陳換過　陳　培　陳文華　蔡　麗　沈建洋　吳建偉　吳明建,2

1.浙江省機(jī)電產(chǎn)品可靠性技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州，3100182.杭州前進(jìn)齒輪箱集團(tuán)股份有限公司，杭州，311203

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采樣頻率對(duì)聚合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的影響研究

陳換過1陳培1陳文華1蔡麗1沈建洋1吳建偉1吳明建1,2

1.浙江省機(jī)電產(chǎn)品可靠性技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州，3100182.杭州前進(jìn)齒輪箱集團(tuán)股份有限公司，杭州，311203

根據(jù)聚合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的特點(diǎn)對(duì)能量泄漏指數(shù)進(jìn)行了修訂，從非對(duì)準(zhǔn)誤差、能量泄漏、分解結(jié)果的正交性和相關(guān)性方面分析了采樣頻率對(duì)聚合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)的影響，分析結(jié)果顯示離散化采樣引起的非對(duì)準(zhǔn)誤差隨采樣頻率的提高逐漸減小，而能量泄漏以及分解結(jié)果之間的正交性和相關(guān)性隨采樣頻率改變近似呈周期性變化。并根據(jù)分析結(jié)果給出了聚合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)中采樣頻率的選取原則。算例結(jié)果表明，綜合考慮上述各影響因素后，聚合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)較為理想的采樣頻率范圍是信號(hào)最高頻率的10.3～11倍。

聚合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解；采樣頻率；能量泄漏；旋轉(zhuǎn)機(jī)械

0　引言

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition, EMD)方法是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的自適應(yīng)信號(hào)處理方法[1]，與傅里葉變換、小波變換、Winger-Ville變換相比，其分解過程只與被分解信號(hào)有關(guān)，不需要進(jìn)行基函數(shù)選擇，而且沒有線性時(shí)不變系統(tǒng)的要求限制，非常適合處理非線性、非平穩(wěn)性問題，因而在故障診斷中得到了廣泛應(yīng)用[2]。

雖然EMD方法的諸多優(yōu)點(diǎn)使其在工程應(yīng)用中得到了突出的表現(xiàn)，但是EMD缺乏嚴(yán)密的理論分析，依靠經(jīng)驗(yàn)因素會(huì)對(duì)分解結(jié)果產(chǎn)生不利的影響，如端點(diǎn)效應(yīng)、停止準(zhǔn)則、模態(tài)混疊以及采樣頻率的影響問題等，其中以模態(tài)混疊和采樣頻率的影響尤為突出。模態(tài)混疊是指一個(gè)時(shí)間尺度信號(hào)成分被分解到不同的本征模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function, IMF)中，或者一個(gè)IMF中包含不同時(shí)間尺度的信號(hào)成分，模態(tài)混疊會(huì)對(duì)分解結(jié)果產(chǎn)生極大的影響。從信號(hào)的角度看，模態(tài)混疊由信號(hào)的間斷引起，但實(shí)質(zhì)是由EMD中時(shí)間尺度丟失所造成的[3]。為了克服模態(tài)混疊的影響，Wu等[4]提出了EMD的改進(jìn)算法——聚合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(ensemble empirical mode decomposition, EEMD)方法。EEMD將高斯白噪聲添加到原始信號(hào)中，利用白噪聲在頻率范圍內(nèi)均勻分布的統(tǒng)計(jì)學(xué)特性，通過多次分解來平均消除白噪聲的影響,從而得到最終的IMF，這就克服了模態(tài)混疊的問題。采樣頻率的影響主要表現(xiàn)在信號(hào)極值點(diǎn)的確定方面。EMD在求解IMF過程中需要經(jīng)過多次篩選，每一次的篩選都必須找到待處理信號(hào)的局部極大值和局部極小值，并用三次樣條插值計(jì)算出上下包絡(luò)線，而采樣頻率對(duì)信號(hào)極值點(diǎn)的確定有較大的影響，因此會(huì)對(duì)EMD分解效果產(chǎn)生較大影響。Rilling等[5-6]最早分析了采樣頻率對(duì)EMD分解的影響，并對(duì)采樣頻率引起的非對(duì)準(zhǔn)問題進(jìn)行了研究；Stevenson等[7]研究了采樣頻率對(duì)IMF之間正交性、相關(guān)性的影響；胡維平等[8]在充分考慮正交性和頻域?yàn)V波特性的基礎(chǔ)上對(duì)由于離散化而影響EMD篩選的誤差來源進(jìn)行了分析。

EEMD雖然克服了模態(tài)混疊的影響，但是白噪聲的引入使得采樣頻率對(duì)EEMD的影響不同于對(duì)EMD的影響。本文根據(jù)EEMD分解的特點(diǎn)對(duì)能量泄漏指數(shù)進(jìn)行了修訂，并從非對(duì)準(zhǔn)誤差、能量泄漏以及分解結(jié)果之間的正交性和相關(guān)性系數(shù)方面分析了不同采樣頻率對(duì)EEMD分解結(jié)果的影響，并根據(jù)分析結(jié)果給出了EEMD分解過程中采樣頻率的選取原則，對(duì)算法進(jìn)行了改進(jìn)，提高了EEMD的分解效率和精度。

1　EMD及EEMD基本理論

1.1EMD基本理論

EMD從信號(hào)本身的特征時(shí)間尺度出發(fā)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行平穩(wěn)化處理，將信號(hào)中存在的不同尺度下的波動(dòng)逐級(jí)分解為一系列具有不同特征尺度的IMF。EMD是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的自適應(yīng)信號(hào)處理方法，其分解過程沒有固定的先驗(yàn)基底，因此得到的IMF一般具有明顯的物理意義。設(shè)x(t)為原始信號(hào)，其主要分解過程如下：

(1)提取原始信號(hào)的局部極大值和局部極小值；

(2)根據(jù)局部極值，利用三次樣條差值構(gòu)造出信號(hào)的上下包絡(luò)E1和E2；

(3)計(jì)算上下包絡(luò)的均值m1(t)=(E1+E2)/2，并計(jì)算x(t)與m1(t)的差值h1(t)，h1(t)=x(t)-m1(t)；

(4)以h1(t)代替原始信號(hào)x(t)，重復(fù)步驟(1)～步驟(3)直到hi(t)小于預(yù)定值或者單調(diào)時(shí)即可停止，將其第一階IMF分量設(shè)為c1，將c1從原始信號(hào)x(t)中分離出來得到差值信號(hào)r1=x(t)-c1；

(5)將r1視作“新”信號(hào)重復(fù)步驟(1)～步驟(4)，直到殘余信號(hào)為單調(diào)函數(shù)，不能再篩分IMF分量，結(jié)束分解過程，得到x(t)的分解式如下：

(1)

其中，rn(t)為信號(hào)的趨勢(shì)分量，各IMF分量ci(t)為信號(hào)從高到低不同頻段的成分。

1.2EEMD基本理論

EEMD在EMD基礎(chǔ)上通過在分解過程中引入白噪聲克服了模態(tài)混疊問題，是EMD的重大改進(jìn)，其主要過程如下：設(shè)x(t)為原始信號(hào)，將白噪聲nk(t)添加到原始信號(hào)中，對(duì)信號(hào)進(jìn)行白噪化得到白化信號(hào)xk(t)：

xk(t)=x(t)+nk(t)

(2)

循環(huán)利用EMD將xk(t)分解為具有不同特征時(shí)間尺度的IMF[2]，并對(duì)各次的IMF求平均作為最終的IMF，得到：

(3)

(4)

式中，cik(t)為第k次篩分中的第i個(gè)IMF分量；rk(t)為第k次篩分的信號(hào)趨勢(shì)分量，表示信號(hào)的平穩(wěn)趨勢(shì)；M為EEMD的分解次數(shù)。

2　采樣頻率影響分析

2.1不同采樣頻率引起的非對(duì)準(zhǔn)誤差和能量泄漏問題

EEMD在對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解求取IMF的過程中，需要經(jīng)過多次篩選，而每次篩選都必須根據(jù)被分解信號(hào)的局部極值確定出上下包絡(luò)線，對(duì)于連續(xù)諧波信號(hào)，由于上下包絡(luò)線完全對(duì)稱，因而分解過程不會(huì)有誤差存在，但信號(hào)的離散化采樣將會(huì)引起非對(duì)準(zhǔn)，從而造成局部極值構(gòu)成的包絡(luò)不能嚴(yán)格對(duì)稱而引起偏離誤差[5]。對(duì)于簡單的正弦信號(hào)而言，因?yàn)殡x散化采樣引起的非對(duì)準(zhǔn)誤差的定義如下式所示[7]：

Eerror=1-sin(2πfc(tmax+Ts/2))=

1-sin(π/2+πfc/fs)

(5)

式中，tmax為信號(hào)中局部極大值對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)；Ts為采樣周期；fc為信號(hào)的頻率；fs為采樣頻率。

圖1　非對(duì)準(zhǔn)誤差曲線

非對(duì)準(zhǔn)誤差隨歸一化頻率的變化情況如圖1所示。理論而言，EEMD對(duì)單頻率諧波信號(hào)進(jìn)行分解時(shí)，其分解結(jié)果應(yīng)該只有一個(gè)IMF分量，但是由于離散化采樣而帶來的非對(duì)準(zhǔn)使得分解結(jié)果中包含多個(gè)IMF，從而導(dǎo)致分解過程中發(fā)生能量泄漏。由圖1可知，隨著歸一化頻率的減小，分解的非對(duì)準(zhǔn)誤差也會(huì)逐漸減小，在歸一化頻率為0.1時(shí)，非對(duì)準(zhǔn)誤差減小到5%。對(duì)于其他非線性信號(hào)，如(sint)2、e-αtsint等，該值會(huì)有所變化，但是非對(duì)準(zhǔn)誤差具有相同的減弱趨勢(shì)。因此在應(yīng)用EEMD分解過程中，采樣頻率應(yīng)保證在某個(gè)水平之上以抑制由于離散化采樣引起的非對(duì)準(zhǔn)誤差。

EEMD分解過程中離散化采樣引起的非對(duì)準(zhǔn)問題并不是誤差的唯一來源，EMD的一個(gè)重要性質(zhì)就是自適應(yīng)地將不同時(shí)間尺度信號(hào)分解到不同的IMF中，且不同的IMF之間彼此保持正交，但是EEMD分解過程中由于白噪聲的引入使得采樣頻率會(huì)影響到IMF之間的正交性。為了說明采樣頻率對(duì)EEMD分解正交性的影響，構(gòu)造如下式的仿真信號(hào)c(t)：

c(t)=a(t)+b(t)

(6)

a(t)=sin(2fat)

fa=20 Hzfb=200 Hz

其時(shí)域波形如圖2所示。

圖2　仿真信號(hào)及其組成部分波形圖

利用EEMD以700 Hz和1200 Hz兩種不同的采樣頻率對(duì)仿真信號(hào)c(t)進(jìn)行分解，其結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出:采樣頻率為700 Hz時(shí)，分解結(jié)果中的信號(hào)1、信號(hào)3分別與原始信號(hào)中的a(t)、b(t)相對(duì)應(yīng)；當(dāng)采樣頻率為1200 Hz時(shí)，分解結(jié)果中的信號(hào)2、信號(hào)3與原始信號(hào)中的a(t)對(duì)應(yīng)，而信號(hào)4、信號(hào)5與b(t)相對(duì)應(yīng)，采樣頻率提高反而降低了IMF之間的正交性，使得能量泄漏增加。Stevenson等[7]的研究結(jié)果表明采樣頻率的提高會(huì)增強(qiáng)EMD分解IMF之間的正交性，減少能量泄漏。由此可知，EEMD分解過程中引入了白噪聲使得采樣頻率對(duì)它的影響與對(duì)EMD的影響有所區(qū)別，EMD篩分過程中采樣頻率的選取原則不能直接應(yīng)用到EEMD分解方法中。

(a)fs=700 Hz

(b)fs=1200 Hz圖3　采樣頻率對(duì)IMF間正交性的影響

2.2采樣頻率影響研究

當(dāng)齒輪和軸承出現(xiàn)局部故障時(shí)，會(huì)產(chǎn)生突變的沖擊脈沖力，激起設(shè)備的固有振動(dòng)，引起信號(hào)在高頻部分的幅值調(diào)制現(xiàn)象。為了研究采樣頻率對(duì)EEMD分解結(jié)果的影響規(guī)律，模擬齒輪箱中軸承故障時(shí)所測(cè)得的非平穩(wěn)信號(hào)[9]，構(gòu)造仿真信號(hào)如下式所示：

x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)+x4(t)

(7)

x1(t)=e-αt1sin(2πf1t)t1=mod(t,1/fB)

x2(t)=0.6sin(2πf2t)

x3(t)=sin(2πf3t)

x4(t)=0.2rand(n,1),n=length(t)

式中，x1(t)為模擬軸承外圈故障信號(hào)和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)諧振信號(hào)的調(diào)制；x2(t)和x3(t)為周期性諧波信號(hào)成分；x4(t)為模擬噪聲信號(hào)；α為衰減頻率(與系統(tǒng)阻尼特性相關(guān))，α=400；f1為結(jié)構(gòu)諧振頻率，f1=800 Hz；f2為高速級(jí)齒輪的嚙合頻率，f2=180 Hz；f3為低速級(jí)齒輪的嚙合頻率，f3=50 Hz,fB為故障特征頻率,fB=33 Hz;mod(·)為取余函數(shù);rand(·)為隨機(jī)函數(shù);length(·)為求數(shù)組長度函數(shù)。

仿真信號(hào)的各個(gè)分信號(hào)波形如圖4所示，合成信號(hào)波形及頻譜圖如圖5所示。

圖4　分信號(hào)時(shí)域波形圖

(a)時(shí)域波形

(b)頻譜圖圖5　合成信號(hào)時(shí)域波形及其頻譜圖

以連續(xù)正交性指數(shù)(successive IMF orthogonality, SIO)βSIO、相關(guān)系數(shù)(IMF coherence, IC)βIC、能量泄漏指數(shù)(residual energy, RE)βRE[1,6]三個(gè)不同的指標(biāo)來評(píng)估采樣頻率對(duì)EEMD分解的影響。

βSIO為分解結(jié)果中相鄰IMF之間的正交性指數(shù)，在評(píng)價(jià)分解結(jié)果的正交性方面與文獻(xiàn)[1]中正交指數(shù)有相同的效果且計(jì)算量更小，定義如下式所示：

(8)

式中，I為分解結(jié)果中IMF的個(gè)數(shù)；N為被分解信號(hào)的長度。

βIC和βRE適用于被分解信號(hào)組成部分個(gè)數(shù)已知的情況。βIC為分解結(jié)果中有效或期望的IMF與原始信號(hào)之間的相關(guān)性系數(shù)的加權(quán)平均值，是分解結(jié)果中有效IMF物理意義的評(píng)價(jià)指標(biāo)：

(9)

式中，NI為有效的IMF分量個(gè)數(shù)；si(n)為原始信號(hào)中與ci對(duì)應(yīng)的部分；cor(·)為相關(guān)系數(shù)函數(shù)。

βRE表示分解過程中被分解到期望的IMF之外的信號(hào)能量，文獻(xiàn)[7]給出了它在評(píng)價(jià)EMD分解結(jié)果時(shí)的定義，但EEMD在分解過程中引入了白噪聲，而白噪聲不應(yīng)該被計(jì)入能量泄漏部分，因此本文對(duì)其定義作如下修訂：

(10)

式中，s(n)為被分解信號(hào)。

利用EEMD以一系列不同的采樣頻率對(duì)式(7)所示的模擬信號(hào)進(jìn)行處理，觀察三個(gè)指標(biāo)隨采樣頻率的變化情況。根據(jù)Nyquist采樣定理，采樣頻率應(yīng)大于信號(hào)中最高頻率的2倍，因此設(shè)置采樣頻率的范圍為2000～14 000 Hz，頻率步長為50 Hz，三個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)隨采樣頻率的變化情況如圖6所示。

圖6　采樣頻率對(duì)分解結(jié)果的影響分析結(jié)果

由圖6可知，EEMD的分解結(jié)果隨采樣頻率的改變而近似周期性地變化，當(dāng)采樣頻率在2000～2800 Hz、4800～5200 Hz以及8300～8800 Hz時(shí)，IMF之間的正交指數(shù)變化范圍為[0.04，0.05]，能量泄漏指數(shù)變化范圍為[0.09，0.1]，而相關(guān)系數(shù)變化范圍為[0.92，0.95]。同時(shí)為了限制采樣的非對(duì)準(zhǔn)引起的誤差，由圖1結(jié)果可知，采樣頻率應(yīng)保持在信號(hào)最高頻率的10倍之上。因此從限制非對(duì)準(zhǔn)誤差、能量泄漏、IMF正交性和相關(guān)性以及分解效率多方面綜合考慮采樣頻率對(duì)EEMD分解結(jié)果的影響，當(dāng)采樣頻率在8300～8700 Hz，即信號(hào)最高頻率的10.3～11倍之間時(shí)，EEMD分解效果較為理想，圖7所示為fs=8450 Hz時(shí)的分解結(jié)果。

圖7　采樣頻率fs=8450 Hz時(shí)的分解結(jié)果

從圖7的分解結(jié)果可以看出c2與原始信號(hào)中的故障沖擊信號(hào)x1(t)對(duì)應(yīng)，c4、c5分別與諧波信號(hào)x2(t)、x3(t)對(duì)應(yīng)，由此可知，根據(jù)本文采樣頻率的初步選取原則，確定合適的采樣頻率，而后利用EEMD對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，精確高效地從原始信號(hào)中分離出了平穩(wěn)信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)。

3　結(jié)語

在應(yīng)用EEMD進(jìn)行信號(hào)處理過程中，其分解結(jié)果除了受到噪聲幅值和分解次數(shù)的影響，還受到采樣頻率的較大影響。為了探究這種影響規(guī)律，本文以滾動(dòng)軸承故障中一種典型的非平穩(wěn)信號(hào)為對(duì)象，分析了采樣頻率對(duì)EEMD分解的影響規(guī)律，并根據(jù)分析結(jié)果給出了采樣頻率的初步選取原則，該結(jié)果對(duì)提高EEMD分解結(jié)果的精度和效率以及其在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷方面有著重要的指導(dǎo)意義。

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(編輯王艷麗)

Study on Effects of Sampling Frequency on Performance of EEMD

Chen Huanguo1Chen Pei1Chen Wenhua1Cai Li1Shen Jianyang1Wu Jianwei1Wu Mingjian1,2

1.Zhejiang Province’s Key Laboratory of Reliability Technology for Mechanical and Electrical Product,HangZhou,310018 2.Hangzhou Advance Gearbox Group Co. Ltd.,HangZhou,311203

This paper revised the definition of residual energy according to the characteristics of EEMD firstly, and then investigated the effects of sampling frequency on the EEMD by analyzing the misalignment errors, residual energy, successive and orthogonality of intrinsic mode functions(IMFs). The analysis results show that the value of misalignment errors decreases with the raise of sampling frequency while the other three parameters periodic change approximately. Based on this rule, a selection principle of sampling frequency was obtained. Simulation example shows that the sampling frequency must be controlled in the range of 10.3 to 11 times of the maximum of the signal frequencies.

ensemble empirical mode decomposition(EEMD); sampling frequency; residual energy; rotating machinery

2016-01-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475432)；浙江省國際科技合作專項(xiàng)計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013C24005)；國家國際科技合作專項(xiàng)(2015DFA71400)

N37

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.18.010

陳換過，女，1977年生。浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)健康監(jiān)控、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)及信號(hào)處理方法研究。陳培，男，1989年生。浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院碩士研究生。陳文華(通信作者)，男，1963年生。浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。蔡麗，女，1988年生。浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院碩士研究生。沈建洋，男，1990年生。浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院碩士研究生。吳建偉，男，1991年生。浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院碩士研究生。吳明建，男，1979年生。杭州前進(jìn)齒輪箱集團(tuán)股份有限公司高級(jí)工程師，浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院企業(yè)指導(dǎo)老師。