劉海濤，張志華2，董理3

（1.海軍工程大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢430033；2.海軍工程大學(xué)科研部，湖北武漢430033；3.海軍工程大學(xué)兵器工程系，湖北武漢430033）

成敗型產(chǎn)品可靠性的Bayes驗(yàn)收方案研究

劉海濤1，張志華2，董理3

（1.海軍工程大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢430033；2.海軍工程大學(xué)科研部，湖北武漢430033；3.海軍工程大學(xué)兵器工程系，湖北武漢430033）

針對(duì)成敗型產(chǎn)品生產(chǎn)定型階段的可靠性驗(yàn)收問(wèn)題，為了合理綜合利用產(chǎn)品定型階段以前的先驗(yàn)信息，利用競(jìng)爭(zhēng)失效方法建立了產(chǎn)品定型階段和批生產(chǎn)階段的可靠性信息轉(zhuǎn)換模型，進(jìn)而確定了批產(chǎn)品生產(chǎn)可靠度的先驗(yàn)分布。在此基礎(chǔ)上，給出了其后驗(yàn)分布、風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算方法以及Bayes驗(yàn)收方案的制定方法。實(shí)例分析表明，該方法能夠大大減少驗(yàn)收試驗(yàn)量，且方法穩(wěn)健。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)；可靠性；驗(yàn)收試驗(yàn)；Bayes方法；成敗型產(chǎn)品；批生產(chǎn)

0 引言

產(chǎn)品可靠性驗(yàn)收試驗(yàn)是產(chǎn)品驗(yàn)收階段的一項(xiàng)重要工作。在產(chǎn)品已通過(guò)定型并批準(zhǔn)轉(zhuǎn)入批生產(chǎn)的情況下，可靠性驗(yàn)收試驗(yàn)的目的是通過(guò)在規(guī)定條件下進(jìn)行試驗(yàn)，確定批產(chǎn)品可靠性是否符合規(guī)定要求［1］。目前，產(chǎn)品可靠性驗(yàn)收試驗(yàn)方案主要可從國(guó)家和軍用標(biāo)準(zhǔn)中選取。但是，現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)提供的試驗(yàn)方案一般要求較大的試驗(yàn)量，特別是對(duì)于許多技術(shù)復(fù)雜、造價(jià)昂貴、研制經(jīng)費(fèi)緊張的大型復(fù)雜產(chǎn)品，驗(yàn)收試驗(yàn)產(chǎn)生的費(fèi)用往往難以承受，導(dǎo)致實(shí)施存在困難。

事實(shí)上，在大型產(chǎn)品的研制過(guò)程中，通常會(huì)進(jìn)行環(huán)境應(yīng)力篩選試驗(yàn)和可靠性鑒定試驗(yàn)等，因此，將產(chǎn)品定型階段的可靠性鑒定試驗(yàn)信息作為批產(chǎn)品驗(yàn)收的先驗(yàn)信息可以大大減小試驗(yàn)量。如文獻(xiàn)［2-3］利用可靠性鑒定試驗(yàn)信息確定批產(chǎn)品失效率的先驗(yàn)分布，分析了不同保證試驗(yàn)方案的風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題。文獻(xiàn)［4］針對(duì)裝備研制過(guò)程中存在多階段試驗(yàn)信息的特點(diǎn)，提出一種變總體下的Bayes可靠性試驗(yàn)鑒定方法。文獻(xiàn)［5］針對(duì)傳統(tǒng)Bayes方法對(duì)驗(yàn)前信息和現(xiàn)場(chǎng)信息不加區(qū)分的缺點(diǎn)，提出一種融合多源驗(yàn)前信息的成敗型產(chǎn)品可靠性評(píng)估模型。但是，上述方法對(duì)如何將不同研制階段的產(chǎn)品信息轉(zhuǎn)化為批產(chǎn)品的先驗(yàn)信息討論較少。

實(shí)際上，可靠性鑒定試驗(yàn)的主要目的是驗(yàn)證產(chǎn)品的設(shè)計(jì)水平和零部件選用是否達(dá)到任務(wù)規(guī)定的要求。而在批生產(chǎn)過(guò)程中，生產(chǎn)工藝（材料的選用、生產(chǎn)設(shè)施、人員的操作技術(shù)與管理水平）等方面可能存在一定問(wèn)題，因此在批生產(chǎn)階段特別是生產(chǎn)初期，批產(chǎn)品可靠度將低于定型可靠度。也就是說(shuō)，批產(chǎn)品的可靠性是由其設(shè)計(jì)、零部件及生產(chǎn)工藝等因素決定的，而可靠性鑒定試驗(yàn)主要是發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和零部件缺陷，對(duì)生產(chǎn)工藝中存在的缺陷則無(wú)法充分考察［6-7］，因此，直接利用可靠性鑒定試驗(yàn)信息確定批產(chǎn)品可靠度的先驗(yàn)分布并不合理。針對(duì)這一問(wèn)題，文獻(xiàn)［8］利用競(jìng)爭(zhēng)失效模型建立產(chǎn)品定型階段和批生產(chǎn)階段的可靠性信息轉(zhuǎn)換模型，進(jìn)而確定批產(chǎn)品失效率的先驗(yàn)分布并對(duì)驗(yàn)收試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行定量分析，但是該方法只針對(duì)指數(shù)分布進(jìn)行了分析。

因此，本文以成敗型產(chǎn)品為研究對(duì)象，通過(guò)建立競(jìng)爭(zhēng)失效模型對(duì)產(chǎn)品定型階段的試驗(yàn)信息進(jìn)行綜合，給出批產(chǎn)品可靠度的先驗(yàn)分布。在此基礎(chǔ)上，對(duì)驗(yàn)收試驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析，并給出驗(yàn)收試驗(yàn)方案的制定方法。

1 基于競(jìng)爭(zhēng)失效模型的先驗(yàn)分布確定

1.1競(jìng)爭(zhēng)失效模型

由上文分析可知，批產(chǎn)品的失效機(jī)理可分為設(shè)計(jì)缺陷、零部件缺陷和工藝缺陷3種，其中任何一種機(jī)理的發(fā)生均會(huì)導(dǎo)致失效。因此，批產(chǎn)品失效實(shí)際是由設(shè)計(jì)缺陷、零部件缺陷和工藝缺陷共同組成的競(jìng)爭(zhēng)失效模型。

而在產(chǎn)品研制階段，工程人員主要關(guān)注產(chǎn)品設(shè)計(jì)的合理性以及零部件缺陷，因此，研制階段的產(chǎn)品失效主要由設(shè)計(jì)缺陷和零部件缺陷引起。記pd、pc（0＜pd，pc＜1）分別為設(shè)計(jì)缺陷和零部件缺陷所引起產(chǎn)品失效的概率，則Rd=1-pd，Rc=1-pc分別為設(shè)計(jì)缺陷和零部件缺陷不引起產(chǎn)品失效的概率，稱其為設(shè)計(jì)可靠度和零部件可靠度。由競(jìng)爭(zhēng)失效模型可知［9］，產(chǎn)品定型可靠度為

通過(guò)定型試驗(yàn)的產(chǎn)品轉(zhuǎn)入批生產(chǎn)階段后，設(shè)pp為工藝缺陷所引起批產(chǎn)品失效的概率，則批產(chǎn)品的生產(chǎn)可靠度R［9］為

式中：Rp=1-pp為工藝缺陷不引起產(chǎn)品失效的概率，稱其為工藝可靠度，pp為工藝缺陷引起的產(chǎn)品失效概率。

由（2）式可知，批產(chǎn)品的生產(chǎn)可靠度R與定型可靠度R＇及工藝可靠度Rp有關(guān)。為了對(duì)批產(chǎn)品的生產(chǎn)可靠度R進(jìn)行評(píng)估，可以首先對(duì)產(chǎn)品定型可靠度R＇和工藝可靠度Rp進(jìn)行評(píng)估，然后利用（2）式得到批產(chǎn)品的生產(chǎn)可靠度R的評(píng)估結(jié)果。但是，工藝可靠度的評(píng)估往往比較困難，特別是在產(chǎn)品初期，可用于評(píng)估的信息非常少。

為此，對(duì)（2）式兩邊取對(duì)數(shù)，得到：

由此，可以定義比例系數(shù)ω為

對(duì)于（4）式，在產(chǎn)品可靠度較高的條件下，利用1階泰勒展開(kāi)可以得到：

由于在試驗(yàn)量為N時(shí)，N（1-Rp）實(shí)際上表示了由工藝缺陷所引起的失效個(gè)數(shù)，N（1-R）則表示了產(chǎn)品的總失效個(gè)數(shù)，因此，系數(shù)ω可近似表示因工藝缺陷引起產(chǎn)品失效占產(chǎn)品失效總數(shù)的比例，它綜合反映了批產(chǎn)品的生產(chǎn)工藝水平，可利用批產(chǎn)品的實(shí)際使用數(shù)據(jù)或?qū)＜医?jīng)驗(yàn)信息等確定。

由（3）式和（5）式可以得到：

1.2生產(chǎn)可靠度的先驗(yàn)分布

由（6）式可知，為了得到生產(chǎn)可靠度R的先驗(yàn)分布，需要確定定型可靠度R＇的先驗(yàn)分布與系數(shù)ω.由于ω表示批產(chǎn)品因工藝缺陷造成產(chǎn)品失效占總失效數(shù)的比例，因此當(dāng)批產(chǎn)品使用信息較多，可以較為準(zhǔn)確地估計(jì)ω并將其作為常數(shù)處理；當(dāng)批產(chǎn)品使用信息不多，即關(guān)于系數(shù)ω的信息較少時(shí)，可以將系數(shù)ω視為隨機(jī)變量，并利用掌握的先驗(yàn)信息確定它的先驗(yàn)分布。本文以將ω視為常數(shù)為例進(jìn)行分析。

為了得到定型可靠度R＇的先驗(yàn)分布，首先設(shè)分布形式為共軛先驗(yàn)分布Beta（R＇|a0，b0），其密度函數(shù)為

式中：a0、b0為超參數(shù)。

由于可靠性鑒定試驗(yàn)可能采用一次抽樣檢驗(yàn)、二次抽樣檢驗(yàn)、多次抽樣檢驗(yàn)以及序貫抽樣檢驗(yàn)等不同方案，所得到的數(shù)據(jù)形式也不相同，因此，為敘述的統(tǒng)一起見(jiàn)，不妨從可靠性鑒定試驗(yàn)的定型結(jié)論出發(fā)構(gòu)造其先驗(yàn)分布。

記可靠性鑒定試驗(yàn)的定型結(jié)論為：1）在置信水平γ下，可靠度置信下限為R＇L；2）可靠度的點(diǎn)估計(jì)為則超參數(shù)a0、b0可利用下列方程組［10］求得

由此，利用（6）式和（7）式，在給定系數(shù)ω的情況下，可以得到批產(chǎn)品生產(chǎn)可靠度R的先驗(yàn)分布為

但是，（8）式所示的先驗(yàn)分布在實(shí)際使用中并不方便。為了工程應(yīng)用方便，使用 Beta分布Beta（R|a，b）作為先驗(yàn)分布式（8）式的近似分布，即批產(chǎn)品生產(chǎn)可靠度R的先驗(yàn)近似分布為Beta（R|a，b），此時(shí)參數(shù)a、b［7］滿足

即

式中：μ、ν分別表示批產(chǎn)品生產(chǎn)可靠度R的1階矩和2階矩，即

2 驗(yàn)收方案的制定

2.1后驗(yàn)分布的確定

對(duì)給定的批產(chǎn)品生產(chǎn)可靠度R的先驗(yàn)分布Beta（R|a，b）和任一生產(chǎn)定型試驗(yàn)結(jié)果（N，r），其后驗(yàn)密度函數(shù)為

后驗(yàn)概率為

2.2風(fēng)險(xiǎn)分析

記合格質(zhì)量水平為R0，對(duì)于生產(chǎn)方，其風(fēng)險(xiǎn)為合格產(chǎn)品沒(méi)有通過(guò)驗(yàn)證試驗(yàn)而被拒收的概率，即P（沒(méi)通過(guò)檢驗(yàn)|R≥R0），也即

若給定生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α，則只需要求

特別地

記極限質(zhì)量水平為Rl，使用方風(fēng)險(xiǎn)為β，對(duì)于使用方而言，其風(fēng)險(xiǎn)為接收的產(chǎn)品為不合格產(chǎn)品的概率，即P（R≤Rl|通過(guò)檢驗(yàn)），即

特別地

2.3方案的制定

綜上，只需要求制定的驗(yàn)證試驗(yàn)方案（N，c）滿足（12）式和（13）式的聯(lián)立方程組

即可滿足生產(chǎn)與使用雙方對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的要求，保證雙方的利益。其方案制定步驟為：

1）對(duì)給定的使用方風(fēng)險(xiǎn)β和產(chǎn)品可靠度的目標(biāo)值Rl，利用（13）式求出總試驗(yàn)次數(shù)N；

2）計(jì)算L（R0），如果（12）式不滿足（即達(dá)不到生產(chǎn)方可接受的要求），則在使用方允許的范圍內(nèi)適當(dāng)調(diào)整使用方風(fēng)險(xiǎn)β或合格質(zhì)量水平R0。重復(fù)上述步驟。

3 實(shí)例分析

設(shè)某成敗型產(chǎn)品的合同書(shū)規(guī)定其任務(wù)可靠度為R0=0.999.綜合考慮生產(chǎn)方和使用方因素，確定其可靠性驗(yàn)收試驗(yàn)的相關(guān)參數(shù)為：合格質(zhì)量水平R0= 0.999，鑒別比d=2.0；生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α=30%；使用方風(fēng)險(xiǎn)取β=30%.同時(shí)，已知該產(chǎn)品在定型階段的可靠性鑒定試驗(yàn)中共進(jìn)行了648次試驗(yàn)，均未發(fā)生失敗。

3.1經(jīng)典驗(yàn)收試驗(yàn)方案

查閱國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB5080.5—85，可以容易地獲得批產(chǎn)品的經(jīng)典一次計(jì)數(shù)抽樣驗(yàn)收試驗(yàn)方案，如表1所示。

表1　某成敗型批產(chǎn)品可靠性驗(yàn)收試驗(yàn)的經(jīng)典方案Tab.1 Classical reliability testing schemes for a batch of binominal products

3.2Bayes驗(yàn)收試驗(yàn)方案

由已知可靠性鑒定試驗(yàn)數(shù)據(jù)（648，0），根據(jù)（9）式可以得到系數(shù)ω下生產(chǎn)可靠度R的先驗(yàn)分布Beta（R|a，b），如表2所示，例如當(dāng)ω=1/10時(shí)，代入（9）式可求得a=583.199 9，b=1.000 0.在已知批產(chǎn)品可靠度的先驗(yàn)分布Beta（R|a，b）的情況下，由（10）式和（11）式可以得到批產(chǎn)品可靠度后驗(yàn)密度函數(shù)和后驗(yàn)概率。

然后按照2.3節(jié)驗(yàn)收方案的制定步驟，可以得到相應(yīng)的Bayes驗(yàn)收試驗(yàn)方案，如表2所示。其中，N0為失效數(shù)為0時(shí)的驗(yàn)收方案，N1為失效數(shù)為1時(shí)的驗(yàn)收方案，N2為失效數(shù)為2時(shí)的驗(yàn)收方案，N3為失效數(shù)為3時(shí)的驗(yàn)收方案。

表2　某成敗型批產(chǎn)品可靠性Bayes驗(yàn)收方案及相關(guān)參數(shù)Tab.2 Bayesian reliability testing schemes and parameters for a batch of binominal products

由表2可以看到，隨著ω的增大，也即工藝缺陷對(duì)產(chǎn)品的影響越來(lái)越大，驗(yàn)收試驗(yàn)量平穩(wěn)地增大。例如，ω=1/4時(shí)的無(wú)失效方案為116，ω=1/3時(shí)的無(wú)失效方案為170，ω=2/5時(shí)的無(wú)失效方案為213，可見(jiàn)隨著工藝缺陷影響的增大，試驗(yàn)量增加的幅度較為平穩(wěn)，如從ω=1/4增加到ω=1/3時(shí)試驗(yàn)量增加54，而從ω=1/3增加到ω=2/5時(shí)試驗(yàn)量則增加43.

4 結(jié)論

對(duì)許多價(jià)值昂貴的大型復(fù)雜產(chǎn)品，傳統(tǒng)可靠性驗(yàn)收方法所要求的試驗(yàn)量過(guò)大，導(dǎo)致驗(yàn)收方案難以實(shí)施。針對(duì)此問(wèn)題，分析了成敗型產(chǎn)品可靠性的Bayes驗(yàn)收方案制定問(wèn)題，利用競(jìng)爭(zhēng)失效模型對(duì)定型階段和批生產(chǎn)階段的可靠性信息進(jìn)行合理綜合，在此基礎(chǔ)上，給出了其Bayes驗(yàn)收方案的制定方法。實(shí)例分析表明，該方法具有較好的穩(wěn)健性，且通過(guò)合理利用可靠性先驗(yàn)信息，大大減少了驗(yàn)收試驗(yàn)量。下一步，可利用該思路進(jìn)一步研究產(chǎn)品驗(yàn)收可靠度的評(píng)估問(wèn)題。

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Bayesian Acceptance Test Scheme for Reliability of Binomial Products

LIU Hai-tao1，ZHANG Zhi-hua2，DONG Li3
（1.College of Science，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，Hubei，China；2.Office of Research&Development，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，Hubei，China；3.Department of Weaponry Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，Hubei，China）

For the acceptance test of binominal products in the production definition phase，an information transition model for type approval phase and batch production phase is established using competitionfailure method in order to properly use the prior information of the type approval phase.The prior distribution of batch products’reliability is presented.On this basis，the calculation method of posterior distribution and risk is given，and a Bayesian acceptance test scheme is proposed.The experimental results show that the proposed method can be used to enormously reduce the acceptance test，and has preferable stability.

mathematical statistics；reliability；acceptance test；Bayesian method；binominal product； batch production

O213.2

A

1000-1093（2016）03-0565-05

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.03.025

2015-03-01

海軍工程大學(xué)自然科學(xué)基金項(xiàng)目（HGDQNEQJJ15002）；海軍工程大學(xué)社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目（HGDSKJJ2015E10）

劉海濤（1982—），男，講師，博士。E-mail：liuhaitao0211@163.com