左月飛　李明輝　張　捷　劉　闖　張　濤

(1.南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院　南京　210016 2.中國人民解放軍空軍西安航空四站裝備修理廠　西安　710077)

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控制增益對永磁同步電動機(jī)自抗擾控制性能的影響

左月飛1李明輝2張捷1劉闖1張濤1

(1.南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院南京210016 2.中國人民解放軍空軍西安航空四站裝備修理廠西安710077)

在永磁同步電動機(jī)自抗擾控制系統(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)的實(shí)際控制增益已知時(shí)，采用實(shí)際控制增益的控制器可獲得良好的控制性能，但當(dāng)系統(tǒng)的實(shí)際控制增益未知時(shí)，采用估計(jì)控制增益的控制器會對系統(tǒng)性能產(chǎn)生影響。將估計(jì)控制增益與實(shí)際控制增益的比值定義為增益比，分析了它對閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)、抑制噪聲性能、抗擾性能以及對連續(xù)變化輸入的跟蹤性能的影響。理論分析表明：增益比越大，則系統(tǒng)階躍響應(yīng)的上升時(shí)間越短，抑制噪聲的效果越好，但抗擾性能越差；增益比越接近于1，系統(tǒng)對連續(xù)變化輸入的跟蹤性能越好。仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的正確性。

永磁同步電動機(jī)自抗擾控制控制增益跟蹤噪聲抗擾連續(xù)變化輸入

0　引言

永磁同步電動機(jī)(Permanent Magnet Synchrounous Motor，PMSM)以其高功率/重量比、高轉(zhuǎn)矩/慣量比、高效率以及具有一定魯棒性等優(yōu)點(diǎn)逐漸取代直流電動機(jī)和其他電勵磁的電動機(jī)，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)調(diào)速系統(tǒng)中。傳統(tǒng)的PMSM調(diào)速系統(tǒng)大多采用雙環(huán)線性控制結(jié)構(gòu)，內(nèi)環(huán)為電流環(huán)，外環(huán)為轉(zhuǎn)速環(huán)，多采用PI控制器。而PMSM是一典型的非線性、多變量耦合系統(tǒng)，傳統(tǒng)的線性PI控制難以滿足高性能的要求。

隨著永磁同步電動機(jī)非線性控制理論的發(fā)展，多種先進(jìn)的復(fù)雜控制策略(如自適應(yīng)控制[1，2]、模糊控制[3，4]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[5，6]等)被應(yīng)用于調(diào)速系統(tǒng)中。盡管這些方法最終都能抑制擾動，但其依靠反饋控制，動態(tài)過程非常緩慢。一種有效提高擾動抑制效果的方法是通過擾動觀測器(Disturbance Observer，DOB)對擾動進(jìn)行觀測，并前饋補(bǔ)償，這一思路最先由日本學(xué)者K.Ohnishi[7]提出。順著這一思路，眾多基于DOB的控制方法相繼得到應(yīng)用[8-10]。與DOB具有相同功能的另一種觀測器為擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extended State Observer，ESO)，它將內(nèi)部擾動和外部擾動一起作為集總擾動，并將其擴(kuò)張成一個新的狀態(tài)，因此此狀態(tài)觀測器比常規(guī)的狀態(tài)觀測器要多一個狀態(tài)。ESO可同時(shí)對狀態(tài)和擾動進(jìn)行觀測。基于ESO觀測的擾動進(jìn)行前饋補(bǔ)償?shù)目刂品椒ū环Q為自抗擾控制(Active Disturbance Rejection Control，ADRC)[11]，該方法已在工業(yè)控制領(lǐng)域的眾多應(yīng)用場合得到了應(yīng)用(如工業(yè)機(jī)器人[12]、功率變換[13]、PMSM控制等[14-16])。

在PMSM轉(zhuǎn)速一階ADRC系統(tǒng)中，控制增益為轉(zhuǎn)矩常數(shù)與轉(zhuǎn)動慣量的比值[17]。當(dāng)系統(tǒng)的實(shí)際控制增益已知時(shí)，采用實(shí)際控制增益的控制器可保證系統(tǒng)獲得良好的控制性能。但當(dāng)系統(tǒng)的實(shí)際控制增益未知時(shí)，如轉(zhuǎn)矩常數(shù)或轉(zhuǎn)動慣量產(chǎn)生變化時(shí)，采用估計(jì)控制增益的控制器將很難保證系統(tǒng)具有良好的控制性能[18，19]。目前，分析控制增益對系統(tǒng)性能影響的文獻(xiàn)很少。文獻(xiàn)[11]通過仿真說明了自抗擾控制器可使系統(tǒng)在實(shí)際控制增益小范圍變化時(shí)仍具有良好的控制性能。文獻(xiàn)[19]只定性分析了實(shí)際轉(zhuǎn)動慣量增大對系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響，對于轉(zhuǎn)動慣量減小對系統(tǒng)的影響并未分析，也未定量分析轉(zhuǎn)動慣量對系統(tǒng)的影響。

本文針對PMSM轉(zhuǎn)速一階ADRC系統(tǒng)，將控制器中的估計(jì)控制增益與系統(tǒng)的實(shí)際控制增益的比值定義為增益比，分析了它對閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)、抑制噪聲性能、抗擾性能以及對連續(xù)變化輸入的跟蹤性能的影響，為控制器的參數(shù)整定提供了理論基礎(chǔ)。最后，通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的正確性。

1　轉(zhuǎn)速環(huán)自抗擾控制器設(shè)計(jì)

1.1PMSM轉(zhuǎn)速環(huán)的數(shù)學(xué)模型

本文研究的是表貼式永磁同步電動機(jī)，則其在轉(zhuǎn)子磁場定向的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(d-q坐標(biāo)系)下的機(jī)械運(yùn)動方程為

(1)

式中，J為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2；B為系統(tǒng)的粘滯摩擦系數(shù)，N·m·s/rad；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，N·m；Ω為機(jī)械角速度，rad/s；Kt為轉(zhuǎn)矩常數(shù)，N·m/A_peak；iq為交軸電流，A_peak。

采用直軸電流為零，即id*=0的矢量控制方式。

由式(1)可得機(jī)械角速度狀態(tài)方程為

(2)

(3)

1.2反饋控制律設(shè)計(jì)

如果系統(tǒng)實(shí)際控制增益的大小未知，可將其假設(shè)為best，即假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(4)

定義角速度跟蹤誤差es=Ω*-x1，則跟蹤誤差狀態(tài)方程為

(5)

采用線性比例反饋控制律，即

(6)

式中，kps為控制器的比例系數(shù)。

結(jié)合式(5)和式(6)可得系統(tǒng)控制量為

(7)

式(7)中的實(shí)際狀態(tài)x1和x2未知，可通過傳感器測量或用觀測器對其進(jìn)行觀測。

1.3二階線性ESO的設(shè)計(jì)

對式(3)構(gòu)建二階線性ESO為

(8)

式中，z1、z2分別為x1(角速度)、x2(擾動項(xiàng))的觀測值；e1為ESO對x1的觀測誤差；β1和β2為觀測器系數(shù)。

將式(8)與式(3)相減可得

(9)

式中，ESO的特征多項(xiàng)式為λ(s)=s2+β1s+β2，令其為理想的特征多項(xiàng)式(s+p)2，則β1=2p、β2=p2，-p為ESO的閉環(huán)極點(diǎn)，p也可稱為觀測器帶寬。

由式(8)、式(9)可得狀態(tài)x1、x2的估計(jì)量為

(10)

從式(10)可看出，z1近似為x1濾波后的值，通?？烧J(rèn)為z1≈x1，對于測量噪聲較大的系統(tǒng)，用z1代替x1作為反饋可顯著減小系統(tǒng)的噪聲；z2是x2經(jīng)二階低通濾波后的信號，通?？烧J(rèn)為z2≈x2。

將式(7)中的x1、x2分別用z1、z2代替，可得控制量為

(11)

限幅后的實(shí)際控制量為

(12)

綜上可得轉(zhuǎn)速環(huán)一階自抗擾控制器的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1　轉(zhuǎn)速環(huán)一階自抗擾控制器Fig.1　First-order ADRC controller of speedloop

1.4系統(tǒng)響應(yīng)

為分析方便，以下分析過程中忽略電流跟蹤誤差和電流限幅的影響。

由式(10)、式(11)可得

(13)

(14)

定義增益比c=best/b，由式(3)、式(13)得系統(tǒng)在給定Ω*(s)和擾動x2(s)作用下的傳遞函數(shù)分別為

(15)

式中，Γ為閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，Γ=cs3+c(β1+kps)s2+(β2+β1kps)s+β2kps。

2　增益比c對系統(tǒng)性能的影響

2.1增益比c對階躍響應(yīng)的影響

當(dāng)系統(tǒng)輸入為階躍信號時(shí)，輸入的微分為脈沖信號，輸入微分前饋幾乎不起作用，因此系數(shù)在給定Ω*(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似為

(16)

由式(16)可看出，系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)與ESO的閉環(huán)極點(diǎn)相同，通常離虛軸較遠(yuǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為特征方程Γ=0的根。將閉環(huán)系統(tǒng)特征方程改寫為

(17)

取p=500、kps=36，則式(17)代表的以c為參數(shù)的根軌跡如圖2所示。

圖2　系統(tǒng)在c變化時(shí)的根軌跡Fig.2　Root locus of the system when c varying

容易證明，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程Γ=0不存在共軛復(fù)根的條件是1≤c≤cm。其中，cm的計(jì)算公式為

(18)

當(dāng)p=500、kps=36時(shí)，cm=2.34。

由圖2可得出以下結(jié)論：

1)當(dāng)c>cm時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特性方程有一對離虛軸較近的共軛復(fù)根，還有一個離虛軸較遠(yuǎn)的實(shí)根，階躍響應(yīng)存在超調(diào)，且超調(diào)量隨c的增大而增大。

2)當(dāng)1≤c≤cm時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程具有3個實(shí)根，階躍響應(yīng)不存在超調(diào)，c越大，則閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，系統(tǒng)響應(yīng)速度越快。

3)當(dāng)0

2.2增益比c對抗擾性能的影響

由式(15)可得系統(tǒng)在擾動x2(s)作用下的傳遞函數(shù)為

(19)

當(dāng)p=500、kps=36時(shí)，式(19)表示的閉環(huán)傳遞函數(shù)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖3所示。

圖3　抗擾傳遞函數(shù)的波特圖Fig.3　Bode diagram of disturbance rejecting transfer function

由式(19)可看出，擾動作用下的轉(zhuǎn)速變化量與擾動變化率及c呈正比。由圖3可看出，增益比c越小，則抗擾系統(tǒng)的低頻增益越小，但中頻增益有所增大。即c越小，系統(tǒng)的抗低頻擾動性能越好，但有可能導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生共振(共振頻率為中高頻)。

2.3增益比c對跟蹤連續(xù)變化輸入性能的影響

以正弦給定為例，輸入的微分為余弦，此時(shí)輸入微分前饋能夠起作用，因此系統(tǒng)在給定Ω*(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(20)

當(dāng)p=500、kps=36時(shí)，式(20)表示的閉環(huán)傳遞函數(shù)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖4所示。由圖4可看出：

1)當(dāng)c<1時(shí)，系統(tǒng)輸出的相位超前于輸入，低頻下的系統(tǒng)輸出幅值小于輸入，而中高頻下的系統(tǒng)輸出幅值大于輸入。

2)當(dāng)c=1時(shí)，系統(tǒng)輸出能夠完全跟蹤輸入。

3)當(dāng)c>1時(shí)，系統(tǒng)輸出的相位滯后于輸入，低頻下的系統(tǒng)輸出幅值大于輸入，而中高頻下的系統(tǒng)輸出幅值則小于輸入。

圖4　跟蹤傳遞函數(shù)的波特圖Fig.4　Bode diagram of the tracking transfer function

由以上分析結(jié)果可知，c減小會導(dǎo)致系統(tǒng)的高頻成分增加，與通過根軌跡分析系統(tǒng)階躍響應(yīng)所得到的結(jié)果一致。另外，當(dāng)c未知時(shí)，可利用c=1時(shí)的系統(tǒng)對連續(xù)變化輸入跟蹤較好這一特性，通過實(shí)驗(yàn)得到近似的系統(tǒng)實(shí)際控制增益。

綜上，從系統(tǒng)的階躍響應(yīng)考慮，則希望c在滿足c≤c1的條件下盡量大；從抗擾性能考慮，則希望c盡量??；從對連續(xù)變化輸入的跟蹤性能考慮，則希望c=1，即希望估計(jì)的控制增益等于實(shí)際控制增益。

3　仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證理論分析的正確性，本文對永磁同步電動機(jī)調(diào)速系統(tǒng)進(jìn)行了仿真和實(shí)驗(yàn)，仿真和實(shí)驗(yàn)中所用的PMSM參數(shù)如表1所示。

表1　電動機(jī)參數(shù)Tab.1　Motor parameters

永磁同步電動機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)平臺采用基于dSPACE實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)DS1103，利用快速原型法通過Simulink自動完成代碼的生成與下載。實(shí)驗(yàn)中的逆變器開關(guān)頻率為10 kHz，通過PWM中斷觸發(fā)電流采樣和占空比的更新。系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)框圖和實(shí)驗(yàn)平臺分別如圖5和圖6所示。

圖5　系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)框圖Fig.5　System hardware block diagram

圖6　實(shí)驗(yàn)平臺Fig.6　Experiment platform

轉(zhuǎn)速環(huán)和電流環(huán)采樣周期以及系統(tǒng)的計(jì)算步長均為0.1 ms。為便于分析，對系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行了標(biāo)幺化，選取轉(zhuǎn)速基值nbase=3 000 r·min-1?？刂破鲄?shù)設(shè)置為：kps=36、p=500，設(shè)置c分別為0.5、1.0和4.7。兩個電流環(huán)中的PI控制器參數(shù)設(shè)置為kpi=0.1，kii=500。如無特別說明，實(shí)驗(yàn)中其余參數(shù)均與仿真中的相同。

3.1驗(yàn)證增益比c對階躍響應(yīng)的影響

在t=0.1 s時(shí)，轉(zhuǎn)速給定由0 r·min-1階躍變化至800 r·min-1，仿真波形和實(shí)驗(yàn)波形分別如圖7所示。由實(shí)驗(yàn)波形可看出，c越大，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的上升時(shí)間越短，系統(tǒng)高頻噪聲越小，其中的電流噪聲是由轉(zhuǎn)速計(jì)算存在噪聲導(dǎo)致的。當(dāng)c=4.7(大于2.34)時(shí)，階躍響應(yīng)存在超調(diào)；當(dāng)c=1.0時(shí)，階躍響應(yīng)的超調(diào)消失；當(dāng)c=0.5時(shí)，階躍響應(yīng)同樣不存在超調(diào)，但iq中的噪聲較大。以上仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均與理論分析結(jié)果一致，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

圖7　空載起動時(shí)的動態(tài)響應(yīng)Fig.7　Dynamic response when start without load

3.2驗(yàn)證增益比c對抗擾性能的影響

圖8　仿真和實(shí)驗(yàn)所用的負(fù)載曲線Fig.8　Load curve used in simulation and experiment

圖9　不同c下負(fù)載擾動時(shí)的動態(tài)響應(yīng)Fig.9　Dynamic response under the effect of load disturbance表2　負(fù)載擾動作用下的轉(zhuǎn)速變化量Tab.2　Speed variation under the effect of load disturbance

轉(zhuǎn)速變化量Δn/(r·min-1)c=0.5c=1.0c=4.7加載時(shí)理論Δn1.63.214.9加載時(shí)仿真Δn1.63.214.8加載時(shí)實(shí)驗(yàn)Δn-13-26-126卸載時(shí)理論Δn7.915.874.3卸載時(shí)仿真Δn6.813.870.0卸載時(shí)實(shí)驗(yàn)Δn2252216

由表2可看出，加載時(shí)的轉(zhuǎn)速變化量與理論計(jì)算值一致，與c呈正比。在未考慮電流跟蹤誤差的影響時(shí)，轉(zhuǎn)速變化量理論上與擾動變化率呈正比，即卸載時(shí)的轉(zhuǎn)速變化量應(yīng)是加載時(shí)的-5倍。由于卸載時(shí)負(fù)載變化較快，負(fù)載變化率為一窄脈沖，轉(zhuǎn)速響應(yīng)并未達(dá)到穩(wěn)態(tài)，因此轉(zhuǎn)速變化量比理論值小。由于實(shí)驗(yàn)中ESO的帶寬p比仿真中的值小，ESO對擾動的觀測速度變慢，轉(zhuǎn)速變化量比仿真結(jié)果大，但c越小時(shí)系統(tǒng)抗擾性能越強(qiáng)的結(jié)論仍然正確，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

3.3驗(yàn)證增益比c對跟蹤時(shí)變輸入性能的影響

分別給定500 r·min-1/5 Hz和200 r·min-1/15 Hz的正弦型轉(zhuǎn)速，仿真波形和實(shí)驗(yàn)波形分別如圖10所示，仿真與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表3所示。

圖10　跟蹤正弦給定時(shí)的動態(tài)響應(yīng)Fig.10　Dynamic response of tracking sine reference

由圖10可看出，在500 r·min-1/5 Hz的正弦輸入下，當(dāng)c=0.5時(shí)，系統(tǒng)輸出的幅值小于給定，且相位超前于給定；當(dāng)c=4.7時(shí)，系統(tǒng)輸出的幅值大于給定，且相位滯后于給定；c=1.0時(shí)的系統(tǒng)跟蹤效果最好。在200 r·min-1/15 Hz的正弦輸入下，當(dāng)c=0.5時(shí)，系統(tǒng)輸出的幅值大于給定，且相位超前于給定；當(dāng)c=4.7時(shí)，系統(tǒng)輸出的幅值小于給定，且相位滯后于給定；c=1.0時(shí)的系統(tǒng)跟蹤效果最好。由圖10和表3可看出，仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均與理論分析結(jié)果一致，證明了理論分析的正確性。

表3　不同c時(shí)跟蹤正弦輸入下的動態(tài)響應(yīng)Tab.3　Dynamic response of tracking sine reference with different parameter c

4　結(jié)論

本文將自抗擾控制器的估計(jì)控制增益與系統(tǒng)的實(shí)際控制增益的比值定義為增益比c，通過傳遞函數(shù)分析了它對系統(tǒng)的階躍響應(yīng)、抗擾性能以及跟蹤時(shí)變輸入性能的影響。分析結(jié)果表明，從系統(tǒng)的階躍響應(yīng)考慮，則希望c在滿足c≤cm的條件下盡量大；從抗擾性能考慮，則希望c盡量?。粡膶B續(xù)變化輸入的跟蹤性能考慮，則希望c=1。在實(shí)際系統(tǒng)中，可根據(jù)具體的性能要求適當(dāng)調(diào)節(jié)c。當(dāng)c未知時(shí)，可利用c=1時(shí)的系統(tǒng)對時(shí)變輸入跟蹤較好這一特性，通過實(shí)驗(yàn)得到系統(tǒng)的近似控制增益。通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的正確性。

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Influence of Control Gain on Active Disturbance Rejection Controller for PMSM

Zuo Yuefei1Li Minghui2Zhang Jie1Liu Chuang1Zhang Tao1

(1.College of AutomationNanjing University of Aeronautics and AstronauticsNanjing210016China 2.The Fourth Aerospace Station of the Chinese People’s Liberation Army Air ForceXi’an710077China)

In the active disturbance rejection control (ADRC) system for the permanent magnet synchronous motor (PMSM)，a good control performance can be gotten when the control gain is known.An estimated control gain，used in the ADRC controller when the control gain of the system is unknown，will affect the control performance.In this paper，the ratio between the estimated control gain and the real control gain is defined as the control gain ratio，whose effects on the step response，the noise immunity，the ability of rejecting disturbance，and the performance of continuously tracking the varying input is also analyzed.Theoretically analysis indicates that the shorter rising time of the step response and the better noise immunity while the worse disturbance rejection ability will be acquired with higher control gain ratio.Meanwhile，the advanced tracking performance will be achieved when the ratio approaches one.The Extensive simulation and experiment tests are performed to verify these conclusions.

Permanent magnet synchronous motor (PMSM)，active disturbance rejection control (ADRC)，control gain，tracking，noise，disturbance rejection，continuously varying input

2015-01-16改稿日期2015-11-25

TM351

左月飛男，1989年生，博士研究生，研究方向?yàn)橛来烹姍C(jī)控制。

E-mail：zuo@nuaa.edu.cn(通信作者)

李明輝男，1975年生，中級工程師，研究方向?yàn)闄C(jī)電系統(tǒng)控制。

E-mail：13310988686@189.cn

國家自然科學(xué)基金(51377076)、江蘇省“六大人才高峰”項(xiàng)目(YPC13013)和江蘇省產(chǎn)學(xué)研資金(BY2014003-09)資助。