熊緒沅, 萬麗, 2, 賴佳境

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0-1混沌測試算法中振幅對混沌序列的影響

熊緒沅1, 萬麗1, 2, 賴佳境1

(1.廣州大學數(shù)學與信息科學學院, 廣東廣州, 510006; 2. 廣州大學數(shù)學與交叉科學廣東普通高校重點實驗室, 廣東廣州, 510006)

0-1混沌測試法是根據(jù)線性增長率()值是否趨近于1或0來判斷離散數(shù)據(jù)混沌性的新方法。選取Verhulst種群模型生成的3類時間序列(弱混沌、完全混沌、4-周期)為研究對象, 驗證了0-1測試法的有效性, 對0-1測試算法中振幅作了進一步探討。結果表明: 弱混沌序列()值對振幅最敏感, 其次分別是強混沌序列和周期序列,()值隨振幅變化的快慢可以反映序列的混沌程度。

0-1測試算法; Verhulst種群模型; 混沌識別; 噪聲序列

混沌是指在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似無規(guī)則的類似隨機的現(xiàn)象, 它不是簡單的無序, 表面上沒有明顯的周期和對稱, 但卻是具有豐富的內部層次的有序結構, 是非線性系統(tǒng)的一種新的存在形式[1]?；煦缦到y(tǒng)的最大特點就是對演化的初始條件十分敏感, 因此, 從長期意義上講, 系統(tǒng)的未來行為是不可預測的?；煦鐣r序分析是混沌和時序分析相互滲透的一門學科。自20世紀90年代以來, 混沌時序分析在股票預測、脈沖控制、水文預報、DNA序列分析、水下目標識別、礦化識別等方面都有較成功的應用[2-8]。鑒別時間序列是否具有混沌吸引子存在, 是研究其混沌性的首要任務。目前, 常用的混沌識別方法主要有: 相圖法、頻譜分析法、龐加萊映象法、K熵法和Lyapunov指數(shù)法等。但這些混沌識別方法均存在一定的適應范圍和局限性[9-10], 如相圖法簡單直觀, 但精確度不高; 頻譜分析法對受到噪聲影響的序列很難從其頻譜上區(qū)分其運動模式; 龐加萊映象法不能區(qū)分混沌和完全隨機運動; 最大Lyapunov指數(shù)法的計算結果并非直接得到, 延遲時間和嵌入維數(shù)的確定具有一定的主觀性和不確定性。

0-1測試法是一種不需要相空間重構, 直接通過計算離散數(shù)據(jù)轉化變量的線性增長率()值是否趨近于1或0快速判斷混沌是否存在的方法。Gottwald等[11-13]對用于含噪聲序列的0-1算法中振幅該如何選擇、怎樣區(qū)分混沌的程度并沒有詳細討論。本文以Verhulst種群增長模型生成的離散序列為研究對象, 驗證0-1測試法對混沌識別的有效性和抗噪性, 給出3種不同性質序列(弱混沌、強混沌-、4-周期)的0-1測試圖, 對該算法應用于含噪聲序列時振幅對()值的影響作了進一步討論。

1 0-1混沌識別算法

如果離散時間序列為非混沌的, 如周期的或倍周期的,p()-q()的軌跡圖有界穩(wěn)定; 如果離散時間序列是混沌的,p()-q()軌跡圖近似布朗運動。傅里葉變換原理與式(1)和(2)原理不同: 傅里葉變換把時間序列從時間域變換到頻率域, 離散的信號頻率域對應著周期的時間序列, 周期的信號頻率域對應著離散的時間序列, 進而研究信號的頻率結構和變化規(guī)律[14]。

第2步, 計算p()和q()的均方位移函數(shù)值D(),

第3步, 計算D()隨的線性增長率(), 即取D()與的相關系數(shù)

文獻[13]針對序列中含有噪聲的情況, 提出了修正方法, 即算法中第1、3步不變, 第2步變?yōu)橛嬎?i>p()和q()的修正均方位移函數(shù)值,

振幅用來控制0-1測試法對弱噪聲和弱混沌的敏感性, 式(5)中D()與式(3)保持一致。文獻[13]對振幅該如何選擇并沒有詳細說明, 通常只選取了振幅= 2.5的情形。

2 0-1測試法有效性檢驗

為驗證0-1測試法的有效性, 選取Verhulst種群模型迭代序列為研究對象, 種群模型迭代公式為

其中,為種群增長因子。根據(jù)不動點定理可知, 在[0, 2]中式(6)有穩(wěn)定的不動點1。對[1.8, 3.0], 利用Matlab模擬生成500個對應的迭代序列, 其分岔圖形如圖1所示。同時以增長因子為橫坐標, 間距為0.001, 對每個生成數(shù)據(jù)長度= 2 000的離散序列, 代入不含噪聲0-1測試算法計算出對應的()值為縱坐標, 作出Verhulst種群模型迭代序列的—()圖如圖2所示。

圖1 Verhulst模型分岔圖

圖2 Verhulst模型λ—K(c)圖

對比圖1和圖2可知: 當Verhulst序列為周期序列時, 對應的()值趨于0; 當Verhulst序列由周期通向混沌狀態(tài)時,()值由0上升為1; 當序列為混沌序列時, 對應的()值趨于1。圖2中Verhulst序列的0-1測試值反映的狀態(tài)與圖1中Verhulst序列的分岔圖狀態(tài)相吻合, 驗證了0-1測試法的有效性。少數(shù)點()值突然由1變?yōu)?, 部分的取值出現(xiàn)了頻率共振現(xiàn)象, 并不影響0-1測試法的整體有效性。

圖3(a, b, c)分別給出了= 2 000,= 2.576 3 (弱混沌),= 2.990 0 (強混沌)和= 2.500 0 (4-周期)的—(= 1.8)軌跡圖,M()—和()—散點圖。由圖3可知:= 2.576 3時, 系統(tǒng)為弱混沌狀態(tài),—軌跡圖出現(xiàn)由有界走向雜亂的現(xiàn)象,M()—圖類似正弦函數(shù)圖像,M()值介于0和3.5之間,()—圖中()的值穩(wěn)定在0.18附近;= 2.990 0時, 系統(tǒng)為完全混沌狀態(tài),—圖表現(xiàn)為近似布朗運動,M()隨線性增長,()值趨近于1;= 2.5時, 系統(tǒng)為4周期狀態(tài), 此時—軌跡圖有界穩(wěn)定, 圖像出現(xiàn)4個同心圓, 這與系統(tǒng)為4周期相符,()值分布在0附近,M()值分布散亂。說明0-1測試圖能夠很好地反映序列是否具有混沌性。

圖3 Verhulst序列的0-1測試圖

3 振幅對0-1測試法的影響

實際數(shù)據(jù)不可避免含有一定程度的噪聲, 為提高測試的可靠性, 此時應選用含振幅的0-1測試算法來計算線性增長率()。設(= 1, 2, …,)為原始Verhulst序列, 加入噪聲后生成的時間序列為

圖4 含噪水平為5%的Verhulst序列K—α圖

由圖4可知在添加強度為5%的噪聲后, 3種不同性質序列的()值均下降, 但下降幅度不一樣,—圖呈現(xiàn)出不同特征。隨著振幅的不斷增大, 周期序列()降幅最小, 基本穩(wěn)定在0附近; 弱混沌序列()值降幅最大, 對振幅最敏感, 混沌性越弱, 曲線下降越快, 在= 4.5時,()值已經降至0.05以下; 完全混沌序列的()值下降相對緩慢,達到6.0時()值保持在0.9以上。3種不同性質序列的—圖呈現(xiàn)不同的變化趨勢, 可從序列—圖的特征來判斷序列是否具有混沌性: 序列—圖中()值始終穩(wěn)定在0附近, 則序列為周期序列;—圖中()值隨振幅的增加迅速向0靠攏, 則序列為弱混沌序列, 混沌性越弱,()值下降越快;—圖中()值隨振幅緩慢下降后能維持在0.9附近, 則序列為強混沌序列。不同性質序列的—圖的不同表現(xiàn)特征可為實際數(shù)據(jù)的混沌判別提供參考, 對實際數(shù)據(jù)選用含振幅的0-1測試法并結合—圖可以進一步提高混沌判別的準確性。

4 結論

選取Verhulst種群模型迭代序列為研究對象, 通過對比原始Verhulst序列的分岔圖和0-1測試—()圖, 作出3類不同性質(弱混沌、強混沌、4-周期)序列的0-1測試圖, 驗證了0-1測試算法的有效性, 探討了算法中振幅對含噪水平為5%的3種不同性質Verhulst序列的影響。得出如下結論: 0-1測試算法具有一定抗噪性, 從—圖中可以區(qū)分混沌的強弱性, Verhulst序列的0-1測試—圖和其分岔圖所反映的系統(tǒng)狀態(tài)相吻合, 周期序列時()值趨近于0, 混沌序列()值趨近于1, 0-1測試法能有效識別序列的混沌性; 對3組含噪水平為5%的Verhulst序列的—圖研究發(fā)現(xiàn), 周期、弱混沌和強混沌序列的()值對振幅敏感程度不一樣, 弱混沌序列最敏感, 其次分別是強混沌序列和周期序列, 混沌性越強,()值隨振幅下降越緩慢, 可以從—圖中曲線下降的快慢來區(qū)分序列混沌性的強弱。

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(責任編校:劉曉霞)

Influence of amplitude on chaos sequence in the 0-1 test algorithm

Xiong Xuyuan1, Wan Li1, 2, Lai Jiajing1

(1. School of Mathematics and Information Sciences, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China; 2. Interdisciplinary Sciences of Guangdong Higher Education Institutes, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

The 0-1 test method is a new method which through the determining discrete data transformation variable’s linear growth rate() approaches to 1 or 0 to judge whether discrete time series are chaotic or not. Selecting three kinds of time series (weak chaos, strong chaos and 4 period-doubling) generated by classic Verhulst population model as the research object, the validity of the 0-1 test method is verified, and the amplitudeof the 0-1 test algorithm is further discussed. The results show that the() value of weak chaotic sequence is the most sensitive to the amplitude, followed by the strong chaotic sequence and the periodic sequence, the speed of decline of() value changes with the amplitude can reflect the degree of chaos.

0-1 test algorithm; Verhulst population model; chaos identification; noised sequence

10.3969/j.issn.1672–6146.2016.04.008

O 415.5

1672–6146(2016)04–0035–05

熊緒沅, 1262839457@qq.com。

2016-05-19

國家自然科學基金項目(41172295)。