申丁

（福建省計(jì)量科學(xué)研究院，福建 福州　350100）

基于巴特沃思濾波基準(zhǔn)提取的專利技術(shù)研究

申丁

（福建省計(jì)量科學(xué)研究院，福建 福州350100）

高斯濾波器因其構(gòu)造、設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，且濾波特性具有零相移特性，目前已經(jīng)是ISO 11562和ASME B46.1規(guī)定的基準(zhǔn)提取方法，但由于其支撐域范圍過(guò)大，一定程度影響到其在三維基準(zhǔn)提取中效率［1］。為此，結(jié)合相關(guān)專利與文獻(xiàn)，引入巴特沃思函數(shù)構(gòu)建基于并行算法的高斯濾波算法，以提高其在實(shí)際工程應(yīng)用中的效率。并將其運(yùn)用到三維實(shí)例中，從中可以發(fā)現(xiàn)基于并行的算法所耗時(shí)間低于其他算法。

高斯濾波器；巴特沃思濾波器；并行算法

巴特沃思濾波器是利用巴特沃思函數(shù)所設(shè)計(jì)的高通、低通、帶通和帶阻濾波器的統(tǒng)稱，廣泛用于不同領(lǐng)域的研究和專利中。其最早由英國(guó)工程師Stephen Butterworth于上世紀(jì)三十年代提出。其主要特點(diǎn)在于通帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最平滑，但也存在截止頻率處其過(guò)渡區(qū)間較長(zhǎng)的不足。雖然學(xué)者也將其進(jìn)行串行運(yùn)算來(lái)逼近高斯濾波，最終也實(shí)現(xiàn)了較為快速基準(zhǔn)提?。?-2］。通過(guò)實(shí)際應(yīng)用發(fā)現(xiàn)，將其進(jìn)行并行改進(jìn)，算法的耗時(shí)將會(huì)進(jìn)一步減少。由于基準(zhǔn)提取中的高斯濾波器為典型的低通濾波器，因此也選取巴特沃思低頻濾波器為研究對(duì)象。

其中，|H（jw）|為巴特沃思濾波器頻域響應(yīng)的幅值函數(shù)，w和wc分別為頻率和截止頻率，n為低通濾波器的階次，為了簡(jiǎn)化，將其設(shè)置為1。巴特沃思濾波器在二維復(fù)坐標(biāo)系上滿足如下關(guān)系：

式（1-2）中的函數(shù)極點(diǎn)位于在實(shí)軸距離原點(diǎn)wc的位置，根據(jù)z變換和雙線性變化可得巴特沃斯濾波的傳遞函數(shù)滿足如下關(guān)系：

1　巴特沃思濾波擬合算法

實(shí)際濾波過(guò)程中，可以將一般的卷積運(yùn)算化簡(jiǎn)為如下的差分形式［4］：

式中ak、br、M、N為濾波器常數(shù)，g（·）和f（··）分別為信號(hào)函數(shù)。公式（1-4）得出其濾波過(guò)程實(shí)際是對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行一系列的加法和乘法的運(yùn)算。在計(jì)算機(jī)運(yùn)算中，乘法計(jì)算的復(fù)雜程度明顯會(huì)高于加法，因此通過(guò)減少算法中所含乘法的數(shù)量即可提高算法效率。普通高斯濾波器是典型的有限沖擊響應(yīng)濾波器（FIR），為了達(dá)到減少乘法的目的，可以通過(guò)使用無(wú)限沖擊濾波（IIR）來(lái)擬合高斯濾波器，其主要推導(dǎo)過(guò)程如下：

高斯函數(shù)s（x）一般寫成如下形式：

對(duì)其進(jìn)行級(jí)數(shù)分解，形式如下：

當(dāng)x 遠(yuǎn)小于1時(shí)，可以將上式等價(jià)于如下形式：

此時(shí)，高斯濾波器已轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的無(wú)限沖擊響應(yīng)濾波器（IIR）。根據(jù)卷積定理，時(shí)域卷積的傅立葉變化等于頻域的點(diǎn)積。而頻域卷積的逆傅立葉變化等于時(shí)域的點(diǎn)積。這樣對(duì)于高斯函數(shù)來(lái)說(shuō)，無(wú)論是傅立葉變化還是逆傅立葉變化，其所得到的函數(shù)均為高斯函數(shù)，且自卷積和自乘積都是高斯函數(shù)。根據(jù)中心極限定理，得到更加逼近高斯濾波的方法，其推導(dǎo)過(guò)程如下：

對(duì)于點(diǎn)乘來(lái)說(shuō)，高斯函數(shù)滿足：

對(duì)于卷積來(lái)說(shuō)，高斯函數(shù)同時(shí)滿足：

其中，×為卷積算子，m為運(yùn)算次數(shù)。同時(shí)：

其中，Δδ為等式殘差。根據(jù)等式（1-7）可以得到：

當(dāng)x→0、m→∞，根據(jù)中心極限定理，Δδ→0，近似得到如下關(guān)系

對(duì)等式（1-5）進(jìn)行傅立葉變換，得到高斯函數(shù)的頻域響應(yīng)函數(shù)。

其中，λ為波長(zhǎng)參數(shù)。因此，根據(jù)ISO11562定義高斯濾波器，其傳輸特性為：

從上述等式可以看出，高斯函數(shù)是一種典型的低通濾波器。為了使用無(wú)限沖擊響應(yīng)濾波器（IIR）來(lái)擬合高斯濾波器，通過(guò)使用等式（1-12）的1/（1+x2）來(lái)擬合等式（1-14），其定義如下函數(shù)：

按照ISO11562規(guī)定，當(dāng)λ=λC時(shí)，濾波器的傳輸率為0.5（即Hβ（λCλ）=0.5），從而可以計(jì)算出不同級(jí)聯(lián)階次下β的取值，例如，當(dāng)一級(jí)級(jí)聯(lián)時(shí)，則β=1，（n=1）。

將此種并聯(lián)擬合的思路引入巴特沃思濾波器（1-15）?？蓪⒓?jí)聯(lián)濾波器傳遞函數(shù)如下表述：

式中n為其級(jí)聯(lián)的階次，a、b根據(jù)其截止波長(zhǎng)λc、采樣間隔Δx和n確定，對(duì)等式（1-16）進(jìn)行并聯(lián)改進(jìn)，則A（z）的等式如下：

其中1/（a-b）=0.5。下面將列出并行運(yùn)算的具體計(jì)算公式。

上式中，由于函數(shù)w1（k）、w2（k）可在計(jì)算機(jī)中同時(shí)計(jì)算且互不干擾，這種簡(jiǎn)單并行結(jié)構(gòu)就大大減少了計(jì)算耗時(shí)，提高其在實(shí)際工程中的效率。

2　三維實(shí)例分析

用光學(xué)干涉儀對(duì)一實(shí)測(cè)研磨加工表面進(jìn)行采集，如圖2（a）所示。其中截止波長(zhǎng)為 λc=50μm，取樣間隔，Δx=1μm采樣數(shù)據(jù)的大小為256×256。同樣選擇八階級(jí)聯(lián)濾波器逼近標(biāo)準(zhǔn)高斯濾波器，根據(jù)公式（1-15）可知，α= 5.7865、b=3.7865和1/（α-b）=0.5，最后用不同算法進(jìn)行了表面粗糙度評(píng)定。

表1 計(jì)算耗時(shí)對(duì)比表（單位：s）

從表1可以看出，高斯濾波所耗時(shí)間是最長(zhǎng)，基于串聯(lián)擬合濾波所耗時(shí)間有所下降，但大于并聯(lián)擬合濾波所耗時(shí)間，而并聯(lián)形式耗時(shí)僅僅是0.0921s，說(shuō)明改進(jìn)的方法的高效性。

3　結(jié)語(yǔ)

通過(guò)提出基于并行巴特沃思濾波器快速擬合高斯濾波器的基準(zhǔn)提取算法，大大提高了基準(zhǔn)提取的效率。在三維實(shí)例中，改進(jìn)算法所提取的三維表面基準(zhǔn)，在保證粗糙度參數(shù)相差極小的基礎(chǔ)下，耗時(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于高斯濾波器和級(jí)聯(lián)擬合濾波器，論證了并聯(lián)方法的有效性，在相關(guān)基準(zhǔn)提取專利和研究領(lǐng)域中具有很好的應(yīng)用前景。

［1］王大偉，賈榮叢，王劃一.基于Matlab的巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)［J］.現(xiàn)代電子技術(shù)，2012，35（21）：71-72.

［2］胡廣書.數(shù)字信號(hào)處理：理論，算法與實(shí)現(xiàn)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003.

The Technical Research of Reference Characterized Algorithm Based on Butterworth Filter

Shen Ding
（The Metrology Institute of Fujian Province，F(xiàn)uzhou Fujian 350100）

Due to the convenience in design and zero phase- shift， the Gaussian Filter has been adopted in ISO 11562 and ASME B46.1 as a standard reference representation method. However， it always has bad performance and low efficiency in 3-D reference representation.Therefore，make use of the parallel Butterworth Filter to realized the traditional Gaussian Filter and increase its efficiency in reference representation based on related patents and theses.

gaussian filter；utterworth filter；parallel algorithm

TB921

A

1003-5168（2016）06-0074-02

2016-6-20

申丁（1988-），男，研究生，助理工程師，研究方向：振動(dòng)和表面工程技術(shù)。