李少東 陳文峰 楊 軍 馬曉巖

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多量測(cè)向量模型下基于貝葉斯檢驗(yàn)的快速OMP算法研究

李少東*陳文峰 楊 軍 馬曉巖

(空軍預(yù)警學(xué)院三系 武漢 430019)

目前多量測(cè)向量(Multiple Measurement Vectors, MMV)模型的稀疏重構(gòu)算法存在兩個(gè)問題：計(jì)算復(fù)雜度高和當(dāng)重構(gòu)的支撐集存在冗余時(shí)無(wú)法有效剔除。為同時(shí)提高M(jìn)MV模型的重構(gòu)效率和重構(gòu)精度，該文提出一種MMV模型下基于貝葉斯檢驗(yàn)的快速正交匹配追蹤(Fast Orthogonal Matching Pursuit based on Bayesian Testing, FOMP-BT)算法。首先，通過新原子組選和warm start求逆的思想來減少算法總的迭代次數(shù)以及每次迭代的運(yùn)算量，以提高算法的重構(gòu)效率；其次，利用貝葉斯檢驗(yàn)的思想剔除冗余支撐集以提高重構(gòu)精度；最后對(duì)所研究的算法從參數(shù)選擇以及計(jì)算復(fù)雜度等方面進(jìn)行了理論分析。仿真結(jié)果表明，所提算法具有重構(gòu)精度高、速度快以及對(duì)噪聲有較好的魯棒性等優(yōu)勢(shì)。

多量測(cè)向量模型；快速正交匹配追蹤算法；迭代次數(shù)；貝葉斯檢驗(yàn)

1 引言

作為一種信息獲取的新思路，壓縮感知(Compressive Sensing, CS)[1]自提出至今，理論日趨完善[2]。由于CS將采樣端的壓力“轉(zhuǎn)移”到解碼端，因此壓縮量測(cè)條件下的稀疏重構(gòu)是CS的關(guān)鍵研究問題之一。多量測(cè)向量(Multiple Measurement Vector, MMV)問題作為CS的一個(gè)延伸發(fā)展方向，也引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[3,4]。MMV模型是指不同矢量之間具有相同支撐集結(jié)構(gòu)(對(duì)稀疏值的幅度不加約束)的模型，而對(duì)這種聯(lián)合稀疏特征的利用可提高重構(gòu)精度、縮短重構(gòu)時(shí)間[5]。因此，在生物特征識(shí)別[6]、圖像處理[7]、到達(dá)角估計(jì)[8]、空時(shí)自適應(yīng)處理[9]以及雷達(dá)成像[10,11]等領(lǐng)域，眾多學(xué)者找到并構(gòu)建了共享支撐集的MMV模型，取得了比單量測(cè)向量(Single Measurement Vector, SMV)模型更好的稀疏重構(gòu)效果和抗噪性能。文獻(xiàn)[12]從信息論的角度揭示了MMV問題中支撐集恢復(fù)性能的邊界條件，奠定了使用MMV模型可改善重構(gòu)性能的理論基礎(chǔ)。因此研究壓縮量測(cè)數(shù)據(jù)條件下對(duì)MMV問題的稀疏重構(gòu)具有重要意義。

文獻(xiàn)[13]對(duì)較早時(shí)期MMV問題的重構(gòu)算法進(jìn)行了綜述與分析，并指出了每種算法的優(yōu)缺點(diǎn)，給出了CS-MMV模型的發(fā)展趨勢(shì)。而近幾年求解MMV問題的稀疏重構(gòu)算法主要分為兩大類：一是基于貪婪思想的重構(gòu)方法，文獻(xiàn)[14]將DOA估計(jì)建模為MMV模型，基于導(dǎo)向矢量構(gòu)成的冗余字典高度相關(guān)這一事實(shí)，對(duì)OMPMMV算法[4]進(jìn)行了改進(jìn)，使新算法可在冗余字典相關(guān)的條件下重構(gòu)，但是并未考慮算法的快速實(shí)現(xiàn)問題；文獻(xiàn)[15]將5種典型重構(gòu)SMV問題的算法拓展為求解MMV問題的算法，利用漸近RIP性質(zhì)，推導(dǎo)了5種算法最優(yōu)稀疏表示的充分條件，但是該文并未討論噪聲影響時(shí)的重構(gòu)精度問題?？偨Y(jié)此類算法可知，將貪婪算法思想拓展到求解MMV問題后，雖然在重構(gòu)性能上比SMV條件下有所改善，但是貪婪算法固有的低信噪比下重構(gòu)精度低、求逆運(yùn)算量大的問題并未得到有效解決；二是基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(Sparse Bayesian Learning, SBL)理論的重構(gòu)算法研究，文獻(xiàn)[16]利用子空間罰函數(shù)對(duì)MSBL進(jìn)行改進(jìn)，精度得到了提高；文獻(xiàn)[17]在進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)，考慮了網(wǎng)格失配的問題，將聯(lián)合稀疏模型轉(zhuǎn)換為塊稀疏表示后，提出了OGBSBL算法，可在網(wǎng)格失配時(shí)獲得更好的DOA估計(jì)精度。但是此類算法受SBL的計(jì)算量影響，計(jì)算效率一直是值得進(jìn)一步研究的問題?？偨Y(jié)目前的研究成果可知，雖然有很多針對(duì)MMV問題的重構(gòu)算法，但如何更好地利用聯(lián)合稀疏這一結(jié)構(gòu)先驗(yàn)信息，并從CS獲得的壓縮量測(cè)數(shù)據(jù)中快速魯棒地重構(gòu)MMV問題依然值得進(jìn)一步研究。

針對(duì)上述問題，本文提出了一種MMV模型下基于貝葉斯檢驗(yàn)的快速正交匹配追蹤(Fast Orthogonal Matching Pursuit based on Bayesian Testing, FOMP-BT)算法。該算法主要的創(chuàng)新體現(xiàn)在兩個(gè)方面：重構(gòu)效率和估計(jì)精度。首先，在提高算法的重構(gòu)效率方面采用了兩種策略，一是減少算法總的迭代次數(shù)，即在每次迭代選擇新原子時(shí)，采用選擇一組原子(原子是指感知矩陣的某一列)代替原OMPMMV算法[4]每次只選擇一個(gè)原子的選擇機(jī)制以減少總的迭代次數(shù)；二是降低每次迭代的計(jì)算量，由于重構(gòu)矩陣(由各次迭代獲得的原子合成的矩陣)每次迭代只增加一少部分的新原子，因此可采用“warm start”[18]的方式，充分利用前一次迭代獲得的重構(gòu)原子信息，通過遞歸方法實(shí)現(xiàn)重構(gòu)矩陣的求逆運(yùn)算，從而降低求逆運(yùn)算量；其次，在提高估計(jì)精度方面主要通過提高支撐集估計(jì)精度來實(shí)現(xiàn)，即利用貝葉斯檢驗(yàn)的思想剔除冗余支撐集。最后，對(duì)所研究的算法從參數(shù)選擇、計(jì)算復(fù)雜性等方面進(jìn)行了理論分析。此外，本文還構(gòu)建了基于貪婪類算法的多向量重構(gòu)算法的統(tǒng)一框架。將本文算法應(yīng)用到圖像處理以及到達(dá)角估計(jì)等場(chǎng)合，具有較廣泛的應(yīng)用前景。

2 MMV壓縮量測(cè)信號(hào)模型

首先對(duì)MMV問題進(jìn)行建模，噪聲條件下MMV模型可表示為

文獻(xiàn)[3]對(duì)MMV模型的稀疏結(jié)構(gòu)進(jìn)行了詳細(xì)的說明，本文引用其假設(shè)條件，描述如下：

上述構(gòu)建的模型又稱之為聯(lián)合稀疏模型。MMV模型對(duì)稀疏點(diǎn)的約束是其支撐集位置不隨列發(fā)生變化。為使模型更加合理，假設(shè)每一列的非零稀疏點(diǎn)幅度服從常用的伯努利高斯(Bernoulli Gauss, BG)模型。這里對(duì)MMV BG模型進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，為下文的支撐集貝葉斯檢驗(yàn)奠定基礎(chǔ)。

在對(duì)模型稀疏點(diǎn)取非零值的概率和大小約束之后，下一步就是對(duì)其進(jìn)行位置約束，為體現(xiàn)隨機(jī)性，本文假設(shè)信號(hào)非零行的位置是隨機(jī)的。至此，完成了壓縮MMV模型構(gòu)建，下面針對(duì)此模型進(jìn)行重構(gòu)算法介紹。

3 FOMP-BT算法

>3.1 算法基本思想

由文獻(xiàn)[15]可知，求解MMV問題的貪婪類算法可由SMV的算法拓展得到，因此求解MMV問題的算法基本迭代格式是與SMV條件下一致的[15]。本文所提的FOMP-BT算法則是在OMPMMV算法[4]的基礎(chǔ)上，對(duì)重構(gòu)效率和估計(jì)精度兩個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)，其算法流程如表1所示。

表1 FOMP-BT算法

從表1可以看出FOMP-BT算法的基本思想包括多原子識(shí)別、遞歸投影以及殘差更新3個(gè)步驟，其中迭代項(xiàng)為主要的計(jì)算量來源。而FOMP-BT算法對(duì)運(yùn)算量的改進(jìn)體現(xiàn)在前兩個(gè)步驟上，即多原子識(shí)別減少總的迭代次數(shù)，遞歸投影降低每次迭代求逆的運(yùn)算量。此外FOMP-BT算法通過貝葉斯檢驗(yàn)剔除冗余支撐集來減小誤差。下面重點(diǎn)對(duì)FOMP- BT的具體實(shí)現(xiàn)進(jìn)行詳細(xì)分析。

3.2 算法實(shí)現(xiàn)步驟

首先分析如何降低算法的運(yùn)算量，以第次迭代為例說明問題。

完成新重構(gòu)原子組選后，便需要進(jìn)行投影計(jì)算。令第次迭代得到的重構(gòu)矩陣為，那么有，其中為第次迭代得到的重構(gòu)矩陣，重構(gòu)矩陣包含兩部分：一是前次迭代得到的；二是本次迭代時(shí)得到的新重構(gòu)原子組。進(jìn)行投影計(jì)算時(shí)，有

利用分塊求逆引理[18]，將式(5)的計(jì)算等價(jià)轉(zhuǎn)換為

相同的遞歸策略可以一直延續(xù)到算法迭代結(jié)束。至此，完成了對(duì)算法降低運(yùn)算量部分的介紹，下面分析如何提高新算法的噪聲魯棒性。

同理依據(jù)貝葉斯公式以及式(10)，式(12)，可求得

得到參數(shù)的估計(jì)值后，需要進(jìn)一步推導(dǎo)MMV模型下的非零行貝葉斯檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

MMV條件下，當(dāng)非零行數(shù)有冗余時(shí)，為正確識(shí)別真實(shí)的非零行數(shù)(剔除虛假冗余項(xiàng))，本文采取貝葉斯模型對(duì)非零行進(jìn)行檢驗(yàn)。實(shí)際上，假設(shè)的其他非零行是已知，而檢驗(yàn)的第行時(shí)，即對(duì)的檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)式(16)所示事件：

令

那么有

那么有

對(duì)式(22)取對(duì)數(shù)并化簡(jiǎn)，可得到：

至此即完成對(duì)支撐集的檢驗(yàn)。依次對(duì)所有的粗支撐集進(jìn)行檢驗(yàn)后可得到最終的檢驗(yàn)結(jié)果。

從FOMP-BT算法的推導(dǎo)過程中可以看出，該算法在沿襲貪婪類算法的基本迭代框架(新原子識(shí)別、投影和殘差更新)基礎(chǔ)上，從降低運(yùn)算量和提高精度的角度進(jìn)行了創(chuàng)新。

3.3 參數(shù)設(shè)置

FOMP-BT算法待確定的參數(shù)主要有兩個(gè)：迭代停止條件與稀疏度預(yù)置值。下面對(duì)其選擇原則進(jìn)行分析。

(1)迭代停止條件的選擇：目前關(guān)于貪婪類算法的迭代停止條件主要有兩種類型，一是在稀疏度已知條件下，迭代次。由于稀疏度先驗(yàn)在實(shí)際情況中不易獲得，因而產(chǎn)生了稀疏度預(yù)估的思想，即利用量測(cè)長(zhǎng)度、信號(hào)維度、稀疏度的關(guān)系預(yù)置稀疏度。文獻(xiàn)[21]提出了自適應(yīng)稀疏度估計(jì)的思想，但其將稀疏度的先驗(yàn)轉(zhuǎn)換為RIC常數(shù)的先驗(yàn)，實(shí)際中RIC常數(shù)往往也是未知的。所以本文認(rèn)為稀疏度自適應(yīng)的重點(diǎn)應(yīng)落腳于怎么將一個(gè)不合理的甚至是冗余的稀疏度經(jīng)過算法處理之后逼近真實(shí)稀疏度。

第2種典型是利用殘差作為迭代停止條件。即在估計(jì)過程當(dāng)中，殘差是逐步變小的，當(dāng)殘差變大時(shí)，說明估計(jì)已經(jīng)充分，剩余的為噪聲估計(jì)，因而出現(xiàn)變大的情況。此時(shí)需要噪聲的方差作為先驗(yàn)，但是由于方差估計(jì)一般會(huì)存在誤差，因此也會(huì)造成最終的支撐集出現(xiàn)冗余。

4 算法性能分析

本文降低運(yùn)算量和提高精度的思想適用于貪婪類的大部分算法，圖1為MMV模型下貪婪類算法的統(tǒng)一框架。從圖1可以看出，本文思想適用于識(shí)別和投影處理，具有較強(qiáng)的可移植性。

圖1 基于貪婪類算法的MMV算法統(tǒng)一描述框圖

此外，通過定量分析FOMP-BT算法的計(jì)算量來體現(xiàn)其優(yōu)勢(shì)，下面分別從識(shí)別步和投影步出發(fā)，計(jì)算第次循環(huán)時(shí)算法的運(yùn)算量。以一次乘法或者是加法的運(yùn)算量為一個(gè)運(yùn)算量單位，重點(diǎn)對(duì)比FOMP-BT算法與OMPMMV算法的計(jì)算量。首先計(jì)算FOMP-BT計(jì)算量。

在FOMP-BT算法中，主要計(jì)算量集中于新原子識(shí)別步和投影步。而一次迭代中新原子識(shí)別步的計(jì)算量為。在投影步時(shí)計(jì)算量主要集中于的計(jì)算。的維度是，因此對(duì)其求逆的計(jì)算量為。維度是，其計(jì)算量為，假設(shè)經(jīng)過次迭代，那么算法總運(yùn)算量約為

其次計(jì)算OMPMMV算法的計(jì)算量。

OMPMMV算法的主要計(jì)算量同樣是集中于新原子識(shí)別步和投影步。由于不存在快速操作，假設(shè)一共迭代0次，其總的計(jì)算量約為

5 仿真與分析

首先對(duì)噪聲添加方式和重構(gòu)質(zhì)量指標(biāo)進(jìn)行說明。信噪比定義為

其次，本文使用相對(duì)重構(gòu)誤差來衡量重構(gòu)質(zhì)量，其定義為

仿真1 冗余稀疏度對(duì)重構(gòu)結(jié)果的影響 為比較冗余稀疏度對(duì)重構(gòu)結(jié)果的影響，仿真參數(shù)設(shè)置如下：測(cè)量值=300，信號(hào)維度為=500，真實(shí)稀疏度=12(即MMV模型有12個(gè)非零行)，向量數(shù)為10，每一列向量非零值的幅度服從方差為1的高斯分布。蒙特卡羅次數(shù)為100，信噪比為3 dB。冗余稀疏度從15增加到42，步長(zhǎng)為3。分別與OMPMMV[4]以及SCoSaMP[15]算法作對(duì)比，圖2為仿真結(jié)果。

夫妻之間關(guān)系非常糟糕，因?yàn)槠拮娱L(zhǎng)期積怨而常年?duì)幊巢恍?。起因是結(jié)婚前，妻子聽說她丈夫有十畝地和一份收入頗豐的工作。丈夫因妻子生了女兒而不是兒子十分生氣，所以他照顧妻子時(shí)態(tài)度惡劣。

圖2 不同算法重構(gòu)誤差對(duì)比

從圖2對(duì)比可以看出，隨著冗余稀疏度變大，3種算法的誤差都相應(yīng)增大，CoSaMP算法由于每次迭代時(shí)都選擇稀疏度的2倍個(gè)支撐集原子，因此當(dāng)稀疏度存在冗余時(shí)，其錯(cuò)誤重構(gòu)的概率大于OMPMMV，性能劣于OMPMMV算法；而本文算法采用了貝葉斯檢驗(yàn)剔除冗余支撐集，因此在相同的稀疏度條件下，重構(gòu)誤差最小。從真實(shí)稀疏度為6和為12時(shí)算法誤差對(duì)比可以看出，當(dāng)余稀疏度越大，本文剔除虛假支撐的能力越強(qiáng)。仿真驗(yàn)證了本文算法對(duì)冗余稀疏度剔除的有效性。

仿真2 抗噪性能對(duì)比 為考察噪聲對(duì)算法精度的影響，將算法停止條件變?yōu)?，仿真時(shí)取輸入信噪比為3~18 dB，其他條件與仿真1相同，仿真時(shí)分別與MFOCUSS[3], OMPMMV[4]以及CoSaMP[15]算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同信噪比條件下的重構(gòu)精度對(duì)比

從圖3中可以看出，隨著信噪比的提高，各類算法的重構(gòu)誤差呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)。從總體趨勢(shì)看，本文算法受噪聲影響與MFOCUSS基本相同。說明本文算法在經(jīng)過支撐集剔除步驟之后，用于重構(gòu)的支撐集最接近于信號(hào)的真實(shí)支撐集，參與最終重構(gòu)的支撐集中包含的虛假成分最少，因而精度較高；而其他算法在重構(gòu)時(shí)受到噪聲的影響，會(huì)存在冗余的稀疏度，因此影響了算法在噪聲條件下重構(gòu)的精度。仿真驗(yàn)證了本文算法在低信噪比條件下依然具有較好的重構(gòu)能力。

仿真3 不同算法重構(gòu)效率對(duì)比 本仿真主要用于對(duì)比不同算法的運(yùn)行效率。仿真參數(shù)設(shè)置如下：取信號(hào)維度為變量，范圍是500~900，步長(zhǎng)為50，量測(cè)值個(gè)數(shù)取為信號(hào)維度的0.6倍，即，信噪比為3 dB，蒙特卡洛次數(shù)為100，分別計(jì)算FOMP-BT, OMPMMV, SCoSaMP與MFOCUSS算法的運(yùn)行時(shí)間，結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同算法的運(yùn)行時(shí)間比較

從圖4可以看出，由于MFOCUSS算法存在大矩陣求逆運(yùn)算，隨著信號(hào)維度的增加其運(yùn)行時(shí)間增加的最快；SCoSaMP算法由于每次迭代時(shí)都需要對(duì)個(gè)原子的重構(gòu)矩陣進(jìn)行求逆運(yùn)算，因此其計(jì)算量高于OMPMMV和FOMP-BT；本文算法由于采取了減少迭代次數(shù)和優(yōu)化每次迭代時(shí)逆矩陣的運(yùn)算量，因此運(yùn)算時(shí)間最短。仿真驗(yàn)證了本文算法的高重構(gòu)效率優(yōu)勢(shì)。

6 結(jié)束語(yǔ)

MMV模型能夠提供更多的先驗(yàn)信息，對(duì)此信息的利用可用于提高重構(gòu)概率。本文針對(duì)目前求解MMV問題的算法復(fù)雜度高以及低信噪比條件下存在冗余支撐集的問題，提出了FOMP-BT算法，該算法的主要優(yōu)勢(shì)在于兩個(gè)方面：(1)通過減少算法總的迭代次數(shù)和降低每次迭代的運(yùn)算量的方式，使得算法的重構(gòu)效率有了較大的提高；(2)利用貝葉斯檢驗(yàn)的思想，可剔除冗余支撐集，由于剔冗的支撐集更加接近真實(shí)支撐集結(jié)構(gòu)，因此可提高重構(gòu)精度。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要結(jié)合背景，尋找恰當(dāng)?shù)腗MV模型場(chǎng)合。將本文算法應(yīng)用到ISAR/SAR的距離向聯(lián)合成像是課題組下一步工作的研究重點(diǎn)。

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YANG Cheng, FENG Wei, FENG Hui,. A sparsity adaptive subspace pursuit algorithm for compressive sampling[J]., 2010, 38(8): 1914-1917.

Fast OMP Algorithm Based on Bayesian Test for Multiple Measurement Vectors Model

LI Shaodong CHEN Wenfeng YANG Jun MA Xiaoyan

(,430019,)

There are two issues in the Sparse Reconstruction (SR) algorithm of Multiple Measurement Vectors (MMV). One is the high computation complexity and the other is that redundant support set can not be effectively removed. In order to improve the efficiency and accuracy of SR algorithm simultaneously for MMV model, a Fast Orthogonal Matching Pursuit algorithm based on Bayesian Test (FOMP-BT) is presented in this paper. Firstly, the total number of iterations and the computation of each iteration are reduced through the new atomic group selection and warm start matrix inversion, thus the efficiency of the algorithm is improved. Secondly, using the idea of the Bayesian test to eliminate redundant support set, the accuracy of reconstruction is improved. Finally, the theoretical analysis of the algorithm is carried out from the aspects of parameter selection and computation complexity. The simulation results show that the proposed algorithm has the advantages of high accuracy, fast speed and good robustness to noise.

Multiple measurement vectors model; Fast Orthogonal Matching Pursuit (FOMP) algorithm; Number of iterations; Bayesian test

TN957.52

A

1009-5896(2016)07-1731-07

10.11999/JEIT151131

2015-10-10；改回日期：2016-02-25；網(wǎng)絡(luò)出版：2016-04-07

李少東 liying198798@126.com

李少東： 男，1987年生，博士，研究方向?yàn)閴嚎s感知理論在雷達(dá)成像中的應(yīng)用.

陳文峰： 男，1989年生，博士，研究方向?yàn)槔走_(dá)目標(biāo)檢測(cè)與識(shí)別.

楊 軍： 男，1973年生，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槔走_(dá)目標(biāo)檢測(cè)、現(xiàn)代信號(hào)處理.

馬曉巖： 男，1962年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槔走_(dá)目標(biāo)檢測(cè)與識(shí)別.