曹廣福，張蜀青

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論數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與評(píng)價(jià)的核心要素——以高中導(dǎo)數(shù)概念課為例

曹廣福，張蜀青

（廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心要素是：是否挖掘出促使概念或原理產(chǎn)生的實(shí)質(zhì)性問(wèn)題；是否創(chuàng)設(shè)了真實(shí)且具有重要價(jià)值的問(wèn)題情境；是否具有對(duì)問(wèn)題的科學(xué)思考與辨析；邏輯是否嚴(yán)密；計(jì)算是否準(zhǔn)確；學(xué)生是否能理解并熟練運(yùn)用概念與原理．

問(wèn)題；核心要素；導(dǎo)數(shù)概念課；反思

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)到底該教什么？課堂教學(xué)的本質(zhì)是什么？如何評(píng)價(jià)一節(jié)課？評(píng)價(jià)一節(jié)課的核心指標(biāo)是什么？這是長(zhǎng)期以來(lái)人們一直在思考的問(wèn)題．

評(píng)價(jià)一節(jié)課的指標(biāo)很多，中學(xué)大學(xué)皆然，這些評(píng)課指標(biāo)通常包括教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)的掌控以及教師的教態(tài)、語(yǔ)言、板書(shū)等等，其中有關(guān)諸如創(chuàng)新性、數(shù)學(xué)素養(yǎng)等方面的指標(biāo)多少顯得有點(diǎn)空泛，缺少可操作性．實(shí)際的教學(xué)與評(píng)價(jià)往往停留在知識(shí)的簡(jiǎn)單傳授，缺乏對(duì)課程內(nèi)容的深刻理解．本文試圖針對(duì)概念課、原理課的教學(xué)探討數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的本質(zhì)是什么？如何體現(xiàn)這種本質(zhì)？如何判斷一節(jié)課的優(yōu)劣？其核心要素是什么？

1 數(shù)學(xué)課堂的核心要素

圍繞問(wèn)題展開(kāi)的課堂教學(xué)大致由4個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)組成，即創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境環(huán)節(jié)、分析問(wèn)題環(huán)節(jié)、解決問(wèn)題環(huán)節(jié)以及固化與運(yùn)用環(huán)節(jié)，每個(gè)環(huán)節(jié)中都包含著核心要素．

1.1 問(wèn)題情境

數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是什么？要弄清楚這個(gè)問(wèn)題，首先要清楚數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么？這是兩個(gè)哲學(xué)范疇的問(wèn)題，迄今并沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)答案．但有一點(diǎn)是眾所周知的，任何學(xué)科從產(chǎn)生到發(fā)展直至最終完善都是個(gè)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，沒(méi)有問(wèn)題的出現(xiàn)與問(wèn)題的解決，也就不會(huì)有自然科學(xué)，數(shù)學(xué)亦然．希爾伯特曾說(shuō)過(guò)這樣的話：“一門(mén)學(xué)科如果能不斷提出問(wèn)題，那它就充滿活力[1]．”由此可見(jiàn)，問(wèn)題是促使一門(mén)學(xué)科發(fā)展的源動(dòng)力．

弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的‘再創(chuàng)造’”[2]．換言之，數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)在于引導(dǎo)學(xué)生重新發(fā)現(xiàn)概念與原理，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系．可見(jiàn)數(shù)學(xué)教育同樣離不開(kāi)問(wèn)題．然而，盡管數(shù)學(xué)教育一貫提倡提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，課堂貌似圍繞著問(wèn)題展開(kāi)，但教師所設(shè)計(jì)的問(wèn)題普遍停留在知識(shí)與技術(shù)層面上，缺少對(duì)本質(zhì)問(wèn)題的探究．

問(wèn)題有真問(wèn)題與偽問(wèn)題之分，問(wèn)題與問(wèn)題情境也有著本質(zhì)不同．?dāng)?shù)學(xué)課堂需要圍繞著什么樣的問(wèn)題展開(kāi)？這樣的問(wèn)題與問(wèn)題情境是什么關(guān)系？這是需要搞清楚的．

任何概念與原理都不是空中樓閣，中學(xué)數(shù)學(xué)中無(wú)論是概念的建立還是原理的發(fā)現(xiàn)都是為了解決某個(gè)或某類問(wèn)題．而解決什么問(wèn)題則是教師在設(shè)計(jì)教案前首先應(yīng)該思考的問(wèn)題．只有弄清楚問(wèn)題之后才真正進(jìn)入教案設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，教案設(shè)計(jì)的一個(gè)難點(diǎn)是創(chuàng)設(shè)合適的情境，從而將問(wèn)題嵌入到該情境中形成問(wèn)題情境．

何謂真問(wèn)題？促使一個(gè)概念產(chǎn)生或一個(gè)原理被發(fā)現(xiàn)的那個(gè)原始問(wèn)題就是真問(wèn)題，否則就是偽問(wèn)題．真問(wèn)題又分為“本原性”問(wèn)題與“派生性”問(wèn)題，所謂本原性問(wèn)題是指促使事物產(chǎn)生的最初根源，所謂派生性問(wèn)題則是指某個(gè)理論在產(chǎn)生之后根據(jù)自身發(fā)展與邏輯產(chǎn)生的問(wèn)題．古典數(shù)學(xué)與近代數(shù)學(xué)的本原性問(wèn)題常常與生活或自然科學(xué)有關(guān)，例如，促使微積分產(chǎn)生的本原性問(wèn)題有4類：（1）面積問(wèn)題；（2）速度與路程問(wèn)題；（3）光學(xué)與切線問(wèn)題；（4）最大最小值問(wèn)題．而促使微積分理論發(fā)展起來(lái)的許多問(wèn)題則是派生性問(wèn)題．例如不定積分概念是一個(gè)純數(shù)學(xué)的概念，它本身與自然科學(xué)無(wú)關(guān)，是數(shù)學(xué)家發(fā)明出來(lái)的東西，它的出現(xiàn)是為了計(jì)算函數(shù)的定積分，所以“如何計(jì)算函數(shù)的定積分”就是個(gè)派生性問(wèn)題．事實(shí)上，在定積分概念出現(xiàn)之前，面積問(wèn)題就已為大家所關(guān)心，只不過(guò)在定積分出現(xiàn)之前，人們能計(jì)算的面積十分有限，即使是圓的面積問(wèn)題也不是平凡的．當(dāng)有了定積分概念后，面積問(wèn)題一下擴(kuò)展到了非常一般的圖形，其解決也有了更有效的數(shù)學(xué)手段．但是，在牛頓—萊布尼茲公式出現(xiàn)前，定積分的計(jì)算仍然是困難的，正是定積分的計(jì)算問(wèn)題促使了不定積分概念的產(chǎn)生以及牛頓—萊布尼茲公式的出現(xiàn)．

數(shù)學(xué)教育的根本是傳授數(shù)學(xué)思想，而承載數(shù)學(xué)思想的最好媒介是促使理論形成并發(fā)展的“問(wèn)題”，因此教師在課堂教學(xué)中必須抓住促使概念與原理產(chǎn)生的真問(wèn)題．課堂教學(xué)也應(yīng)該是一個(gè)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程具有3大教育功能：（1）引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)與思辨能力；（2）問(wèn)題的分析與解決過(guò)程常常閃現(xiàn)著思想的光芒，通過(guò)這個(gè)過(guò)程讓學(xué)生品味數(shù)學(xué)思想；（3）解決問(wèn)題的過(guò)程也是概念與原理建立與檢驗(yàn)的過(guò)程，它可以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析辨別發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，從而提煉出數(shù)學(xué)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理，并培養(yǎng)邏輯演繹與計(jì)算能力；同時(shí)，這也是如何在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中建立數(shù)學(xué)理論與方法的典型示范．這些教育功能是將數(shù)學(xué)教育當(dāng)成數(shù)學(xué)知識(shí)傳授的傳統(tǒng)課堂所無(wú)法實(shí)現(xiàn)的．由此可見(jiàn)，課堂教學(xué)中“有沒(méi)有抓住促使概念或原理產(chǎn)生的實(shí)質(zhì)性問(wèn)題”是評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心要素之一．

評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的第二個(gè)核心要素是情境的創(chuàng)設(shè)．情境也有真情境與偽情境之分，弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的生活體驗(yàn)與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)．”[2]這就是說(shuō)，教師需要根據(jù)學(xué)生的生活體驗(yàn)與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫?，這種情境不僅應(yīng)該是真實(shí)的，更應(yīng)該是有價(jià)值的，也就是所謂的真情境．什么樣的情境是真情境？它應(yīng)該滿足3個(gè)條件之一：（1）具有重要的生活意義；（2）具有重要的科學(xué)價(jià)值；（3）具有重要的數(shù)學(xué)價(jià)值．不具備這3個(gè)條件之一的情境就是所謂的偽情境．例如，人教版教材高中必修2-2[3]在引入變化率時(shí)創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“氣球情境”，向氣球中吹氣時(shí)氣球會(huì)膨脹，當(dāng)氣球的半徑增加若干時(shí)，球的體積增加了多少．研究者認(rèn)為這不是前文所指的真情境，因?yàn)樯钪袥](méi)有人會(huì)真正關(guān)心作為玩具或裝飾的氣球體積發(fā)生什么變化，而且實(shí)際上人們常見(jiàn)的氣球并非標(biāo)準(zhǔn)的球，其體積計(jì)算本身就是個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題．

如何創(chuàng)設(shè)一個(gè)真實(shí)的問(wèn)題情境并非一件簡(jiǎn)單的事情，它不僅需要教師熟悉生活、熟悉相關(guān)學(xué)科（如物理）的一些常識(shí)，更需要教師善于觀察，具有敏銳的洞察力，能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，通過(guò)合情推理還原數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程與數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程．因此“有沒(méi)有創(chuàng)設(shè)真實(shí)有效的問(wèn)題情境”是評(píng)價(jià)課堂教學(xué)的第二個(gè)核心要素．

1.2 問(wèn)題分析

挖掘問(wèn)題、創(chuàng)設(shè)情境是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的過(guò)程．分析問(wèn)題的過(guò)程則是思辨過(guò)程，也是大膽猜測(cè)的過(guò)程，其中閃現(xiàn)著思想的光芒，從某種意義上說(shuō)，它比最終的解決問(wèn)題更重要，創(chuàng)新能力往往來(lái)源于此．很難想象，教師的課堂教學(xué)沒(méi)有對(duì)問(wèn)題的思考辨析，其教學(xué)過(guò)程能擦出思想的火花，學(xué)生能學(xué)會(huì)思考問(wèn)題．

一個(gè)比較嚴(yán)峻的現(xiàn)實(shí)是，很多一線教師不是忽略了這個(gè)過(guò)程就是缺少把握問(wèn)題的能力，概念直接給出，一帶而過(guò)，數(shù)學(xué)定理直接從已知到結(jié)論，然后給出證明，這是典型的照本宣科．過(guò)去很多人認(rèn)為只要例題或定理的證明不是書(shū)本上的就不是照本宣科，這是對(duì)照本宣科的誤解．是否照本宣科并不體現(xiàn)在是否照著教材上的內(nèi)容講授，而在于對(duì)教材內(nèi)容有沒(méi)有自己的見(jiàn)解，有沒(méi)有挖掘出隱藏在概念、定理背后的深刻思想內(nèi)涵．概念、定理正是在對(duì)問(wèn)題的思辨過(guò)程中建立與發(fā)現(xiàn)的．通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思辨，從中發(fā)現(xiàn)有規(guī)律性的東西進(jìn)而大膽作出猜測(cè)，得出初步結(jié)論．所以評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的第三個(gè)核心要素是“有沒(méi)有對(duì)問(wèn)題的思考辨析”？

1.3 問(wèn)題解決

問(wèn)題解決是一個(gè)小心求證的過(guò)程，其求證的過(guò)程常常需要邏輯演繹與算法．創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境與問(wèn)題分析環(huán)節(jié)是思辨的過(guò)程，有時(shí)候這個(gè)過(guò)程可能需要占據(jù)課堂的大部分時(shí)間，而問(wèn)題解決過(guò)程是在對(duì)問(wèn)題做出深入分析之后的“梳理”過(guò)程，因?yàn)樵诜治鰡?wèn)題的過(guò)程中實(shí)際上已經(jīng)對(duì)問(wèn)題的解決有了比較清晰的思路，不僅對(duì)結(jié)論有了比較清楚的認(rèn)識(shí)，對(duì)其證明也有了明確的路線，問(wèn)題解決環(huán)節(jié)是驗(yàn)證前兩個(gè)環(huán)節(jié)中建立的概念是否科學(xué)合理，發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否正確可靠，但是這個(gè)驗(yàn)證的路線在思辨環(huán)節(jié)差不多已經(jīng)找到了．所以，有些時(shí)候問(wèn)題解決環(huán)節(jié)未必需要占用課堂太多的時(shí)間．

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂過(guò)分注重了教學(xué)的第三個(gè)環(huán)節(jié)即問(wèn)題解決，草率或隨意創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，淡化問(wèn)題分析，忽略思辨過(guò)程，數(shù)學(xué)課變成了技能培訓(xùn)課，學(xué)生學(xué)了一大堆知識(shí)，掌握了一整套技巧，卻不知所學(xué)何用．

在問(wèn)題解決環(huán)節(jié)教師的重點(diǎn)應(yīng)該是幫助學(xué)生從分析問(wèn)題的過(guò)程中梳理出解決問(wèn)題的思路來(lái)．很多時(shí)候，分析問(wèn)題的過(guò)程與解決問(wèn)題的過(guò)程是反過(guò)來(lái)的，也就是說(shuō)，從問(wèn)題出發(fā)，為了解決這個(gè)問(wèn)題，需要具備什么樣的條件，層層遞進(jìn)，最終找到與給定條件即“已知”的邏輯關(guān)系．在問(wèn)題解決環(huán)節(jié)，教師需要幫助學(xué)生將邏輯關(guān)系理順，這個(gè)過(guò)程是邏輯演繹能力與計(jì)算能力的培養(yǎng)過(guò)程，它同樣是重要的，所以在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的核心要素是“邏輯是否嚴(yán)密，計(jì)算是否準(zhǔn)確”．

1.4 固化與運(yùn)用

所謂固化是指對(duì)概念與原理的鞏固與強(qiáng)化過(guò)程，運(yùn)用則是運(yùn)用概念或原理解決問(wèn)題，對(duì)概念與原理的掌握需要一個(gè)固化過(guò)程，通常是通過(guò)對(duì)概念或原理內(nèi)涵與外延的分析幫助學(xué)生鞏固與強(qiáng)化，有時(shí)候也通過(guò)一些簡(jiǎn)單的例子來(lái)輔助這個(gè)固化過(guò)程，但輔助固化的例子應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單，復(fù)雜的例子會(huì)掩蓋概念與原理的本質(zhì)，不利于強(qiáng)化對(duì)概念與原理的理解．固化環(huán)節(jié)與前幾個(gè)環(huán)節(jié)通常在同一節(jié)課堂中完成．

運(yùn)用是為了加深對(duì)概念與原理的理解，同時(shí)也是檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)概念與原理的掌握程度，它涵蓋兩個(gè)子環(huán)節(jié)：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用并做示范；（2）學(xué)生獨(dú)立運(yùn)用．哈爾莫斯曾說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好方法是做數(shù)學(xué)”[4]，適度的練習(xí)是必要的，既可以加深對(duì)概念與原理的理解，又可以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用概念與原理解決數(shù)學(xué)或?qū)嶋H問(wèn)題．這個(gè)環(huán)節(jié)有時(shí)候可能與前幾個(gè)環(huán)節(jié)不在同一節(jié)課內(nèi)完成，需要專門(mén)的時(shí)間，這就是所謂的解題課．從問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的課堂教學(xué)視角看，解題課是概念課與原理課的延伸與輔助．

作為課堂教學(xué)必不可少的環(huán)節(jié)之一，固化與運(yùn)用的核心要素是“學(xué)生對(duì)概念與原理的理解與熟練運(yùn)用程度”．

由于現(xiàn)行的評(píng)價(jià)體系中關(guān)于創(chuàng)新能力、素養(yǎng)等方面的指標(biāo)缺少實(shí)際的可操作性．實(shí)際上評(píng)價(jià)者很多時(shí)候并沒(méi)有就能力、素養(yǎng)等方面做出客觀的評(píng)價(jià)，因此這些指標(biāo)并不能真正起到導(dǎo)向作用．前面談及的幾個(gè)核心要素不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)，也具有可操作性，評(píng)價(jià)者易于把握．需要指出的是，不同學(xué)科具有不同的特點(diǎn)，所以應(yīng)該根據(jù)不同學(xué)科尋找相應(yīng)的核心要素，制定相應(yīng)的核心指標(biāo)，而不是一刀切．

2 課例與評(píng)析

下面介紹一節(jié)導(dǎo)數(shù)課案例，講授者是大學(xué)教授．授課教材選自人教版高中必修2-2．導(dǎo)數(shù)概念在第一章的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用部分，講授者沒(méi)有采用教材上的例子作為問(wèn)題情境，而是按如下方式進(jìn)行引入．

2.1 引入變化率

首先與學(xué)生討論了什么叫變化率，借此復(fù)習(xí)了函數(shù)概念以及勻速運(yùn)動(dòng)物體路程與速度之間的關(guān)系．從學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活考慮，拋出了第一個(gè)看似簡(jiǎn)單而內(nèi)涵豐富，具有一定思辨的問(wèn)題（見(jiàn)問(wèn)題1）．

問(wèn)題1：如果大米與水的價(jià)格均上漲或下降了，大米與水的需求量將發(fā)生什么樣的變化？你能粗略模擬出大米和水的需求量與價(jià)格的關(guān)系曲線嗎？它們揭示了什么道理？

問(wèn)題2：人沒(méi)有了水能不能活？人沒(méi)有了大米能不能活？

評(píng)析：這是根據(jù)學(xué)生的生活體驗(yàn)創(chuàng)設(shè)的兩個(gè)問(wèn)題情境，在以上問(wèn)題的討論中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析大米的需求量與水的需求量相對(duì)于價(jià)格的變化有什么不同的變化？并由學(xué)生根據(jù)分析，在黑板上畫(huà)出大米及水的需求量與價(jià)格的關(guān)系曲線．通過(guò)對(duì)圖像的分析揭示出經(jīng)濟(jì)學(xué)上的一個(gè)重要概念，即“敏感度”問(wèn)題，它也正是需求量關(guān)于價(jià)格的變化率問(wèn)題．通過(guò)對(duì)兩個(gè)問(wèn)題的探討，學(xué)生不僅了解了變化率與生活密切相關(guān)，而且明白了一些經(jīng)濟(jì)學(xué)常識(shí)：水是一種不可替代的生活必需品，它對(duì)于價(jià)格是不敏感的，所以不可以市場(chǎng)化，只能由政府調(diào)控．而大米則是具有替代品的物資，故敏感度比較高．

問(wèn)題3：在這個(gè)寒冷的早晨，你爸爸開(kāi)車送你上學(xué)，由于交通擁堵，路況復(fù)雜等原因，一路走走停停，好不容易將你按時(shí)送到學(xué)校．為了報(bào)答你爸爸送你上學(xué)時(shí)的辛苦，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)方法描述一下你爸爸送你上學(xué)時(shí)的狀況．

評(píng)析：這是學(xué)生生活中可能遇到的另一個(gè)問(wèn)題情境，它涉及到汽車行駛涉及哪些因素，汽車速度的變化等問(wèn)題，它來(lái)自于生活，又蘊(yùn)含深刻的數(shù)學(xué)思想．教師根據(jù)學(xué)生已有的物理知識(shí)，從3個(gè)主要方面層層揭開(kāi)數(shù)學(xué)建模．首先，引導(dǎo)學(xué)生探討如何運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究實(shí)際問(wèn)題；其次，如何從實(shí)際問(wèn)題涉及的諸多因素中，尋找主要因素建立模型；再次，數(shù)學(xué)模型是否精確描述了實(shí)際問(wèn)題．這3個(gè)遞進(jìn)式的啟發(fā)和探索，是一個(gè)邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、符合學(xué)生認(rèn)知場(chǎng)的問(wèn)題鏈．學(xué)生通過(guò)教師的引導(dǎo)，不僅學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是體會(huì)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，以及數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問(wèn)題的關(guān)系．

2.2 引出瞬時(shí)速度

評(píng)析：由于學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò)連續(xù)函數(shù)的概念，教師只能通過(guò)第二個(gè)問(wèn)題引發(fā)學(xué)生做直觀的思考．教師還建議學(xué)生課外撰寫(xiě)一篇具有數(shù)學(xué)味道的散文，將問(wèn)題中涉及的路程、平均速度、瞬時(shí)速度等概念融入到文章中．這樣的作業(yè)可能是中學(xué)老師意想不到的，令學(xué)生“大開(kāi)眼界”．汽車的實(shí)際行駛狀況是很難用一般的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述的，取決于具體的運(yùn)行狀況，于是教師又拋出了下面的問(wèn)題．

問(wèn)題：牛頓當(dāng)年在干什么？眾所周知，牛頓發(fā)明了三大定律，你是否知道牛頓處理的并非勻速運(yùn)動(dòng)？蘋(píng)果砸在牛頓的頭上讓牛頓領(lǐng)悟到了什么？他得到了什么重要公式？

評(píng)析：學(xué)生不難回答牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力．牛頓怎么領(lǐng)悟到萬(wàn)有引力的？是因?yàn)樘O(píng)果從樹(shù)上自由落下了，于是教師問(wèn)學(xué)生：如果落到牛頓頭上的不是蘋(píng)果，而是伽利略用于實(shí)驗(yàn)的鐵球，結(jié)果將如何？學(xué)生歡笑之余答道：“會(huì)被砸死．”教師又問(wèn)：“為什么會(huì)被砸死？”學(xué)生答：“因?yàn)殍F球太重．”教師說(shuō)：“鐵球雖然比蘋(píng)果重，但也不會(huì)重太多，何至于砸死牛頓？”有學(xué)生說(shuō)道：“因?yàn)殍F球可能從更高的地方落下．”這下回到了問(wèn)題的本質(zhì)：鐵球如果掉到牛頓頭上，牛頓除了要承受鐵球自身的質(zhì)量，還要承受物體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)量或沖量．動(dòng)量公式還記得嗎？學(xué)生毫不猶豫說(shuō)出來(lái)了：．也就是說(shuō)，動(dòng)量與速度有關(guān)，而鐵球落下遵循自由落體公式．教師又拋出了一個(gè)思考題：

問(wèn)題4：假設(shè)伽利略的鐵球從50 m高的天臺(tái)上落下，請(qǐng)問(wèn)在鐵球落下一秒時(shí)距離地面還有多高？這個(gè)時(shí)刻的速度是多少？落下兩秒時(shí)情況如何？這時(shí)的速度會(huì)發(fā)生變化嗎？

評(píng)析：由于有了前面的問(wèn)題做鋪墊，學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題的理解就不會(huì)有多大困難了．關(guān)鍵在于怎么計(jì)算在一秒與兩秒時(shí)的瞬時(shí)速度，教師通過(guò)直觀的方法問(wèn)學(xué)生：“在很短的時(shí)間間隔內(nèi)速度差別大不大？這個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均速度與瞬時(shí)速度差別大不大？如何通過(guò)平均速度求瞬時(shí)速度？”教師由自由落體公式引導(dǎo)學(xué)生分別計(jì)算了一秒與兩秒時(shí)刻的瞬時(shí)速度，在此基礎(chǔ)上又計(jì)算了任意時(shí)刻處的瞬時(shí)速度．教師特別強(qiáng)調(diào)，時(shí)間越來(lái)越接近，但兩者并不相等，所以在求極限之前，可以對(duì)分式進(jìn)行約分，從而使分式得到簡(jiǎn)化，這是恒等變形的過(guò)程，簡(jiǎn)化之后再求極限．學(xué)生發(fā)現(xiàn)，物體速度將隨著時(shí)間不斷增加，時(shí)間越長(zhǎng)，速度越快，所以當(dāng)物體從很高的位置落下時(shí)，即使質(zhì)量較小，也可能把人砸傷甚至砸死．學(xué)生對(duì)瞬時(shí)速度有了直觀而清晰的認(rèn)識(shí)，是可以觸摸的抽象概念．

2.3 抽象概念

問(wèn)題5：如果已知運(yùn)動(dòng)物體的路程與時(shí)間的關(guān)系，則

（1）如何求物體在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均速度？

（2）如何求物體在任意時(shí)刻的速度？

評(píng)析：為了抽象出導(dǎo)數(shù)概念，教師將問(wèn)題一般化，即提出了問(wèn)題4．此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)不費(fèi)吹灰之力可以回答這些問(wèn)題了．教師又進(jìn)行第二次抽象，回到數(shù)學(xué)的一般函數(shù)概念，給出了一般函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義：假設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上，是區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)，在點(diǎn)的瞬時(shí)變化率

定義為：

評(píng)析：抽象的導(dǎo)數(shù)概念在教師設(shè)計(jì)的一系列問(wèn)題上“自然流出”，學(xué)生在這些熟知的常識(shí)中對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)也就“理所當(dāng)然”了．最后，教師布置了一道課外思考題：你能不能通過(guò)函數(shù)的圖像分析一下，函數(shù)在一點(diǎn)附近的變化率是什么？瞬時(shí)變化率或?qū)?shù)又是什么？這部分內(nèi)容按照標(biāo)準(zhǔn)學(xué)時(shí)需要用兩課時(shí)完成，有了這一節(jié)課的充分準(zhǔn)備，第二節(jié)課關(guān)于導(dǎo)數(shù)幾何意義的闡述就比較容易了．

3 反 思

教材只是半成品，教師在教學(xué)過(guò)程中不能機(jī)械、被動(dòng)地使用教材，尊重教材的同時(shí)也要有批判的眼光．例如教材在處理導(dǎo)數(shù)概念時(shí)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活、自然科學(xué)的關(guān)系是正確的，但是這種關(guān)系應(yīng)該是真實(shí)、有意義、有價(jià)值的．教材中的“跳水運(yùn)動(dòng)”和“吹氣球”在真實(shí)性和科學(xué)價(jià)值上值得商榷，而且大量篇幅對(duì)一系列特殊值的檢驗(yàn)引出“變化率”問(wèn)題，也顯得“生硬”了一些．如果不使用語(yǔ)言，學(xué)生對(duì)直觀的極限概念并不難理解，例如，1/趨于0并不是一件難以解釋的事情．既然不需要學(xué)生掌握嚴(yán)格的極限語(yǔ)言，又何必要花大量時(shí)間做數(shù)值檢驗(yàn)?zāi)?？?shí)驗(yàn)科學(xué)的誕生是一件好事，但是不恰當(dāng)?shù)摹皩?shí)驗(yàn)”或過(guò)分強(qiáng)調(diào)了實(shí)證，就會(huì)忽視了概念產(chǎn)生過(guò)程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維策略，就會(huì)喪失培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的機(jī)會(huì)．教師能不能以批判的眼光分析教材依賴于對(duì)數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)教育的理解和認(rèn)識(shí)的深度．所以，中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該花一些時(shí)間繼續(xù)學(xué)習(xí)，補(bǔ)充能量，才能勝任肩負(fù)的重任．

此外高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)不能停留在學(xué)生會(huì)用導(dǎo)數(shù)的低層面．微積分作為數(shù)學(xué)史上最偉大的發(fā)明創(chuàng)造，閃現(xiàn)著人類智慧的光芒，它不僅是對(duì)傳統(tǒng)形式邏輯的顛覆，更是處理自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)的普適工具．因?yàn)樽匀唤缛f(wàn)物皆變，變是絕對(duì)的，不變是相對(duì)的，如果學(xué)生不能領(lǐng)會(huì)微積分的精髓，掌握微積分中蘊(yùn)藏的深刻思想，那么作為數(shù)學(xué)史上最偉大發(fā)明創(chuàng)造的微積分淪為考試的工具就成為必然了．導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)，不能匆忙一筆帶過(guò)，直奔求導(dǎo)公式．這節(jié)課需要搞清楚3個(gè)問(wèn)題：（1）什么是變化率？它的意義何在？（2）什么是平均變化率？（3）什么是瞬時(shí)變化率（即導(dǎo)數(shù)）？難點(diǎn)在于如何由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率．教師通過(guò)選擇學(xué)生生活中可觸及的例子深入剖析，要重視詮釋什么叫變化率、什么叫平均變化率以及變化率的重要科學(xué)價(jià)值．以自由落體公式為例，從兩個(gè)特殊時(shí)刻的瞬時(shí)速度計(jì)算到任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度計(jì)算，說(shuō)明了平均速度與瞬時(shí)速度的辯證關(guān)系．所提出的思考題環(huán)環(huán)相扣，逐步深入，充分展示從量變到質(zhì)變的辯證思想．將數(shù)學(xué)模型、人文因素、物理學(xué)等融入到課堂教學(xué)中，充分展示數(shù)學(xué)與生活、社會(huì)科學(xué)及自然科學(xué)的內(nèi)在關(guān)系．教師的課堂設(shè)計(jì)不僅蘊(yùn)含著思辨因素，也營(yíng)造了一種鮮活生動(dòng)的課堂氛圍．最后的思考題是希望學(xué)生獨(dú)立思考，尋找變化率與瞬時(shí)變化率的幾何解釋，為下節(jié)研究曲線的切線及光學(xué)問(wèn)題埋下了伏筆．教師的課例說(shuō)明，抽象的概念教學(xué)也可以更接近學(xué)生，只要教師善于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史和挖掘概念背后的數(shù)學(xué)思想，就能夠很好地引導(dǎo)學(xué)生接受和理解概念．

抽象的數(shù)學(xué)概念并不是無(wú)源之水、無(wú)本之木，要使學(xué)生體會(huì)到這個(gè)“源”和“本”，就要弄清楚概念與定理的來(lái)龍去脈，設(shè)計(jì)合適的問(wèn)題情境．讓問(wèn)題成為課堂的核心[5~7]，對(duì)問(wèn)題的深入剖析過(guò)程是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的過(guò)程．問(wèn)題必須是真實(shí)的，而不是虛擬的，通過(guò)這些問(wèn)題能揭示概念的本質(zhì)及深刻的思想內(nèi)涵．所以，有效問(wèn)題對(duì)于驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)具有舉足輕重的意義．

數(shù)學(xué)既是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維能力的媒介，也是培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的搖籃．如何通過(guò)教師的“教”提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是每一位老師不斷學(xué)習(xí)和思考的課題．從數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中提煉出核心的要素作為評(píng)價(jià)指標(biāo)無(wú)論對(duì)于教師的教學(xué)還是評(píng)課者的評(píng)價(jià)都具有重要意義．

[1] 莫里斯·克萊恩．古今數(shù)學(xué)思想[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2005．

[2] 弗賴登塔爾．作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué) [M]．上海：上海教育出版社，1999．

[3] 教育部．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（數(shù)學(xué)2-2）[M]．北京：人民教育出版社，2013．

[4] 哈爾莫斯．希爾伯特空間問(wèn)題集[M]．北京：北京世圖出版社，2009．

[5] 何勇，曹廣福．課堂教學(xué)中如何兼顧學(xué)生素養(yǎng)與應(yīng)試能力[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（2）：63-65.

[6] 張蜀青，曹廣福．以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)對(duì)數(shù)概念課教學(xué)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014，（7）：12-13．

[7] 張蜀青，曹廣福．以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的原理課教學(xué)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014，（8）：34-35．

[責(zé)任編校：陳雋]

On the Core Elements of Mathematics Classroom Teaching and Evaluation——Take the Concept of Derivative in High School as an Example

CAO Guang-fu, ZHANG Shu-qing

(Mathematics and Information Science College, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

The core elements of the evaluation of classroom teaching of mathematics is: whether mining substantive issues contributed to the emergence of the concept or principle; whether the creation of a true and has important value of the problem situation; whether it has the scientific thinking and analysis; logic is tight; calculation is accurate; whether the can students understand and skilled use the concept and principle .

problem; core element; concept of derivation; reflect

G642

A

1004–9894（2016）04–0017–04

2016–03–09

廣東省“特支計(jì)劃”教學(xué)名師項(xiàng)目——問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)；廣州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題——地方高校分析類課程內(nèi)容改革與實(shí)踐（1201533931）；廣州市教育局基礎(chǔ)教育成果培育項(xiàng)目——在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培育高中生創(chuàng)新素養(yǎng)的理論研究與實(shí)踐探索（M2015A100）；廣東省教研院教育研究課題——數(shù)學(xué)課堂——思想與方法的融合（GDJY-2014-A-b190）

曹廣福（1960—），男，江蘇海安人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，首屆國(guó)家教學(xué)名師，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育研究．