楊顯中 王學(xué)榮

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論如何用等價(jià)無(wú)窮小求和差的極限

楊顯中 王學(xué)榮

（四川化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川瀘州 646005）

通過(guò)實(shí)例分析，論述了求和差的極限時(shí)為什么有些能用等價(jià)無(wú)窮小替換，而有些不能用．進(jìn)一步用麥克勞林展式證明了在和差時(shí)如何使用等價(jià)無(wú)窮小求極限．

無(wú)窮??；等價(jià)；麥克勞林展式；高階展式

求極限是較難的一個(gè)問(wèn)題，不同類型的極限需要不同的方法．而利用等價(jià)無(wú)窮小求極限是一種較為簡(jiǎn)單、方便的方法，它可以起到化難為易的作用．但如何正確使用等價(jià)無(wú)窮小求極限，卻難住了不少人．

1 乘除時(shí)如何使用等價(jià)無(wú)窮小

一般的教科書上都有這樣的結(jié)論：

定理[1]1：、、、是同一過(guò)程下的無(wú)窮小，，，且

lim/=或，則lim/=lim/=或．

推論[1]1：設(shè)、、、是同一過(guò)程下的無(wú)窮小，，，且lim·()/=或，則lim·()/=lim·()/=或．

推論[1]2：設(shè)、、、是同一過(guò)程下的無(wú)窮小，，，且lim·()=或，則lim·()=lim·()=或

以上定理、推論說(shuō)明：在乘除的情況下，利用等價(jià)無(wú)窮小可以替換所求函數(shù)中的每部分或其中的一部分，但沒(méi)有指出在和差時(shí)能否替換，又如何替換？而恰好在和差時(shí)，不少人是亂用的，有時(shí)做出的答案是正確，而有時(shí)是錯(cuò)的，這是為什么呢？

解：易知，在0時(shí)，有2x12，ln(13)3，

解：易知，在0時(shí)，有sin，所以，原式=()/3=0，而本題的正確答案是6-1．

解：易知，在0時(shí)，有sin，tan，所以，原式=()/3=0．而本題的正確答案是2-1．

為什么會(huì)出現(xiàn)以上的情況呢？事實(shí)上，在和差時(shí)也可以使用等價(jià)無(wú)窮小替換，只不過(guò)不是簡(jiǎn)單的替換，它需要滿足一定的條件．下面給出：

2 和差時(shí)如何使用等價(jià)無(wú)窮小[2]

定理2：設(shè)、是同一過(guò)程下的無(wú)窮小，的麥克勞林展式為=(x)和=(x)，其中>，(x)、(x)分別表示比x、x高階的無(wú)窮小，即后者是比前者更高階的麥克勞林展式，同樣的麥克勞林的的展式為(x)和=(x)．且（1）=，但≠；（2）limx/()=；（3）lim()/()=或，則有，lim()/()=lim()/()

證明：lim()/()=lim(((x))((x)))/()

=lim()/()+lim((x)(x))

=lim()/()+lim(((x)/x-o'(x)/x))·limx/()

=lim()/()+(00)·=lim()/()．

同理可證：lim(+)/()=lim()/()．

同理，和差在分母時(shí)也成立（略）．

說(shuō)明：（1）由定理?xiàng)l件不難看出，、、、；

（2）在和差使用等價(jià)無(wú)窮小替換時(shí)，如果替換后出現(xiàn)±=，此時(shí)多半是因?yàn)閘imx/()=或不存在，因此，不能直接替換，但可根據(jù)麥克勞林展式用他們的更高階等價(jià)無(wú)窮小和來(lái)替換，但，要用同樣階數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小和來(lái)替換，否則，答案不一定正確．

由此定理，不難回答為什么例1的做法正確．因替換后2≠0，且limx/()=/ln(13)=1/3，因此，滿足定理2的條件；例2、3之所以是錯(cuò)的，是因?yàn)樘鎿Q后=0，且=/()=/3=，即不滿足定理2的條件（1）（2）．

3 實(shí)例分析

所以本題不能用sin，tan，也不能用tan，sin3!-13（雖然3!-13≠0，但不是同樣階數(shù)的麥克勞林展式，前者是一階，后者是三階，不滿足定理2的條件，如果這樣替換，做出的答案是6-1，顯然是錯(cuò)的．）

但，根據(jù)麥克勞林展式，知sin3!-13，tan(2/3!)3，且=x/()=3/3=1，所以，滿足定理2，于是原式=(((2/3!)3)(3!-13))/3=2-13/3=2-1，這和用其它方法做出正確答案一致．

例6 求(sinln(1))/2．

所以本題不能用sin，ln(1+)．

也不能用sin3!-13，ln(1+)（雖然3!-13≠0，但不是同樣階數(shù)的麥克勞林展式，前者是三階，后者是一階，不滿足定理2的條件，這樣替換做出的答案是0，顯然是錯(cuò)的．）

同樣不能用sin3!-13，ln=2-12+(2)（雖然3!-13-(2-12)≠0，但不是同樣階數(shù)的麥克勞林展式，前者是三階，后者是二階，不滿足定理2的條件，這樣替換做出的答案是0．但，根據(jù)麥克勞林展式知，sin3!-13，ln2-12+3-13，且=x/()=3/2=0，所以，滿足定理2，于是有

4 lim(1/1)類型

定理3：設(shè)、是同一過(guò)程下的無(wú)窮小，的麥克勞林展式為=(x)和=(x)，其中>，(x)、(x)分別表示比x、x高階的無(wú)窮小，即后者是比前者更高階的麥克勞林展式，同樣的麥克勞林展式為(x)和=(x)．且

（1）-1-1=，但-1-1≠；（2）limx/·=；（3）lim(-1-1)=或，則有，lim(-1-1)=lim(-1-1)

證明：lim(-1-1)=lim()/lim()/(由推論1和，)

=lim(((x))((x))/

=lim()/lim(((x)(x))/

=lim()/lim(((x)(x))/xlimx/(由推論1和，)

=lim()/(00)

=lim-1-1．

說(shuō)明：和定理2一樣，用此定理時(shí)，與需用相同階數(shù)的麥克勞林展式和來(lái)替換，否則，答案不一定正確．

解：因-1-1=0，且(x/)=/sin·(e-1)=．

所以，此時(shí)不能用：sin，和e-1，即不滿足定理3的條件（1）（2）

也不能用sin3!-13，和e-1，雖然(3!-13)-1-1≠0，但，他們不是同階數(shù)的麥克勞林展式，前者是三階，后者是一階，不滿足定理3的條件，如果這樣替換，做出的答案是0，但本題正確答案是2-1，事實(shí)上，由麥克勞林展式，知，sin(3!)-13和e-1+(2!)-12+(3!)-13

因(3!-13)-1(+2!-12+3!-13)-1≠0，且x/=3/sin(e-1)=0，滿足定理3的條件，于是

解：因-1-1=0，且(x/)=/·(e-1)=，即不滿足定理3的條件（1）（2）．

所以，此時(shí)不能用e-1，．

但由麥克勞林展式知，e-1+2!-12，0·2，且(x/)=2/·(e-1)=1，即滿足定理3的條件，于是

這和用其它方法做出正確答案一致．

解：因-1-1=0，且(x/)=/sin·tan=/·=（定理1），

即不滿足定理3的條件（1）（2）．因此，不能用sin和tan

由麥克勞林展式知，sin3!-13，tan(2/3!)3．

這和用其它方法做出正確答案一致．

綜上所述，使用等價(jià)無(wú)窮小求和差時(shí)的極限，只要替換后其和差不為零，并滿足一定的條件，就可以使用等價(jià)無(wú)窮小．一旦使用等價(jià)無(wú)窮小后，其和差為零，可以用麥克勞林展式用其更高階的等價(jià)無(wú)窮小來(lái)替換，但這樣做較繁瑣，稍不注意就容易用錯(cuò)．因此，在和差時(shí)一般不主張用這種方法．事實(shí)上處于和差時(shí)，有時(shí)用其它方法更為簡(jiǎn)單，如

例4、6直接用羅比達(dá)法則就很容易做．

[1] 盛祥躍.高等數(shù)學(xué)：上[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2] 李尚志.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，1999.

[3] 候風(fēng)波.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2005.

（責(zé)任編輯：涂正文）

On How to Get the Limits of Sum and Difference by Equivalent Infinitesimal

YANG Xianzhong WANG Xuerong

By case analyses, the paper explains why some sums and differences can be replaced by equivalent infinitesimal while others cannot. It further proves how to use equivalent infinitesimal to get the limits of addition and subtraction in the frame work of Maclaurin expansion.

infinitesimal; equivalence ; Maclaurin expansion; high order expansion

O174

A

1009-8135（2016）03-0009-04

2016-02-19

楊顯中（1963-），男，重慶長(zhǎng)壽人，四川化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，主要研究概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)．