張麗嬌　陳　力

福州大學，福州，350108

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漂浮基柔性空間機械臂的模糊H∞魯棒控制及柔性振動最優(yōu)控制

張麗嬌陳力

福州大學，福州，350108

討論了存在外界干擾情況下漂浮基柔性空間機械臂的軌跡跟蹤和振動抑制問題。結合系統(tǒng)動量守恒關系和拉格朗日方法建立了系統(tǒng)動力學模型。采用奇異攝動法的雙時標分解方法，將系統(tǒng)分解描述為關節(jié)軌跡跟蹤的慢變子系統(tǒng)與描述柔性桿件振動的快變子系統(tǒng)。針對慢變子系統(tǒng)，設計了自適應模糊H∞控制算法，用模糊邏輯系統(tǒng)去逼近系統(tǒng)的不確定項；同時，設計了H∞魯棒控制項，用它克服模糊逼近誤差和外界干擾對輸出跟蹤誤差的影響。針對快變子系統(tǒng)，采用線性二次最優(yōu)控制方法主動抑制，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。基于Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了該算法可確?？刂葡到y(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)仿真結果說明了控制器的可靠性和有效性，所設計的控制方案使得系統(tǒng)的跟蹤誤差及柔性振動快速收斂。

漂浮基柔性空間機械臂；奇異攝動法；自適應模糊；H∞魯棒控制

0　引言

未來空間技術的發(fā)展，對空間機械臂的要求越來越高，關于空間機械臂柔性行為(包含柔性臂等)控制的基礎科學問題研究日益廣泛[1-6]。未來空間機械臂柔性行為控制不僅要探索如何認識空間機械臂柔性行為的運動規(guī)律，而且還要研究如何對柔性行為施加外部影響以保證空間機械臂執(zhí)行在軌操作任務按期望要求得以實現[7]。由于空間機械臂往往具有輕質、臂長、高精度、高負載等特點(導致臂桿柔性大)，因此空間機械臂的柔性是不可忽略的。目前國內有關柔性空間機械臂的控制研究主要集中在單個柔性臂系統(tǒng)，且系統(tǒng)的柔性振動會影響系統(tǒng)的控制精度[8-9]。在太空失重環(huán)境下，柔性空間機械臂是一個非常復雜的動力學系統(tǒng)，載體與臂桿的動力學耦合作用及剛性關節(jié)運動和柔性振動的相互作用，使得空間機器人系統(tǒng)的控制設計難于地面機器人系統(tǒng)[10-11]。因此，建立相應的系統(tǒng)動力學模型和設計高精度的控制器以有效地抑制柔性臂振動，是目前空間機械臂研究和應用必須面對和解決的重點[12-14]。

文獻[15]提出了一種混合的系統(tǒng)，該系統(tǒng)結合了分數階控制的魯棒性和滑?？刂频膬?yōu)勢，但該控制方法未考慮外部擾動的影響。文獻[16]提出了一種穩(wěn)定的自適應模糊滑?？刂破?，用于非線性多變量系統(tǒng)的不可測狀態(tài)，滑模變結構控制器對空間機械臂的外部擾動與未建模誤差具有強魯棒性，從而可以克服系統(tǒng)的不確定性。文獻[17]提出了一種自適應算法，該算法具有簡單性和通用性，并考慮了機械臂的參數未知等問題。但上述文獻均未考慮柔性臂對空間機械臂控制的影響。文獻[18]將虛擬剛性機械臂和假設運動反解相結合，設計了柔性空間機械臂模型的擴展PD控制，但該控制方法未能實現實時的振動抑制。

為了實現漂浮基柔性空間機械臂運動軌跡的漸近跟蹤并抑制由柔性臂引起的系統(tǒng)柔性振動，利用積分流的思想建立奇異攝動模型，將系統(tǒng)動力學模型分解為慢變子系統(tǒng)和快變子系統(tǒng)。首先，針對慢變子系統(tǒng)，設計了自適應模糊H∞控制算法，通過設計模糊邏輯系統(tǒng)，用來逼近系統(tǒng)的不確定性，對不確定性進行補償，對其參數進行自適應調節(jié)，整個閉環(huán)系統(tǒng)是Lyapunov意義下漸近穩(wěn)定的。然后，設計魯棒補償項,借助H∞性能指標將逼近誤差和外部干擾衰減到期望的程度。最后，針對快變子系統(tǒng)，采用線性二次最優(yōu)控制方法主動抑制，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1　漂浮基柔性臂空間機械臂的動力學模型

考慮做平面運動的自由漂浮基柔性臂空間機械臂的幾何模型如圖1所示。其中，B0為系統(tǒng)的剛性載體基座，B1為系統(tǒng)的剛性連桿，B2為系統(tǒng)的柔性連桿(可視為Euler-Bernoulli懸臂梁且僅產生橫向振動)，Bi-1和Bi(i=1,2)間均使用剛性旋轉鉸進行連接。

圖1　漂浮基柔性空間機械臂系統(tǒng)

建立平動的慣性坐標系Oxy，各分體Bi(i=0,1,2)的主軸連體坐標系Oixiyi，O1、O2分別為相應兩個轉動鉸的中心；x0通過O0與O1的連線，x1和x2分別是B1和B2的對稱軸，ei為沿xi(i=0,1,2)軸方向的基矢量；C為系統(tǒng)總質心。mi、ji分別為Bi(i=0,1)的質量與中心轉動慣量，B2單位長度的均勻質量密度為ρ，均勻彎曲剛度為EI；并定義q0為航天器載體姿態(tài)角，q1和q2為關節(jié)O1、O2的相對轉角。

由彈性理論可知，基于假設模態(tài)變形描述法[19]，橫向彈性變形v(x2,t)可描述為

(1)

其中,φi(x2)和δi(t)分別為柔性桿的第i階模態(tài)函數及其坐標，n為截斷階數?？紤]到低階模態(tài)對桿件的彈性振動起主導效應，本文取前兩個低階模態(tài)進行研究，即

v(x2,t)=φ1(x2)δ1(t)+φ2(x2)δ2(t)

(2)

利用拉格朗日法和動量守恒關系，可導出載體位置不受控和姿態(tài)受控的柔性空間機械臂動力學方程如下：

(3)

2　控制器設計

2.1系統(tǒng)動力學奇異攝動分解

根據式(3)，姿態(tài)受控柔性空間機械臂的動力學模型可展開為

(4)

其中，Mrr∈R3×3，Mrf∈R3×2，Mfr∈R2×3，Mff∈R2×2，均為M∈R5×5的子矩陣；Hrr∈R3×3，Hrf∈R3×2，Hfr∈R2×3，Hff∈R2×2，均為H∈R5×5的子矩陣。

若約定

(5)

假設柔性臂剛度矩陣Kδ中的最小剛度為kδmin，并定義μ=1/kδmin，引入新的變量σ=δ/μ、Kμ=μKδ，式(4)可變換為

(6)

令μ=0并將其代入式(6)，得慢變子系統(tǒng)：

(7)

(8)

式中，uf為快變子系統(tǒng)的控制器。

通過奇異攝動法將慢變控制律us與快變子系統(tǒng)控制律uf結合，由于這兩個子系統(tǒng)在時標上具有獨立性，因此可分別對每個子系統(tǒng)進行相應控制器的設計，并最終組成系統(tǒng)的總控制器u，可同時使關節(jié)運動穩(wěn)定追蹤期望軌跡及柔性桿振動得到抑制，即設計的總控制器u可由兩部分組成u=us+uf。

2.2快變子系統(tǒng)的控制器設計

忽略不確定部分，則快變子系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，且完全可控。為抑制彈性振動，本節(jié)擬采用最優(yōu)控制策略來對快變子系統(tǒng)(式(8))進行控制。為此，定義系統(tǒng)性能指標函數為

(9)

其中，Rf∈R3×3和Qf∈R4×4分別為正定、半正定常值矩陣。

設Pf為如下Ricatti方程的唯一解：

(10)

則快變最優(yōu)控制律可定義為

(11)

2.3慢變子系統(tǒng)的控制器設計

假設式(3)有相對度向量，并且零動態(tài)具有指數吸引性質。

(12)

設系統(tǒng)的位置和速度是完全可測的，設計一個魯棒自適應模糊控制器和可調參數的自適應律，使得整個閉環(huán)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，式(12)可表示為

(13)

Δ(x,us)=

控制目標是利用模糊邏輯系統(tǒng)設計自適應控制律，滿足：①系統(tǒng)中所涉及的變量有界；②跟蹤誤差e取得H∞跟蹤性能，即

慢變子系統(tǒng)的控制器為

(14)

uλ=-λ-1BTPe

(15)

另外

(16)

其中，Kσ1、Kσ2的選取滿足Hurwitz多項式。

設模糊邏輯系統(tǒng)為

(17)

(18)

式中，θ為可調參數;ξi(xi)為模糊基函數。

確定抑制水平β>0，且滿足條件2β2≥λ，P是滿足下面黎卡提方程解的一個正定矩陣：

PA+ATP+Q-2λ-1PBBTP+β-2PBBTP=0

(19)

其中，ai(i=1,2,…,6)的選取使得矩陣A的特征根都在左半開平面內。

2.4模糊自適應算法

定義參數向量θ的最優(yōu)參數為θ*，則

式中，Ω為適當的包含θ的有界集；Uc為緊集，Uc∈Rn。

為了便于分析，將控制量代入式(13)中，得到誤差方程形式如下：

(20)

(21)

取參數向量θ的調節(jié)律為

(22)

式中，Pr(·)為投影算子。

考慮式(3)的控制對象，取控制律us為式(14)，則設計的控制方案保證如下的性能：

(1)q∈Ω,x、e、us∈L∞,L∞為H∞跟蹤性能下的一個指標。

(2)對于給定的抑制水平β，跟蹤誤差達到H∞跟蹤性能指標。

證明取Lyapunov函數為

求V對時間的導數得

由式(15)可得

根據黎卡提方程(式(19))及參數向量θ的自適應律(式(21))，可得

(23)

對式(23)從0～X積分得

(24)

由于V(X)≥0，所以由式(24)得

即跟蹤誤差取得H∞控制性能指標。

3　仿真算例與分析

為驗證上述控制算法的有效性，對圖1所示的柔性空間機械臂進行動力學數值模擬仿真。利用快變子控制器uf和關節(jié)運動慢變子控制器us對系統(tǒng)進行仿真分析。選取系統(tǒng)慣性參數的真實值為m0=200 kg，m1=2 kg，m2=1 kg，l0=1.5 m，l1=l2=3 m，j0=70 kg·m2，j1=1.5 kg·m2。仿真過程中柔性桿B2單位長度的均勻質量密度取ρ=1.0 kg/m，均勻彎曲剛度取EI=20 N·m2。同時，控制器相關參數選取為η=0.1，λ=0.005，β=0.05，Qf=10diag(1，1，1，1)，Rδ=100diag(1，1，1)。

假定兩柔性桿空間機械臂系統(tǒng)各連桿關節(jié)在關節(jié)空間的期望運動軌跡分別為

且系統(tǒng)初始運動位置為

q0(0)=1.68 radq1(0)=1.25 rad

q2(0)=1.25 rad

確定外部干擾為

ud=0.1(sin10t,-cos10t,sin10t)

系統(tǒng)的柔性桿B2被視為Euler-Bernoulli懸臂梁，其模態(tài)函數φi(x2)取為

φi(x2)=(cos(υix2)-cosh(υix2))+

Ai(sin(υix2)-sinh(υix2))

Ai=-(cosγi+coshγi)/(sinγi+sinhγi)

υi=γi/l2(i=1,2)γ1=1.8751γ2=4.6941

利用本文所設計的自適應模糊魯棒H∞控制算法對漂浮基柔性空間機械臂進行計算機模擬仿真運算。仿真結果如圖2～圖5所示。圖2是當Kσ1=diag(6,6,6)和Kσ2=diag(9.5,9.5,9.5)(條件1)時，空間機械臂載體姿態(tài)、關節(jié)角度跟蹤誤差圖；圖3是當Kσ1=diag(12,12,12)和Kσ2=diag(36,36,36)(條件2)時，空間機械臂載體姿態(tài)、關節(jié)角度跟蹤誤差圖；圖4為在開啟(實線)和關閉(虛線)快變子系統(tǒng)情況下，柔性臂的一階模態(tài)坐標對比圖；圖5為在開啟(實線)和關閉(虛線)快變子系統(tǒng)情況下，柔性臂的二階模態(tài)坐標對比圖；仿真過程全部耗時t=30 s。

圖2　載體姿態(tài)、關節(jié)角度跟蹤誤差圖(條件1下)

圖3　載體姿態(tài)、關節(jié)角度跟蹤誤差圖(條件2下)

圖4　柔性桿的一階模態(tài)

圖5　柔性桿的二階模態(tài)

從圖2可以看出，條件1下，空間機械臂載體姿態(tài)、機械臂關節(jié)角度跟蹤誤差在t=25 s時基本收斂到零；從圖3可以看出，條件2下，空間機械臂載體姿態(tài)、機械臂關節(jié)角度跟蹤誤差在t=15 s時基本收斂到零。在收斂過程中控制器的控制增益系數對系統(tǒng)跟蹤誤差收斂速度有決定性影響；即可以通過調節(jié)控制增益系數Kσ1和Kσ2的大小來調整系統(tǒng)跟蹤誤差收斂速度的快慢。如通過增大Kσ1和Kσ2值，可以使得所設計控制算法的收斂速度加快、收斂時間縮短；反之亦然。雖然增大控制增益系數可以加快系統(tǒng)跟蹤誤差的收斂速度，然而也加大了關節(jié)電機的輸出功率或力矩，有時會造成電機輸出功率飽和反而影響控制效果；因此實際應用中會根據需要適當選擇控制增益系數Kσ1和Kσ2的大小。

仿真結果表明，本文所設計的控制算法能夠穩(wěn)定地跟蹤期望運動軌跡，系統(tǒng)的柔性振動得到了有效的抑制。通過開啟與關閉快變子系統(tǒng)抑振控制的對比圖可以看出，開啟快變子系統(tǒng)抑振控制使得跟蹤誤差及柔性振動較快收斂到零。

4　結語

本文討論了考慮外部干擾，且載體位置不受控和姿態(tài)受控的情況下，漂浮基柔性空間機械臂關節(jié)運動的控制問題。利用積分流的思想建立奇異攝動模型，提出了由慢變子系統(tǒng)的自適應模糊魯棒H∞控制和快變子系統(tǒng)的線性二次最優(yōu)控制組成的復合控制器。仿真實驗結果證實了本文所設計的自適應模糊魯棒控制算法的有效性，并驗證了所設計的控制算法能抑制不確定外部干擾給系統(tǒng)帶來的影響，并能達到預期H∞跟蹤性能。

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(編輯王艷麗)

Fuzzy RobustH∞Control and Flexible Vibration Optimal Control for Free-floating Flexible Space Manipulator

Zhang LijiaoChen Li

Fuzhou University,Fuzhou,350108

The trajectory tracking and vibration suppression control for free-floating flexible space manipulator with disturbance were discussed. With the momentum conservation relations, system dynamics model was set up by the Lagrange method. Using the two-time scale decomposition of singular perturbation method, and the system was decomposed into a slow subsystem which was described joint trajectory tracking and a fast subsystem which was described the vibration of flexible manipulator. Then a composite controller consisting of a slow control component and a fast control component was proposed. For the slow subsystem, adaptive fuzzyH∞control algorithm was designed, the fuzzy logic system was used to approximate the system uncertainty, and a robustH∞control was used to overcome the fuzzy approximation errors and eliminate the influences of the external disturbance on the output tracking errors. For the fast subsystem, optimal linear quadratic regulator(LQR) was designed to damp out the vibration of the flexible links. Based on Lyapunov stability theory, it is proved that this algorithm can ensure the control system is asymptotically stable. Numerical simulation results illustrate that the proposed controller is reliable and effective, this control scheme makes the tracking errors of the system and the flexible vibrations quickly convergence.

free-floating flexible space manipulator; singular perturbation method; adaptive fuzzy;H∞robust control

2015-11-17

國家自然科學基金資助項目(11372073，11072061)；福建省工業(yè)機器人基礎部件技術重大研發(fā)平臺(2014H21010011)

TP241

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.18.006

張麗嬌，女，1989年生。福州大學機械工程及自動化學院博士研究生。主要研究方向為空間機器人動力學建模與控制。陳力，男，1961年生。福州大學機械工程及自動化學院教授、博士研究生導師。