吳立寶

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初中數(shù)學(xué)教材代數(shù)內(nèi)容的國(guó)際比較研究

吳立寶

（天津師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，天津 300387）

對(duì)中國(guó)、美國(guó)、澳大利亞、英國(guó)、法國(guó)與新加坡6個(gè)國(guó)家現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)教材代數(shù)內(nèi)容中的代數(shù)式、方程與不等式、函數(shù)3大塊，從知識(shí)廣度、知識(shí)呈現(xiàn)方式、例題與習(xí)題4個(gè)方面進(jìn)行了比較研究．研究發(fā)現(xiàn)：廣度上美國(guó)最廣，中國(guó)次之，國(guó)家之間差異比較大；六國(guó)教材知識(shí)呈現(xiàn)以直觀描述為主，類比歸納為輔；例題相對(duì)簡(jiǎn)單是共性，但呈現(xiàn)方式差異大；習(xí)題數(shù)量教材之間差距大，類型以封閉性為主，國(guó)家之間難度差距明顯．通過比較，獲得了一些啟示：體現(xiàn)知識(shí)的數(shù)學(xué)化過程；注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用；概念呈現(xiàn)注重引導(dǎo)性材料的設(shè)計(jì)；繼續(xù)保持習(xí)題難度水平；進(jìn)一步優(yōu)化例題設(shè)計(jì)．

初中教材；代數(shù)；指標(biāo)體系；比較研究

1 問題提出

隨著經(jīng)濟(jì)的全球化，教育國(guó)際化也在不斷增強(qiáng)，隨之?dāng)?shù)學(xué)教育的國(guó)際交流與合作也日益頻繁，國(guó)家之間的數(shù)學(xué)教育聯(lián)系也大大加強(qiáng)，數(shù)學(xué)教育的國(guó)際比較得到了蓬勃發(fā)展．學(xué)者A. Bishop認(rèn)為，“數(shù)學(xué)教育是一項(xiàng)國(guó)際性的事業(yè)．”[1]國(guó)家之間是可以相互借鑒的，對(duì)其比較分析顯得尤為重要與迫切．代數(shù)是數(shù)學(xué)的重要組成部分，為數(shù)學(xué)自身乃至其它學(xué)科的研究提供了語言、方法和手段，其獨(dú)特的表征系統(tǒng)有利于深刻揭示自然界中一些問題的共性．全美數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)（NCTM）70年年鑒中指出：“代數(shù)是學(xué)校課程中使得學(xué)生高中后結(jié)束學(xué)習(xí)的科目，是結(jié)束學(xué)生發(fā)展特殊興趣的學(xué)科，是阻礙學(xué)生享受做作業(yè)的樂趣的學(xué)科；相比其他學(xué)科，代數(shù)導(dǎo)致了更多的家庭爭(zhēng)吵，更多的淚水，更多的心痛與更多的不眠的夜晚．”[2]代數(shù)已經(jīng)成為學(xué)校數(shù)學(xué)最重要的“守門員”[3]．有人作出這樣的感嘆：代數(shù)是專門為精英階層而設(shè)計(jì)的[4]．究竟是什么原因使得這些機(jī)構(gòu)與專家認(rèn)為代數(shù)內(nèi)容難學(xué)．

作為一種交流的語言，作為解決問題的工具，代數(shù)將成為每一位公民必備的重要知識(shí)，代數(shù)的學(xué)習(xí)主要是從初中才正式開始的．正是因?yàn)榇蠹覍?duì)代數(shù)學(xué)習(xí)的這種認(rèn)識(shí)，使得對(duì)于代數(shù)內(nèi)容進(jìn)行比較就顯得是必要和必需了．曾對(duì)十國(guó)初中數(shù)學(xué)教材課程內(nèi)容分布、難易程度、習(xí)題進(jìn)行了比較研究[5~7]，在此基礎(chǔ)上對(duì)代數(shù)內(nèi)容分布也進(jìn)行了比較研究[8]，這為更深入研究代數(shù)內(nèi)容提供了借鑒．

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對(duì)象

選取美洲、亞洲、大洋洲與歐洲四大洲的美國(guó)、澳大利亞、英國(guó)、法國(guó)、新加坡與中國(guó)6個(gè)國(guó)家，教材具體版本如表1．

表1 六國(guó)初中數(shù)學(xué)教材基本信息

2.2 研究?jī)?nèi)容

研究的內(nèi)容主要指代數(shù)式、方程與不等式、函數(shù)等相關(guān)主題，不包括與數(shù)相關(guān)的內(nèi)容知識(shí)．主要研究下面幾個(gè)問題：

（1）代數(shù)內(nèi)容知識(shí)廣度如何？

（2）代數(shù)內(nèi)容如何呈現(xiàn)的？

（3）例題設(shè)置有何特點(diǎn)？

（4）習(xí)題設(shè)置有何特點(diǎn)？

2.3 研究工具設(shè)計(jì)

內(nèi)容廣度，是指代數(shù)式、方程與不等式、函數(shù)3個(gè)知識(shí)主題包含知識(shí)點(diǎn)的多少；從概念與命題的呈現(xiàn)方式來看，分為直觀描述、類比歸納、演繹3個(gè)層次，分別賦值為1、2、3，具體見文獻(xiàn)[6]；例題與習(xí)題分別從數(shù)量、類型、開放性、難度等方面進(jìn)行闡述，具體指標(biāo)參照文獻(xiàn)[7，9~10]．

3 研究結(jié)論

3.1 內(nèi)容廣度

對(duì)六國(guó)教材代數(shù)內(nèi)容的3大知識(shí)主題：代數(shù)式、方程與不等式、函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)分別進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，具體結(jié)果如表2所示．

表2 六國(guó)初中數(shù)學(xué)教材代數(shù)內(nèi)容廣度統(tǒng)計(jì)

六國(guó)教材代數(shù)內(nèi)容3大知識(shí)主題：代數(shù)式、方程與不等式、函數(shù)上，美國(guó)教材均為第一，體現(xiàn)著典型的“廣”的特征；中國(guó)教材3個(gè)知識(shí)主題均低于美國(guó)教科書，位列第二，沒有體現(xiàn)出傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)上的“窄”的特征；新加坡教材廣度排名第三，與中美相比，差異在方程與不等式上；其它依次是澳大利亞教材、法國(guó)教材，在澳大利亞八年級(jí)第11章“結(jié)構(gòu)”第一節(jié)“集合符號(hào)”中講到了集合、子集、空集、冪集、維恩圖、全集、補(bǔ)集、并集、交集等概念；知識(shí)廣度上最窄的是英國(guó)教材，代數(shù)知識(shí)內(nèi)容少并且零散，不成系統(tǒng)，屬于代數(shù)內(nèi)容的初步知識(shí)．

美國(guó)教材代數(shù)內(nèi)容以106個(gè)知識(shí)點(diǎn)排名第一，是排名最后的英國(guó)教材的3.12倍，差距甚大．六國(guó)教材代數(shù)式、方程與不等式、函數(shù)3個(gè)知識(shí)主題占據(jù)代數(shù)整體內(nèi)容的平均分布比重為0.396、0.264、0.340，具體見表3．

表3 六國(guó)初中數(shù)學(xué)教材代數(shù)部分內(nèi)部分布比重

通過表3與圖1可以明顯發(fā)現(xiàn)，中國(guó)與美國(guó)教材是比較接近的，英國(guó)與新加坡教材是比較接近，中國(guó)教材在代數(shù)式高于美國(guó)教科書，美國(guó)教材在方程與不等式、函數(shù)兩個(gè)主題略高于中國(guó)教材．英新教材比較接近，差距在2%以內(nèi)．相比較而言，法國(guó)數(shù)學(xué)教材代數(shù)式分布將近是方程、不等式與函數(shù)之和，澳大利亞教材函數(shù)主題比重要高些，其次是代數(shù)式，最少的是方程與不等式．

圖1 六國(guó)初中數(shù)學(xué)教材代數(shù)內(nèi)容3個(gè)知識(shí)主題比重分布

3.2 呈現(xiàn)方式

對(duì)六國(guó)初中數(shù)學(xué)教材代數(shù)內(nèi)容代數(shù)式、方程與不等式、函數(shù)3個(gè)知識(shí)主題的呈現(xiàn)方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，具體結(jié)果見圖2．

圖2 六國(guó)教材代數(shù)內(nèi)容呈現(xiàn)方式分布柱狀圖

（1）以直觀描述為主．

除中國(guó)外，其他5國(guó)教材代數(shù)知識(shí)絕大多數(shù)是以直觀描述為主，直觀并不僅僅是幾何學(xué)的核心，也體現(xiàn)在代數(shù)知識(shí)上．在知識(shí)的形成過程中，所有的數(shù)學(xué)概念都是從具體的事例中抽象出來的．抽象的方式是多樣的，以一個(gè)事例（最佳原型）來描述就是直觀描述．從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來看，美國(guó)教材是最多的；其次是新加坡與澳大利亞教材．英國(guó)教材最為特殊，代數(shù)式、方程與不等式、函數(shù)3個(gè)知識(shí)主題全部是以“直觀描述”來呈現(xiàn)，是最為簡(jiǎn)單的．

（2）類比歸納次之，以不完全歸納為主．

中國(guó)教材是以類比歸納呈現(xiàn)為主，排在第一，符合歸納推理的基本內(nèi)涵以及認(rèn)知過程，對(duì)此具體可見文獻(xiàn)[11]．除了英國(guó)，其它國(guó)家也是類比歸納排第二，澳大利亞教材演繹個(gè)數(shù)多于類比歸納，主要是因?yàn)橛行闹R(shí)內(nèi)部約定給出．在某種程度上來說，歸納推理是基于事實(shí)的推理，利用幾個(gè)案例具有某種程度的相似性，利用相似律，來推斷這些案例共有的屬性（獲得類的屬性），提升到一個(gè)新的高度．當(dāng)然在歸納過程中，通過類比獲得可能結(jié)論，最后從數(shù)學(xué)內(nèi)部進(jìn)行推理論證，使其從數(shù)學(xué)內(nèi)部來看新概念的得出與公式法則之間的內(nèi)部聯(lián)系．

3.3 例題設(shè)置

澳大利亞教材例題數(shù)量是最多[12]，并且是遙遙領(lǐng)先于排名第二的中國(guó)教科書，美國(guó)教材是最少的，具體如表4．在例題類型呈現(xiàn)上以解答題與計(jì)算題為主，兩種題型占據(jù)90%以上．在例題呈現(xiàn)方式上，六國(guó)差距比較大，英國(guó)教材只有解答，澳大利亞教材分析解答全都有，并且是分欄設(shè)計(jì)的，美法兩國(guó)教材介于之間，中國(guó)教材例題呈現(xiàn)方式是多樣的，既有只有解答的，也有分析+解答或解答+小結(jié)的，又有3者同時(shí)具備的．

表4 六國(guó)教材代數(shù)內(nèi)容例題數(shù)量統(tǒng)計(jì)

在難度上，中國(guó)教材代數(shù)內(nèi)容例題以1.946?4難度排第一．不管在背景水平、知識(shí)點(diǎn)含量上，還是要求水平上均位居第一，雖然調(diào)查訪談一線初中數(shù)學(xué)教師，感覺中國(guó)教材比較簡(jiǎn)單，沒有比較就沒鑒別，很難想到其他國(guó)家教材比中國(guó)教材更簡(jiǎn)單些，這也說明這些國(guó)家教材例題設(shè)置并不是在難度上下功夫，是給予學(xué)生示范引導(dǎo)，注重通性通法的掌握，這個(gè)目的是相同的．新加坡教材代數(shù)內(nèi)容例題以1.778?3難度排第二．例題的背景水平、知識(shí)點(diǎn)含量、要求水平均排在第二．新加坡教材例題無論設(shè)置、難度還是表述與中國(guó)教材比較相近．

澳大利亞教材例題以1.665?5的難度排名第三，很明顯可以感受到起點(diǎn)較低，盡量從學(xué)生已經(jīng)熟悉的內(nèi)容入手，特別注重引導(dǎo)學(xué)生從陳述性知識(shí)向程序性知識(shí)的轉(zhuǎn)化，尤其是分欄設(shè)計(jì)方式，更適合于學(xué)生自學(xué)，能夠更好地引導(dǎo)學(xué)生按部就班分析與解答．

美國(guó)、法國(guó)與英國(guó)教材代數(shù)部分例題分別以1.585?8、1.546?5、1.528?4位居后3名，三國(guó)難度非常接近，處于一個(gè)層次．?dāng)?shù)學(xué)教材例題相對(duì)而言更為簡(jiǎn)單，基本上都是基本概念的應(yīng)用或者基本的計(jì)算，為了學(xué)生掌握基本的技能做準(zhǔn)備的．

湖北省縣市區(qū)地理國(guó)情普查圖涉及到比例尺范圍為1:15000-1:14000，比例尺跨度大，使用傳統(tǒng)的縮編手段先將1:10000數(shù)據(jù)，縮編為1:50000，然后在1:50000的基礎(chǔ)上再縮編為更小比例尺數(shù)據(jù)，耗時(shí)耗力，WJ-III地圖工作站能夠?qū)崿F(xiàn)從1:10000到1:140000逐級(jí)或跨尺度綜合與成圖，解決了從傳統(tǒng)單一比例尺制圖到多比例尺融合制圖，從單一比例尺靜態(tài)地圖顯示到多比例尺平滑動(dòng)態(tài)連續(xù)顯示技術(shù)難題，從而使多尺度空間數(shù)據(jù)能夠在PC機(jī)、掌上電腦、網(wǎng)絡(luò)上無級(jí)顯示。

表5 六國(guó)教材代數(shù)部分例題難度分項(xiàng)統(tǒng)計(jì)匯總

3.4 習(xí)題設(shè)置

在數(shù)量上，從大題數(shù)來看，美國(guó)教材是最多的，達(dá)到2?571道，是中國(guó)教材的3.6倍，中國(guó)排名第四，最少的是英國(guó)教材．從小題數(shù)來看，澳大利亞教材以5?765道排在第一，當(dāng)然在同一個(gè)大題內(nèi)部的小題基本上是應(yīng)用同一個(gè)概念或法則，類型基本上相同，屬于同質(zhì)問題，量多，尤其是技能類習(xí)題，個(gè)別題達(dá)到24道小題；美國(guó)教材以3?777的總量，位居亞軍，排在第二，與澳大利亞教材是完全不一樣的設(shè)計(jì)風(fēng)格，基本上單個(gè)設(shè)置，在同質(zhì)習(xí)題之前有個(gè)總的要求，類似于其他國(guó)家教材中一道大題下的小題；英國(guó)教材從倒數(shù)第一上升到了第三位，也是以同質(zhì)性為主，主要每小節(jié)均有習(xí)題，并且每個(gè)習(xí)題又包含數(shù)量不等的小題；法國(guó)、新加坡教材分別列第四與第五；中國(guó)教材以1?453道小題倒數(shù)第一，具體見表7．

表7 六國(guó)教材代數(shù)內(nèi)容習(xí)題數(shù)量統(tǒng)計(jì)

在類型上，在6個(gè)國(guó)家中，解答題的數(shù)量以及比重都是最高的，比重最低的是法國(guó)教材，也達(dá)到了53.6%，比重最高的是中國(guó)教材，達(dá)到了78%，其他國(guó)家教材介于之間；除澳大利亞教材外，雖然其他五國(guó)教材計(jì)算題所占比重有差異，但是都是計(jì)算類型習(xí)題位居第二位．總之，六國(guó)教材習(xí)題是以解答題為主，計(jì)算題為輔（澳大利亞除外），其它類型屬于零星點(diǎn)綴．習(xí)題結(jié)論是以封閉性為主，六國(guó)教材“封閉性習(xí)題”最低的也達(dá)到了95.13%，最高的達(dá)到了99.13%；“開放性習(xí)題”比重在5%以內(nèi)，六國(guó)之間差異顯得較大．

對(duì)六國(guó)初中數(shù)學(xué)教材中（6?672）每一道習(xí)題按照背景水平、知識(shí)點(diǎn)含量、要求水平3個(gè)方面分別進(jìn)行評(píng)分，具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表8所示．

表8 六國(guó)教材代數(shù)習(xí)題難度分項(xiàng)統(tǒng)計(jì)匯總

中國(guó)教材習(xí)題的知識(shí)點(diǎn)含量與要求水平均排在第一，習(xí)題的背景較低，更多的是無背景習(xí)題，以1.858?1習(xí)題難度排第一．澳大利亞教材的習(xí)題略低于中國(guó)教材，絕對(duì)難度為1.845?7，其背景水平平均位居第二．中澳兩國(guó)初中數(shù)學(xué)教材難度相差不大，基本持平，其設(shè)置與難度也非常相似的：復(fù)習(xí)鞏固——Skills（技能類）、綜合運(yùn)用——Applications（應(yīng)用類）、拓廣探索——Analysis（分析類），其對(duì)應(yīng)難度基本也是持平的．中國(guó)教材練習(xí)主要是模仿例題而設(shè)置的，澳大利亞每章有個(gè)準(zhǔn)備區(qū)的習(xí)題．

新加坡教材習(xí)題以1.784?1位居第三，處于第二層次．在新加坡教材例題一側(cè)的“Let’s try it now”類似于中國(guó)教材的練習(xí)，其它每節(jié)課后均有習(xí)題，主要是理解類為主．法國(guó)教材習(xí)題平均難度略高于美國(guó)與英國(guó)教材，3個(gè)國(guó)家處于第三層次，相差比較小，法國(guó)與美國(guó)簡(jiǎn)單與較為復(fù)雜的習(xí)題之間差距較大，但是平均難度就取中值．進(jìn)一步對(duì)三國(guó)數(shù)學(xué)教材習(xí)題部分研究發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上英國(guó)教材相對(duì)而言比美國(guó)教材要簡(jiǎn)單些，不僅僅是知識(shí)點(diǎn)單一，背景主要是正文部分，要求水平以理解為主．

4.1 體現(xiàn)知識(shí)的數(shù)學(xué)化過程

通過比較分析發(fā)現(xiàn)，尤其是知識(shí)呈現(xiàn)方式上來看，以直觀描述、類比歸納居多，直觀描述的案例，類比的事物，歸納的案例等等均是學(xué)生業(yè)已熟悉或者已經(jīng)掌握的概念的“最佳原型”．從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，從學(xué)生們熟悉或感興趣的案例或問題情境來引入學(xué)習(xí)主題內(nèi)容，并逐步展開，凸顯出“數(shù)學(xué)化”的過程，這也是教材編寫遵循心理學(xué)原則的一個(gè)重要體現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)化是一個(gè)過程．在問題設(shè)置上，教材中需要給出一些數(shù)學(xué)問題或者案例．它們不僅能提供學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索、合作交流的平臺(tái)，同時(shí)也為課堂師生、生生與生本“互動(dòng)”交流提供了可能，從而給學(xué)生提供了大量的操作、思考與交流的機(jī)會(huì)，這一點(diǎn)在美國(guó)、法國(guó)教材體現(xiàn)的淋漓盡致．如在美國(guó)教材中，以解決問題為線索，來介紹數(shù)學(xué)思想、概念和知識(shí)等的產(chǎn)生、形成與應(yīng)用過程，主要分為了4個(gè)階段：?jiǎn)?dòng)、探究、分享和小結(jié)．

4.2 注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用

在中小學(xué)階段，注重?cái)?shù)學(xué)與生產(chǎn)生活的聯(lián)系，這個(gè)是一個(gè)主旋律．這些體現(xiàn)在各個(gè)國(guó)家初中數(shù)學(xué)教材概念、公式、法則的引入、例題的背景以及習(xí)題背景之中．在澳大利亞教材中，每章后面基本都有一節(jié)內(nèi)容講本章相應(yīng)知識(shí)的應(yīng)用，突顯對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用的重視，這個(gè)也體現(xiàn)在其他國(guó)家教材中．在美國(guó)教材中也是如此，非常重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用，特別是在實(shí)際生活中的應(yīng)用．在新知識(shí)引入時(shí)，常常圍繞一個(gè)實(shí)際生活問題展開，創(chuàng)設(shè)問題情境，營(yíng)造一種數(shù)學(xué)就在你身邊的氛圍；探究主題開展依賴的載體也多是與青少年日常生活息息相關(guān)的問題；在習(xí)題有“實(shí)踐與應(yīng)用（practice and apply）”部分；在復(fù)習(xí)題部分，有策略與應(yīng)用部分，這些數(shù)學(xué)應(yīng)用的例子比比皆是，其內(nèi)容涉及文化、商業(yè)、家庭理財(cái)?shù)榷喾矫?，這充分顯示了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性．

4.3 概念呈現(xiàn)注重引導(dǎo)性材料的設(shè)計(jì)

六國(guó)教材代數(shù)內(nèi)容呈現(xiàn)方式不管是直觀描述也好，還是類比歸納、演繹，均有引導(dǎo)性材料，這是內(nèi)容呈現(xiàn)方面的一個(gè)共性．設(shè)計(jì)好引導(dǎo)性材料，使其更加貼近學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、生活現(xiàn)實(shí)與其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)，通過直觀感受、類比、歸納等獲取新知的，構(gòu)建其自己的理解，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這樣某種程度上會(huì)降低內(nèi)容難度，經(jīng)歷“由特例歸納、建立猜想、符號(hào)表示并給出證明”這樣一個(gè)重要的數(shù)學(xué)探索過程．畢竟，只有幫助學(xué)生架起新舊知識(shí)的橋梁與紐帶，有意義學(xué)習(xí)才最容易出現(xiàn)．引導(dǎo)性材料給出的好壞，對(duì)于進(jìn)一步學(xué)習(xí)的新知是有重要影響的，布魯納曾說，“任何學(xué)科的基本原理都可以用某種形式教給任何年齡的任何人．”對(duì)于同一個(gè)內(nèi)容，不同的呈現(xiàn)方式可能導(dǎo)致不同的深度，給予學(xué)生不同的難度，這個(gè)已經(jīng)成為一種共識(shí)．

4.4 繼續(xù)保持習(xí)題難度水平

根據(jù)習(xí)題難度指標(biāo)體系統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，中國(guó)教材難度水平居前，排在第一．這個(gè)第一，并不是建議教材降低習(xí)題難度，需要保持清醒的頭腦．實(shí)際上，通過訪談教師與學(xué)生，基本認(rèn)為現(xiàn)行的教材習(xí)題還是偏于簡(jiǎn)單，因此難度沒必要降低．那么在保持教材習(xí)題難度基礎(chǔ)上，需要進(jìn)一步優(yōu)化習(xí)題設(shè)計(jì)，具體從以下幾個(gè)方面入手：一是進(jìn)一步增強(qiáng)習(xí)題設(shè)計(jì)的背景，增強(qiáng)跨學(xué)科的能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，譬如美國(guó)教材雖然簡(jiǎn)單，但是所學(xué)知識(shí)與化學(xué)、生物學(xué)、地理、經(jīng)濟(jì)、物理等多方面的聯(lián)系更為密切；二是適當(dāng)增加習(xí)題的綜合性，注重知識(shí)的前后聯(lián)系，注重知識(shí)的延展性；三是習(xí)題設(shè)計(jì)的層次性，一方面需要堅(jiān)持分層設(shè)計(jì)，另一方面對(duì)難度較大的習(xí)題做好層層鋪墊，降低難度，在跳一跳前進(jìn)一步，跳一跳前進(jìn)一步中達(dá)到或超出預(yù)定高度．

4.5 進(jìn)一步優(yōu)化例題設(shè)計(jì)

通過六國(guó)教材例題比較分析，要適當(dāng)借鑒。一是例題形式方面的優(yōu)化設(shè)計(jì)，適當(dāng)借鑒美國(guó)教材中以連環(huán)畫插圖形式呈現(xiàn)、澳大利亞教材的分欄設(shè)計(jì)、新加坡教材例題旁邊緊跟著的“Let’s try it now”，等等；二是例題解答方面的設(shè)計(jì)，給予學(xué)生充分的示范與引導(dǎo)，這樣容易成為所有學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，促其陳述性知識(shí)向程序化知識(shí)轉(zhuǎn)化，文字語言向數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化，這一點(diǎn)澳大利亞教材非常有特色；三是例題一定要強(qiáng)調(diào)的是思路的點(diǎn)撥、解答與總結(jié)，構(gòu)成一個(gè)循環(huán)；四是例題解答方式可以多樣化，注重一題多解，以拓展學(xué)生的思維．無論如何，教科書的例題作為概念、公式、法則的最佳原型，一定使其既有代表性，典型性．

[1] Bishop A.[M]. Kluwer, 1996.

[2] Kilpatrick J, Izsak A. A History of Algebra in the School Curriculum [A]. In: Greences C E, Rubenstein R.[C]. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 2008.

[3] Cai J, Knuth E. A Global Dialogue about Early Algebraization from Multiple Perspectives [A]. In: Cai J, Knuth E.[M]. Heidelberg: Springer, 2011.

[4] National Center for Education Statistics.[M]. Washington, DC: Author, 1994.

[5] 吳立寶，曹一鳴．初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分布的國(guó)際比較研究[J]．教育學(xué)報(bào)，2013，（2）：29-36．

[6] 曹一鳴，吳立寶．初中數(shù)學(xué)教材難易程度的國(guó)際比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（4）：3-7．

[7] 吳立寶，王建波，曹一鳴．初中數(shù)學(xué)教科書習(xí)題國(guó)際比較研究[J]．課程·教材·教法，2014，（2）：112-117．

[8] 吳立寶，曹一鳴．初中數(shù)學(xué)代數(shù)內(nèi)容分布的國(guó)際比較研究[J]．外國(guó)中小學(xué)教育，2016，（2）：55-60．

[9] 吳立寶．中澳數(shù)學(xué)教科書的習(xí)題比較研究——以人教社和HMZ8年級(jí)教科書為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（2）：58-61．

[10] 楊凡，吳立寶．中美初中數(shù)學(xué)教科書習(xí)題比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（5）：56-59．

[11] 李興貴，王新民．?dāng)?shù)學(xué)歸納推理的基本內(nèi)涵及認(rèn)知過程分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（1）：89-93．

[12] 吳立寶，曹一鳴，董連春．澳大利亞初中Heinemann數(shù)學(xué)教科書編排結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（5）：21-26．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

International Comparative Study on Algebra of Secondary Textbook

WU Li-bao

(1. Teacher Education College, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

To compare the algebra among different textbooks in an international perspective, textbooks were selected from China, United States, Australia, Britain, France and Singapore in this study. Algebra expressions, equation and inequality, and function as the main algebra content were considered. The range of knowledge, the presentation of knowledge, and the difficulty of worked examples and exercises were compared. The results included: the textbooks of United States had the largest range in knowledge and there was big differentia among countries; the mainly presentation of knowledge was visual description rather than in a generalizing way; the difficulty of worked examples was not high in all cou0ntries but had different presentation; and there was big gap between countries in the amount and difficulty of exercises which were mainly closed questions. These results indicated that mathematical process and application should be focused more; contextual materials should be implemented in learning concepts; keep the same difficulty level of exercise; and design more reasonable worked examples for the future textbooks designing.

secondary textbooks; algebra; comparing index; comparative study

G40-059.3

A

1004–9894（2016）04–0033–04

2016–07–07

國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金“十二五”規(guī)劃2012年度教育學(xué)重點(diǎn)課題——中小學(xué)理科教材難易程度國(guó)際比較研究（初中數(shù)學(xué)）（AHA120008）

吳立寶（1977—），男，山東莒縣人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育和教師教育研究．