案[16]．探尋駐波模態(tài)與實驗參數(shù)的關系，對于深入研究和理解法拉第波及相關流體動力穩(wěn)定性問題有著重要的意義．

2.2色散關系研究

二維表面波在同一介質中的傳播速度并不是唯一不變的，因此研究表面波的色散關系至關重要．目前關于黏滯流體的色散關系有兩個常用的理論，一個是1994年Kumar等人[16]提出的黏滯流體色散理論，另一個是Benjamin等人[17]提出的無黏流體的色散理論．表面波的色散關系受流體的深度、黏度系數(shù)、驅動頻率、容器尺寸等因素的影響．Edwards等人[9]在對甘油的法拉第波的研究中發(fā)現(xiàn)在低頻范圍內，甘油的表面波色散關系可以近似用無黏流體的色散關系描述．M.T.Westra等[2]也從理論和實驗的角度對硅油表面波的色散關系進行了研究，發(fā)現(xiàn)在大尺寸容器中(440 mm)，硅油厚度在2 mm以下時，實驗數(shù)據(jù)和理論無黏色散關系才會出現(xiàn)偏差．

連續(xù)改變驅動源頻率，在低頻率范圍內(5～30 Hz)，通過攝像機記錄了厚度為9 mm的硅油在實驗過程中形成的穩(wěn)定的表面駐波圖像，進而測得表面駐波的頻率f0和波長λ．由此繪制了表面波角頻率ω0=2πf0和波數(shù)k的色散關系圖，如圖7中的分散點所示，并將實驗得到的數(shù)據(jù)點與無黏流體表面波的理論色散關系(圖7實線)進行了比對．無黏流體的色散關系表達為[19]

(5)

式(5)中h為液體厚度，g為重力加速度，σ和ρ分別表示液體的表面張力和密度．

圖7　色散關系ω0-k圖(對數(shù)坐標)

由圖7可以看出，在低頻率(5～30 Hz)范圍內，本實驗觀察到的表面波的色散關系與理論無黏流體的色散關系擬合的很好，其色散行為可以近似用無黏色散理論進行描述．這主要是由于實驗所用硅油黏度較低(20 ℃，運動粘度10 mm2/s)，驅動頻率在低頻(5～30 Hz)范圍，黏度導致的耗散較小引起的．

2.3表面波的諧振分析

表面波的頻率和容器的垂直驅動頻率存在一定的關系．Benjamin[17]給出了描述自由表面運動的振幅方程，即Mathieu方程，并用穩(wěn)定性理論指出亞諧波和諧波在一定的條件下都有可能出現(xiàn)在表面波共振中．Kumar等人[16]通過Floqut理論計算指出實驗中觀察到的起始不穩(wěn)定性總是亞諧波，而當表面波的波長與液體的深度量級為同一量級時，流體底部邊界層的耗散作用將起主要作用，所激發(fā)的表面波是簡諧的，在高黏滯液體中也可以先出現(xiàn)諧波形式．

圖8給出了本研究在不同驅動頻率下，出現(xiàn)穩(wěn)定駐波圖案時，表面波的角頻率與驅動角頻率的關系圖．由圖可以發(fā)現(xiàn)表面駐波的角頻率ω0近似等于驅動角頻率ω的一半，圖8內嵌的小圖中可以更清楚地看出二者之間的1/2的比例關系．忽略實驗測試誤差的影響，可以認為實驗觀察到的表面波為亞諧波，表明低黏度、低表面張力的硅油在低頻率范圍內的垂直激勵作用下，發(fā)生的是亞諧共振，這與文獻[3，18]所得到的結果是一致的．本實驗的硅油厚度為9 mm，而表面波波長范圍為10～80 mm(參考圖5)，并且實驗選用的為低黏度的硅油，因此所觀察到的表面波為亞諧波．根據(jù)Kumar等人[16]的理論研究結果，若要在本實驗中觀察到諧波共振，需要進一步降低硅油的厚度或者增大硅油的黏度，從而增大流體底部邊界層的耗散作用．

圖8　不同駐波圖案的表面波角頻率ω0(實線)和驅動角頻率ω(虛線)關系

2.4表面波的回復力組成分析

垂直激勵的剛性容器內的液體表面產(chǎn)生的法拉第波，是重力和表面張力共同充當回復力引起的非線性振動，重力和表面張力在回復力中所占比重對表面駐波模式有著明顯的影響．本實驗選用的硅油厚度h為9 mm，色散公式(5)中的tanh(hk)可近似等于1[2]，由此色散關系式可變形為

(6)

G+E=1

(7)

ω0臨=(4g3ρ/σ)1/4

(8)

根據(jù)菅永軍等人[6]對剛性充液容器內豎直激勵表面波的理論模擬研究，當驅動頻率進一步加大，表面波的模式較復雜時，表面張力對模式選擇的影響才會明顯超越重力的影響．本實驗在低頻范圍觀察到以重力為主要回復力的表面波與他們的模擬結論是相符的．

3　結論

利用激振器作為垂直激勵源，對低黏度、低表面張力硅油的低頻范圍內(5～30 Hz)的法拉第波進行了研究，得到了清晰的“油星星”圖案及其他豐富的表面駐波模式．研究發(fā)現(xiàn)這類駐波屬于亞諧共振，其色散關系可以用無黏流體的色散理論描述．其回復力以重力為主，表面張力為輔．采用液體表面出現(xiàn)的穩(wěn)定的波峰數(shù)目將表面波圖案進行分類，實驗發(fā)現(xiàn)隨著驅動頻率增加，對應圖案越復雜，而驅動振幅呈現(xiàn)減小的趨勢．理論計算表明表面波波長隨著驅動頻率增加逐漸減小，而對應的振動閾值維持在1附近小范圍波動．波長減小使特定尺寸的容器表面呈現(xiàn)的波峰的數(shù)目增多，而穩(wěn)定的表面波模態(tài)振動閾值的維持，必然會出現(xiàn)隨著激勵源的驅動頻率增加，驅動振幅逐漸減小的現(xiàn)象．

由于實驗條件的限制，本文僅對低頻率范圍內的低黏度硅油的法拉第波進行了系統(tǒng)的理論和實驗研究，但所觀察到的實驗現(xiàn)象仍然可以擴充人們對這類流體中的非線性振動行為的理解和認識．

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The faraday wave of the low-viscosity silicon oil excited by vertical oscillation

LIU Cai-xing1，DU Hui-jing2，WANG Huai-xiang1，MU Cong-pu2，SUN Ji-hao2, BAI Xiang-zhong3

(1. College of Material Science and Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei 066004, China;2. College of science, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei 066004, China;3. College of Civil Engineering and Mechanics,Yanshan University,Qinhuangdao, Hebei 066004, China)

The faraday wave of the low-viscosity silicon oil excited by vertical sinusoidal oscillation at low frequencies is studied from experimental and theoretical aspects. A series of clear standing wave patterns (2-crest pattern to 8-crest pattern), especially the stars-shaped one have been observed.Systematic study shows that the waves belong to subharmonic resonance with frequency of half the excitation frequency. The dispersion relation of the observed surface wave can be described by the inviscid theory and gravity is the dominant restoring force. The standing wave patterns are classified by the number of the wave crest. In experimenting with the increase of the driving frequency, the wave patterns become complicated and show up as the increase of the wave crest number, while the corresponding amplitude decreases. This experimental phenomenon is explained well by analyzing the wavelengths and excitation threshold of the different patterns of the standing waves. The study in this paper has certain reference significance to the research of the surface wave of a fluid in a rigid container due to external excitation.

faraday wave；subharmonic resonance； viscid fluid

2015-04-22；

2015-11-16

河北省教育廳高等教育教學改革研究與實踐項目(2015GJJG029)、燕山大學研究生教育教學改革項目(JG201512)資助

劉財興(1995—)，男，湖北黃石人，燕山大學材料科學與工程學院2012級本科生.

杜會靜，email:hjdu@ysu.edu.cn

O 3-53.2

A

1000- 0712(2016)04- 0052- 08