張春妍，宋建梅，侯博，張民強

（北京理工大學宇航學院，北京100081）

帶落角和時間約束的網(wǎng)絡化導彈協(xié)同制導律

張春妍，宋建梅，侯博，張民強

（北京理工大學宇航學院，北京100081）

對網(wǎng)絡化導彈的協(xié)同攻擊問題進行了帶命中落角約束和攻擊時間約束的協(xié)同偏置比例導引律研究。對單枚導彈給出了帶命中落角約束的偏置比例導引律，并推導出了對應的導彈剩余攻擊時間的估算表達式。針對網(wǎng)絡化導彈系統(tǒng)，根據(jù)各導彈的剩余攻擊時間之差對偏置比例導引律中的比例系數(shù)進行調(diào)節(jié)，設計得到了同時滿足命中落角和攻擊時間約束的協(xié)同偏置比例導引律，進一步從理論上證明了該導引律能夠使多枚導彈的攻擊時間趨于一致。網(wǎng)絡化導彈制導系統(tǒng)數(shù)學仿真實驗結果表明，協(xié)同偏置比例導引律及剩余攻擊時間估算方法是有效和正確的。

控制科學與技術；協(xié)同制導律；命中落角約束；攻擊時間約束；剩余攻擊時間

0 引言

多導彈協(xié)同將是未來戰(zhàn)場的一種重要作戰(zhàn)方式，多枚導彈借助通信系統(tǒng)構成一個作戰(zhàn)網(wǎng)絡，通過信息共享提高武器系統(tǒng)的突防攻擊、目標精確識別和電子對抗等能力，增強打擊毀傷效果［1-2］。對大型軍艦、彈道導彈運輸車、加固的地下工事等具有重大軍事價值的目標，若網(wǎng)絡化導彈能夠同時精確命中目標或者目標的關鍵部位，還能以不同的期望落角命中目標，則將最大限度地發(fā)揮各導彈戰(zhàn)斗部效能［3］，對目標形成毀滅性打擊?；诖耍疚难芯客瑫r帶命中落角和攻擊時間約束的網(wǎng)絡化導彈協(xié)同制導律，使網(wǎng)絡化導彈能以不同的期望落角在同一時刻精確命中目標的不同關鍵部位，充分發(fā)揮網(wǎng)絡化導彈系統(tǒng)的精確打擊能力。

關于只帶命中落角約束的制導律研究成果已有很多，如偏置比例導引律［4-7］、最優(yōu)制導律［8-10］、局部綜合制導律［11］等。早在1998年，Kim等［6］就提出了一種偏置的比例導引律，并對脫靶量和末端彈道傾角的收斂性給出了詳細的理論證明。高峰等［5］和Lee等［7］均在假設偏置項為常數(shù)的條件下，推導出了帶命中落角約束的偏置比例導引律。文獻［7-8］基于最優(yōu)控制理論，以終端時刻彈道傾角與期望落角之差、脫靶量以及法向加速度指令之和為目標函數(shù)，求解出了最優(yōu)制導律，其形式與文獻［5］中所推導的偏置比例導引律形式一致，說明偏置比例導引律能夠使導彈脫靶量和加速度過載指令最小，終端時刻彈道傾角達到期望落角。

對于只帶攻擊時間約束的制導律，目前的研究成果分為兩類：一類是，將針對單枚導彈研究的能夠實現(xiàn)預期打擊時間的制導律推廣應用于網(wǎng)絡化導彈系統(tǒng)［12-14］，在這種情況下，各導彈之間沒有信息交換，沒有實現(xiàn)真正意義上的協(xié)同作戰(zhàn)，且設定的期望打擊時間通常比較長；另一類是，各導彈在飛行過程中進行實時信息交互，通過獲取其余導彈的剩余攻擊時間來調(diào)整自身的飛行時間。文獻［15］將剩余攻擊時間之差作為比例導引系數(shù)的參變量，設計了含有時變比例系數(shù)的協(xié)同比例導引律來控制彈道彎曲程度，通過調(diào)整飛行長度使得所有導彈的剩余攻擊時間一致。文獻［16］采用領彈-從彈策略，選取初始剩余攻擊時間最長的彈為領彈，其余為從彈，在俯仰通道采用增廣比例導引使所有導彈的速度矢量前置角趨于0°，再基于動態(tài)逆方法形成機動控制指令，使從彈與領彈的剩余攻擊時間一致。文獻［17］也采用領彈-從彈策略，領彈采用比例導引，從彈以領彈攻擊時間為參量設計附加的法向過載，再疊加比例導引，使得從彈的彈目相對距離和速度矢量前置角與領彈的一致，以達到同時打擊的目的。文獻［18］設計了含有上層協(xié)調(diào)控制和底層導引控制的雙層協(xié)同制導結構，上層協(xié)調(diào)控制單元根據(jù)協(xié)調(diào)策略給出協(xié)調(diào)變量，再由各導彈接收協(xié)調(diào)變量實現(xiàn)底層導引律，此協(xié)同制導結構為導彈協(xié)同制導問題提供了一定的通用性解決方案。

目前對同時帶命中落角和攻擊時間約束的制導律研究相對較少。文獻［19］針對單枚導彈提出了一種帶落角約束的偏置比例導引律，并推導了較精確的剩余攻擊時間計算公式，然后將剩余攻擊時間與期望的攻擊時間之差作為反饋項，加入到偏置比例導引律中，設計出了一種同時約束攻擊時間和命中落角的制導律。文獻［20］針對單枚導彈，以實時彈目視線角與期望落角之差作為滑動面，以期望攻擊時間與預測攻擊時間之差作為目標函數(shù)，基于2階滑模控制和最優(yōu)控制理論設計了帶命中落角和攻擊時間約束的制導律。文獻［21］針對單枚導彈，首先推導了一種帶命中落角約束的最優(yōu)制導律，并推導出了相應的導彈剩余攻擊時間表達式，然后將剩余攻擊時間與期望攻擊時間之差作為附加反饋信號加入到過載指令中，使得導彈能以期望的攻擊時間命中目標，并達到期望落角。由于文獻［19-21］均針對單枚導彈進行研究，所以不存在協(xié)同問題。文獻［22］針對協(xié)同作戰(zhàn)的網(wǎng)絡導彈系統(tǒng)提出了一種可以控制命中角度和攻擊時間的協(xié)同制導方法。文中首先選取一枚導彈作為領彈，以目標位置為圓心，領彈與目標的相對距離為半徑構造一個虛擬球體，根據(jù)從彈的期望落角確定從彈在虛擬球體上對應的虛擬點，然后基于最優(yōu)控制理論設計狀態(tài)調(diào)節(jié)器，控制從彈逼近并跟蹤虛擬點，最終達到協(xié)同作戰(zhàn)的目的。該文獻采用領彈-從彈策略，需要事先確定領彈，且系統(tǒng)最終的攻擊時間取決于領彈。而本文提出的制導律是一種分布式協(xié)同制導律，無需確定領彈，系統(tǒng)最終攻擊時間由網(wǎng)絡中各導彈的剩余攻擊時間綜合而成，作戰(zhàn)時間相對較短，在實際應用中更為方便有效。

本文進行了同時帶命中落角和攻擊時間約束的網(wǎng)絡化導彈協(xié)同制導系統(tǒng)研究，創(chuàng)新點主要有兩點：1）基于導彈飛行彈道的長度，推導了帶命中落角約束的偏置比例導引律作用下的導彈剩余攻擊時間估計表達式，考慮了用于落角控制的過載指令對彈道曲率的影響，因而導彈剩余攻擊時間的估算比較準確；2）提出了一種可同時約束命中落角和攻擊時間的網(wǎng)絡化導彈協(xié)同偏置比例導引律，并從理論上證明了該導引律能夠使網(wǎng)絡化導彈系統(tǒng)的剩余攻擊時間方差收斂至0，可保證各導彈能夠以不同期望落角同時命中目標或者目標的不同關鍵部位。

1 帶命中落角約束的偏置比例導引律及剩余攻擊時間估計

1.1帶命中落角約束的偏置比例導引律

考慮圖1所示的導彈與目標的相對運動關系，AXY為慣性坐標系，T為目標，假設目標靜止，（xT，yT）為目標的位置；M為導彈，（x，y）為導彈的瞬時位置，v為導彈的切向速度，假設v為常值，an為導彈的法向加速度，σ為導彈的彈道角，規(guī)定速度矢量指向AX軸上方時σ為正，反之為負；R為彈目相對距離；q為彈目視線角，規(guī)定由水平基準線逆時針旋轉到彈目視線上時q為正，反之為負；η為導彈速度矢量前置角，規(guī)定由導彈速度矢量逆時針旋轉到彈目視線上時η為正，反之為負。

圖1　導彈與目標的相對運動關系示意圖Fig.1 Relative motion between missile and target

彈-目相對運動方程為

導彈的運動方程為

由于η=q-σ，則

為了使導彈能夠以期望落角擊中目標，采用在比例導引基礎上加入偏置項的方法，其一般形式為

式中：N為比例系數(shù)；aB為偏置項。將（7）式代入（5）式，得

根據(jù)導數(shù)的定義，可知在某一小段時間Δt內(nèi)，有

式中：下標t和t+Δt分別表示Δt時間段的初始時刻和末時刻。假設aB在每個Δt時間段內(nèi)均為常數(shù)，則將Δt拓展為總飛行時間可得

式中：下標0和f分別表示整個飛行過程的初始時刻和末時刻。

當導彈擊中目標時，R（tf）=0，根據(jù)（2）式可得

設σd為期望落角，令

即希望導彈終端時刻的彈道角能達到期望落角，則由（10）式整理可得

由于tf可以看作是導彈飛行初始時刻的剩余攻擊時間，則偏置項aB用當前時刻的參數(shù)可表示為

式中：tgo表示導彈當前時刻的剩余攻擊時間。

若tgo≈R/v，則帶命中落角約束的偏置比例導引律為

在此導引律中，剩余攻擊時間的估計沒有考慮法向加速度指令對飛行彈道曲率和剩余飛行時間的影響。如果該導引律只是用于單枚導彈制導系統(tǒng)，且系統(tǒng)對攻擊時間沒有要求，則該導引律對導彈脫靶量和命中落角控制精度沒有明顯影響［5］。本文擬將此偏置比例導引律推廣應用于網(wǎng)絡化導彈的協(xié)同制導，協(xié)同制導系統(tǒng)要求各導彈攻擊時間必須一致，因此制導系統(tǒng)對剩余飛行時間的估算精度要求較高。

本文擬先針對單枚導彈，推導在上述偏置比例導引律作用下導彈的較精確剩余攻擊時間估算表達式，然后將其推廣應用于多枚導彈的協(xié)同制導。

1.2帶命中落角約束的偏置比例導引律作用下的導彈剩余攻擊時間估算

在進行剩余攻擊時間估算時，不僅要考慮比例導引過載指令對彈道曲率的影響，還要考慮用于落角控制的過載指令對彈道的影響。本文提出了一種帶落角約束的偏置比例導引律作用下的導彈剩余攻擊時間估算方法。其基本思想是，根據(jù)（15）式中設計的帶落角約束的偏置比例導引律，近似擬合出導彈的飛行彈道，在假設速度恒定的情況下，根據(jù)飛行彈道總長度估算出導彈的剩余飛行時間，詳細推導過程如下。

定義彈目視線坐標系OXLOSYLOS：坐標系原點O取在初始時刻導彈的瞬時質心處，OXLOS軸與初始時刻彈目視線重合，指向目標為正，OYLOS軸與OXLOS軸垂直，以圖2所示方向為正。

彈目視線坐標系與慣性系的幾何關系示意圖如圖2所示。圖2中，σ0和q0分別為初始時刻的彈道角和彈目視線角。導彈與目標在彈目視線坐標系下的相對運動關系如圖3所示。

圖2　彈目視線坐標系與慣性坐標系的幾何關系示意圖Fig.2 Line-of-sight frame and inertial frame

圖3　彈目視線坐標系中的彈目相對運動關系示意圖Fig.3 Relative motion between missile and target in line-of-sight frame

設圖3中曲線為導彈的飛行彈道，彈目視線坐標系下目標位置為（xf，0）、導彈位置為（xs，ys）。令φ為導彈速度方向與OXLOS軸的夾角，規(guī)定導彈速度矢量指向OXLOS軸上方時φ為正，反之為負；λ為彈目視線與OXLOS軸的夾角，規(guī)定彈目視線方向指向OXLOS軸上方時λ為正，反之為負。

由幾何關系可得

下文中規(guī)定上標“＇”代表各參數(shù)對xs的導數(shù)。假設φ和λ均為小角度，則ys和φ關于xs的導數(shù)為

彈目視線角可表示為

將（17）式和（18）式代入（15）式，可得法向加速度關于xs的表達式：

將（19）式代入（17）式，由于初始條件為ys（0）=0，y＇s（0）=φ0，解得ys關于xs的表達式為

φ關于xs的表達式為

導彈的總飛行長度可以表示為

式中：tf為導彈的總飛行時間。

將（21）式代入（22）式，整理可得

可將tf看作是導彈初始飛行時刻的剩余攻擊時間，xf看作是初始時刻的彈目相對距離R，φ0與初始的速度矢量前置角η大小相等，方向相反，即則導彈當前時刻的剩余攻擊時間tgo可表示為

當不考慮落角約束，僅采用比例導引，即aB=0時，可得

將（25）式代入（24）式，整理可得

當僅采用比例導引而不考慮落角約束時，（26）式與文獻［15］中推導的剩余攻擊時間的表達式一致。

2 同時帶命中落角和攻擊時間約束的網(wǎng)絡化導彈協(xié)同偏置比例制導律與剩余攻擊時間方差收斂性證明

2.1同時帶命中落角和攻擊時間約束的網(wǎng)絡化導彈協(xié)同偏置比例制導律

為了提高網(wǎng)絡化導彈的作戰(zhàn)效能，一般希望網(wǎng)絡中的各導彈能夠在同一時刻以不同的期望落角命中目標或者目標的不同關鍵部位，實現(xiàn)最佳毀傷，因此需要為網(wǎng)絡化導彈設計同時帶命中落角和攻擊時間約束的協(xié)同制導系統(tǒng)?；诖耍疚奶岢隽艘环N協(xié)同偏置比例導引律。此導引律根據(jù)各枚導彈剩余攻擊時間之差對比例導引系數(shù)進行調(diào)節(jié)，從而達到控制各導彈攻擊時間一致并實現(xiàn)不同期望落角的目的。本文提出的協(xié)同偏置比例導引律的形式如下：

式中：下標i表示第i枚導彈；qi（t）為彈目視線角；為彈目視線角速率；σi（t）為導彈的彈道角；σdi為期望落角；Ni（t）為變比例系數(shù)，其表達式為Ni（t）=N（1-Ωi（t）），其中Ωi（t）為時變增益率，表達式為

其中

可將（27）式改寫為如下形式：

式中：

ati（t）主要用于調(diào)節(jié)導彈的攻擊時間，這里對攻擊時間的調(diào)節(jié)轉化為對彈道曲率和飛行距離的控制，即通過調(diào)節(jié)比例系數(shù)改變導彈飛行長度和彈道曲率，從而達到控制各導彈攻擊時間一致的目的；aBi（t）則主要用于導彈的落角控制。由于在剩余時間估算表達式中明確考慮了比例導引過載指令和落角控制過載指令對飛行彈道曲率的影響，使得網(wǎng)絡化導彈最終能夠在同一時刻以各自期望的落角命中目標。下面從理論上對本文提出的協(xié)同偏置比例導引律的剩余攻擊時間方差收斂性進行證明。

2.2協(xié)同偏置比例導引律的剩余攻擊時間方差收斂性證明

網(wǎng)絡化導彈系統(tǒng)的剩余攻擊時間方差可表示為

若協(xié)同制導律能夠使（33）式中的方差收斂至0，則表明所有導彈的剩余攻擊時間達到一致，即各導彈能夠同時命中目標。下面將證明本文提出的協(xié)同偏置比例導引律能夠使該方差收斂至0.

（29）式可寫為

則（28）式可表示為

假設ηi（t）為小角度，則將各參數(shù)在t+Δt時刻的值在t時刻泰勒展開，并省去高階小量，得

則根據(jù)（24）式，可得第i枚導彈在t+Δt時刻的剩余攻擊時間為

則t+Δt時刻所有導彈的平均攻擊時間為

將（35）式、（39）式和（40）式代入（33）式，則t+Δt時刻剩余攻擊時間的方差可表示為

式中：

由（42）式可以看出，C（t）中的各項均為非負數(shù)，因此var（t+Δt）≤var（t），方差隨著時間遞減，并最終收斂至0，從而保證了多枚導彈能夠同時命中目標。值得注意的是，當所有導彈在每個時刻均滿足（3N-1）η（t）+（N-1）（σd-q（t））=0或η（t）=0時，var（t+Δt）=var（t），方差不會遞減至0，而是維持一恒定值。但這種情況極其特殊，在實際作戰(zhàn)中很難出現(xiàn)。

3 帶命中落角和攻擊時間約束的網(wǎng)絡化導彈協(xié)同偏置比例導引律的仿真實驗驗證

3.1本文提出的協(xié)同偏置比例導引律的有效性驗證

假設使用兩枚導彈攻擊同一目標，（xT，yT）= （8 000 m，0 m）；彈1初始位置坐標為（0 m，0 m），σ01=20°，σd1=-25°，v1=280 m/s；彈2初始位置坐標為（450 m，1 000 m），σ02=-5°，σd2=-35°，v2= 280 m/s.取N=3，K=40，運用本文提出的協(xié)同偏置比例導引律對兩枚導彈進行協(xié)同制導仿真，得到兩枚導彈的主要特征變量變化曲線如圖4所示。

圖4　兩枚導彈協(xié)同攻擊目標的仿真結果Fig.4 Cooperative attack of two missiles

由圖4可以看出，彈1和彈2以各自期望的落角同時命中目標，驗證了本文提出的網(wǎng)絡化導彈協(xié)同制導律的正確性和有效性。最終彈1脫靶量為0.499 m，彈2脫靶量為0.498 m.由圖4（d）可見，兩枚彈的比例導引系數(shù)最終都收斂于3，這是由于兩彈之間的剩余攻擊時間之差隨著導彈飛行逐漸趨于0，時變增益率也隨著趨于0，因此比例系數(shù)收斂于給定的常系數(shù)N.

若采用（26）式進行各導彈剩余攻擊時間的估算，即不考慮用于控制命中落角的過載指令對飛行時間的影響，則上述兩枚導彈的協(xié)同制導效果如圖5所示。

從圖5可以看出，兩枚導彈沒有同時命中目標，剩余攻擊時間方差最終沒有收斂至0.研究表明，采用本文提出的協(xié)同偏置比例導引律對網(wǎng)絡化導彈進行協(xié)同制導時，需采用本文提出的比較精確的剩余攻擊時間估算方法，否則各導彈的攻擊時間會存在一定的誤差。

3.2多導彈協(xié)同攻擊大型目標時的有效性驗證

將目標的俯視圖簡化為六邊形，假設使用3枚導彈在偏航平面內(nèi)同時攻擊目標3條邊的中點，彈1初始位置坐標為（400 m，600 m），目標點位置為（8 550 m，75 m），σ01=-30°，σd1=30°，v1=300 m/s；彈2初始位置坐標為（0 m，500 m），目標點位置為（8500 m，0 m），σ02=0°，σd2=0°，v2=300 m/s；彈3初始位置坐標為（800 m，0 m），目標點位置為（8 550 m，-75 m），σ03=25°，σd3=-30°，v3=300 m/s.取N=3，K=30，運用本文提出的協(xié)同偏置比例導引律對3枚導彈進行制導仿真，各導彈的主要特征變量變化曲線如圖6所示。

從圖6可以看出，應用本文提出的帶命中落角和攻擊時間約束的協(xié)同偏置比例導引律，可以保證網(wǎng)絡中各導彈在同一時刻以不同的期望落角命中目標的不同關鍵部位。最終彈1脫靶量為0.497 m，彈2脫靶量為0.499 m，彈3脫靶量為0.497 m.

圖5　剩余攻擊時間估算不準確情況下的導彈協(xié)同制導效果Fig.5 Cooperative attack of two missiles at inaccurate time-to-go

圖6　3枚導彈攻擊大型目標不同位置點時的仿真結果Fig.6 The different points of a large target attacked by three missiles

4 結論

本文對多導彈協(xié)同攻擊問題進行了研究。首先針對單枚導彈給出了帶命中落角約束的偏置比例導引律，然后綜合考慮比例導引過載指令和落角控制過載指令對飛行彈道曲率的影響，提出了一種較為精確的導彈剩余攻擊時間估算方法。將該導引律推廣應用于網(wǎng)絡化導彈，提出了一種帶命中落角約束和攻擊時間約束的協(xié)同偏置比例導引律。該導引律由兩部分過載指令組成，一部分用來進行落角控制，另一部分用來調(diào)節(jié)導彈的攻擊時間，即根據(jù)各導彈的剩余攻擊時間之差，調(diào)節(jié)各導彈比例導引律中的比例系數(shù)以改變導彈的彈道曲率和飛行長度，最終達到控制各導彈攻擊時間一致的目的。本文從理論上給出了該協(xié)同偏置比例導引律的收斂性證明。最后進行了網(wǎng)絡化導彈協(xié)同制導系統(tǒng)數(shù)學仿真實驗驗證，并指出剩余攻擊時間估算的準確性對攻擊時間的一致性有一定影響。研究表明，本文提出的協(xié)同偏置比例導引律能夠保證網(wǎng)絡中各導彈以不同的期望落角同時命中目標或者目標的不同關鍵部位，能夠滿足未來戰(zhàn)場上的多導彈協(xié)同作戰(zhàn)需求。

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Cooperative Guidance Law with Impact Angle and Impact Time Constraints for Networked Missiles

ZHANG Chun-yan，SONG Jian-mei，HOU Bo，ZHANG Min-qiang
（School of Aerospace Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

Cooperative biased proportional guidance law with impact angle and impact time constraints is presented for cooperative attack of networked missiles.The biased proportional guidance law with impact angle constraints is proposed，and the expression of time-to-go in this guidance law is deduced.The proportional coefficient is adjusted by the difference of the time-to-go of each missile in the network.And the cooperative biased proportional guidance law with impact angle and impact time constraints is presented. It is proved theoretically that the multiple missiles trend to have the same time-to-go by the guidance law. Finally，the mathematical simulation of guidance system of networked missiles illustrates the validity of the proposed guidance law and the expression of time-to-go.

control science and technology；cooperative guidance law；impact angle constraint；impact time constraint；time-to-go

TJ765.3

A

1000-1093（2016）03-0431-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.03.007

2015-08-20

武器裝備預先研究項目（51420121001）

張春妍（1992—），女，博士研究生。E-mail：zhangchunyan868@126.com；宋建梅（1968—），女，副教授，博士生導師。E-mail：sjm318@bit.edu.cn