潘柏松　謝少軍　蔣立正

浙江工業(yè)大學(xué),杭州,310014

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非獨(dú)立區(qū)間變量和隨機(jī)變量下的單步可靠性計(jì)算方法

潘柏松謝少軍蔣立正

浙江工業(yè)大學(xué),杭州,310014

隨機(jī)變量和非獨(dú)立區(qū)間變量往往共存，兩種變量共存不僅導(dǎo)致出現(xiàn)雙層優(yōu)化問題，而且會(huì)降低可靠性的計(jì)算效率。為解決雙層優(yōu)化問題和提高可靠性計(jì)算效率，基于橢球模型描述的非獨(dú)立區(qū)間變量，利用高維模型表示方法(HDMR)解耦隨機(jī)變量和非獨(dú)立區(qū)間變量，轉(zhuǎn)換雙層優(yōu)化問題為簡(jiǎn)單的單步求解問題，基于提出的采樣方法，利用二次多項(xiàng)式近似HDMR展式，將隱式的單步求解問題轉(zhuǎn)化為顯式問題，提出了一種混合型單步可靠性計(jì)算方法。算例結(jié)果表明，所提出的單步可靠性計(jì)算方法具有較高的計(jì)算效率和精度；該方法僅需少量的極限狀態(tài)函數(shù)調(diào)用次數(shù)，即可獲得較高精度的計(jì)算結(jié)果。

橢球模型;非獨(dú)立區(qū)間變量;高維模型表示方法;快速可靠性方法

0　引言

在機(jī)械系統(tǒng)可靠性設(shè)計(jì)過程中，知識(shí)、試驗(yàn)條件、時(shí)間及經(jīng)費(fèi)等因素的限制，使得某些不確定性變量的統(tǒng)計(jì)信息不足，這導(dǎo)致不確定性變量的分布類型及分布函數(shù)不能被精確給定。這類因信息不足引起的不確定性被稱為認(rèn)知不確定性。不同于隨機(jī)不確定性，認(rèn)知不確定性可隨信息量或知識(shí)的增加而減小甚至消失[1]。因此，在可靠性工程中，認(rèn)知不確定性和隨機(jī)不確定性往往共存。研究表明[2]，認(rèn)知不確定性對(duì)可靠性分析及設(shè)計(jì)結(jié)果的精度存在較大影響。

為定量描述認(rèn)知不確定性變量，克服認(rèn)知不確定性引起的可靠性分析及設(shè)計(jì)結(jié)果精度失真，目前已發(fā)展了多種不同類型的建模理論，分為概率建模理論和非概率建模理論，其中，概率建模理論主要為貝葉斯理論[3],非概率建模理論包括可能性理論[4]、證據(jù)理論[5]和凸集模型[6]。作為凸集模型特例的區(qū)間模型[7]是指在實(shí)數(shù)軸上規(guī)定認(rèn)知不確定性變量可變區(qū)間的上下限。在本文中，基于區(qū)間模型描述的認(rèn)知不確定性變量稱為區(qū)間變量。在工程應(yīng)用中，區(qū)間變量十分常見。因此，區(qū)間變量和隨機(jī)變量共存條件下的混合型可靠性研究具有重要的學(xué)術(shù)價(jià)值及工程應(yīng)用價(jià)值。

目前已有較多的處理獨(dú)立區(qū)間變量的可靠性分析方法[7-11]，但在實(shí)際工程中，某些區(qū)間變量存在一定的相關(guān)性，是非獨(dú)立的。例如描述結(jié)構(gòu)幾何尺寸的區(qū)間變量和結(jié)構(gòu)質(zhì)量的區(qū)間變量一般存在相關(guān)性，較大的幾何尺寸區(qū)間變量意味著較大結(jié)構(gòu)質(zhì)量區(qū)間變量，反之亦然。為此，Du[12]針對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副，基于物理關(guān)系式推導(dǎo)獲得非獨(dú)立區(qū)間變量描述模型——等式與不等式約束條件，提出了一種隨機(jī)變量和非獨(dú)立區(qū)間變量的混合型可靠性設(shè)計(jì)方法。Jiang等[13]采用多維度平行六面體區(qū)間模型，考慮了區(qū)間變量為獨(dú)立或非獨(dú)立的情況，提出了一種新的非線性區(qū)間規(guī)劃方法，但該規(guī)劃方法未考慮系統(tǒng)中同時(shí)存在隨機(jī)變量和區(qū)間變量的混合情況。Jiang等[14]引入樣本相關(guān)系數(shù)，考慮非獨(dú)立概率-區(qū)間混合情況，利用矩陣變換將非獨(dú)立變量轉(zhuǎn)換為獨(dú)立變量，提出了一種雙層迭代算法。姜潮等[15]通過引入相關(guān)角的概念定量描述了任意兩個(gè)變量之間的相關(guān)性，將不同變量之間的相關(guān)性在一個(gè)統(tǒng)一的框架下度量，并構(gòu)建了一高效求解方法。但上述的可靠性分析方法仍為雙層優(yōu)化問題，影響計(jì)算效率。故在非獨(dú)立區(qū)間變量下，提出一種單層可靠性計(jì)算方法，提高可靠性分析的計(jì)算效率仍是當(dāng)前可靠性分析方法研究的一大挑戰(zhàn)。

為此，本文針對(duì)系統(tǒng)輸入變量存在隨機(jī)變量和非獨(dú)立區(qū)間變量的混合情況，基于條件概率法和橢球模型，建立了混合型可靠性分析模型，提出了一種高效的單步可靠性模型及單步可靠性計(jì)算算法。利用高維模型表示方法[16](HDMR)解耦隨機(jī)變量和非獨(dú)立區(qū)間變量，將混合型可靠性分析模型轉(zhuǎn)換為單步求解的可靠性分析模型；基于提出的采樣方案，利用二次多項(xiàng)式近似HDMR展式，降低極限狀態(tài)函數(shù)的調(diào)用次數(shù)，提高計(jì)算效率。

1　橢球模型

為描述非獨(dú)立區(qū)間變量，Ben-Haim等[6，17]提出了橢球模型。設(shè)Y=(Y1,Y2,…,YNY)T為區(qū)間變量的矢量，其中NY為區(qū)間變量的數(shù)量。在復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)中，區(qū)間變量的維度一般較高，非獨(dú)立關(guān)系也不盡相同，如某些區(qū)間變量服從正相關(guān)關(guān)系，某些滿足負(fù)相關(guān)關(guān)系，而某些是相互獨(dú)立的。橢球模型根據(jù)不同的非獨(dú)立關(guān)系，將區(qū)間變量歸入不同的組。

經(jīng)分組后，Y可表示為Y=(Y1,Y2,…,YNg)T，其中，Ng為組的數(shù)量，Yi為第i組區(qū)間變量矢量，則橢球模型為

i=1,2,…,Ng)

(1)

多橢球模型可描述不同非獨(dú)立關(guān)系的區(qū)間變量：如當(dāng)某區(qū)間變量是獨(dú)立的，則橢球模型可退化為區(qū)間模型；當(dāng)兩個(gè)區(qū)間變量存在相關(guān)性，則橢球模型可退化為橢圓模型。圖1給出了3個(gè)區(qū)間變量構(gòu)成的不同幾何形狀的可行域S：在圖1a中，3個(gè)變量是相互獨(dú)立的；在圖1b中，Y3是獨(dú)立的變量，Y1和Y2存在相關(guān)性，是非獨(dú)立的；在圖1c中，3個(gè)變量存在相關(guān)性，是非獨(dú)立的。

(a)Y1、Y2、Y3相互獨(dú)立　　　(b)Y3獨(dú)立，Y1、Y2相關(guān)(c)Y1、Y2、Y3相關(guān)圖1　橢球模型

由于各個(gè)區(qū)間變量的單位不同，區(qū)間大小不同，不利于數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，因此將區(qū)間變量Yi轉(zhuǎn)換為量綱一變量Vi，轉(zhuǎn)換關(guān)系式為

(2)

則分組后的區(qū)間變量矢量Y=(Y1,Y2,…,YNg)T轉(zhuǎn)換為V=(V1,V2,…,VNg)T，多橢球模型相應(yīng)地表示為

(3)

式(3)給出的橢球模型主軸與坐標(biāo)軸存在角度偏移，為使樣本點(diǎn)盡可能多地落在橢球模型可行域內(nèi)，提高二次多項(xiàng)式近似精度，引入線性變換

(4)

(5)

2　混合型可靠性計(jì)算模型

設(shè)系統(tǒng)極限狀態(tài)函數(shù)為

G=g(X,Y)

(6)

其中，X=(X1,X2,…,XNX)T為隨機(jī)變量矢量，隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為NX；Y=(Y1,Y2,…,YNY)T為區(qū)間變量矢量，區(qū)間變量的個(gè)數(shù)為NY。將區(qū)間變量的變換關(guān)系式代入式(6)，則極限狀態(tài)函數(shù)可寫為G=g(X,E)。

設(shè)G<0時(shí)系統(tǒng)失效，則系統(tǒng)失效概率pf可表示為pf=Pr{g(X,E)<0}，其中Pr{·}表示概率。因未知區(qū)間變量E的概率分布，不能獲得準(zhǔn)確的失效概率。利用條件概率公式，可得失效概率的最小值pf，min和最大值pf，max的計(jì)算公式：

pf，min=Pr{gmax(X,E)<0|E∈S}

(7)

pf，max=Pr{gmin(X,E)<0|E∈S}

(8)

其中，gmax(X,E)和gmin(X,E)分別表示在可行域S內(nèi)極限狀態(tài)函數(shù)的全局最大值和最小值。

由式(7)和式(8)可見，系統(tǒng)失效概率的最小值和最大值分別為最大極限狀態(tài)函數(shù)和最小極限狀態(tài)函數(shù)的失效概率。這本質(zhì)上為一個(gè)雙層循環(huán)求解問題：內(nèi)循環(huán)為區(qū)間分析，在可行域S內(nèi)搜尋極限狀態(tài)函數(shù)的極限值；外循環(huán)為概率分析，求解最大極限狀態(tài)函數(shù)或最小極限狀態(tài)函數(shù)的失效概率。

雙層循環(huán)增加了可靠性分析問題的復(fù)雜性，會(huì)大幅度增加極限狀態(tài)函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。對(duì)于復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)，極限狀態(tài)函數(shù)一般由計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真模型(如有限元模型、流體動(dòng)力學(xué)模型等)隱式表述，極限狀態(tài)函數(shù)調(diào)用次數(shù)的增加,會(huì)導(dǎo)致計(jì)算效率低下，增大可靠性分析及設(shè)計(jì)的難度。

為提高隨機(jī)變量和非獨(dú)立區(qū)間變量混合情況下的可靠性計(jì)算效率，本文采用高維模型表示方法，將雙層循環(huán)問題轉(zhuǎn)化為單步問題，提出了一種單步快速的可靠性計(jì)算方法。

2.1高維模型表示方法(HDMR)

高維模型表示方法是一種用于模型近似的處理方法，它常用于近似高維度輸入系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)。研究表明，低階的高維模型表示方法可精確描述大部分工程中的極限狀態(tài)函數(shù)[18]。

本節(jié)主要介紹如何采用HDMR描述極限狀態(tài)函數(shù)g(X,E)。設(shè)Z=(X,E)T，則g(X,E)可寫為g(Z)?；诟呔S模型表示方法，g(Z)可表示為

(9)

其中，NZ為Z向量的元素個(gè)數(shù)，NZ=NX+NY；g0為0階分量函數(shù)，為常量；gi(Zi)為1階分量函數(shù)，表示輸入變量Zi單獨(dú)作用時(shí)對(duì)輸出響應(yīng)g(Z)的影響；gij(Zi,Zj)為2階分量函數(shù)，表示輸入變量Zi和Zj共同作用時(shí)對(duì)輸出響應(yīng)g(Z)的影響；更高階的分量函數(shù)表示多個(gè)輸入變量共同作用時(shí)對(duì)輸出響應(yīng)g(Z)的影響；最后一項(xiàng)g12…NZ(Z1,Z2,…,ZNZ)表示所有殘余的耦合輸入變量對(duì)輸出響應(yīng)的影響。

切割法(cut-HDMR)是一種確定高維模型各個(gè)分量函數(shù)的常用方法。在切割法中，首先選定參考點(diǎn)c，再計(jì)算經(jīng)過參考點(diǎn)c的線、平面、體積等切割幾何上的響應(yīng)值，分別確定各個(gè)分量函數(shù)。實(shí)際使用中，參考點(diǎn)c一般選定為輸入變量可行空間內(nèi)最感興趣的點(diǎn)。

利用切割法，各分量函數(shù)可表示為

g0=g(c)

(10)

gi(Zi)=g(Zi,ci)-g0

(11)

gij(Zi,Zj)=g(Zi,Zj,cij)-gi(Zi)-gj(Zj)-g0

(12)

其中，g(Zi,ci)=g(c1,c2,…,ci-1,Zi,ci+1,…,cl) ，表示除了分量Zi，其余所有輸入變量均固定在參考點(diǎn)c處，它是一個(gè)一元函數(shù)；類似地，g(Zi,Zj,cij)為二元函數(shù)；最后項(xiàng)g12…l(Z1,Z2,…,Zl)由真實(shí)響應(yīng)值和基于高維模型表示方法的預(yù)測(cè)值的殘差確定。

在高維模型表示方法中，1階、2階、3階等分量函數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)展開式中相應(yīng)的分量函數(shù)有著本質(zhì)區(qū)別。經(jīng)證明，高維模型表示方法中的1階分量函數(shù)gi(Zi)是泰勒級(jí)數(shù)展開式中僅含有變量Zi分量函數(shù)的集合；類似地，2階分量函數(shù)gij(Zi,Zj)是泰勒級(jí)數(shù)展開式中僅含有變量Zi和Zj分量函數(shù)的集合。1階分量函數(shù)gi(Zi)可以是非線性的。因此，較截?cái)嗟奶├占?jí)數(shù)展式，任意相應(yīng)截?cái)嗟母呔S模型表示方法的展式具有較高的精度。

2.2單步可靠性計(jì)算模型

若極限狀態(tài)函數(shù)可描述為關(guān)于隨機(jī)變量和區(qū)間變量相互分離的兩部分函數(shù)，則雙層循環(huán)問題可變?yōu)閱螌訂栴}，提高計(jì)算效率。

利用1階HDMR展式，極限狀態(tài)函數(shù)可近似為

(13)

如前所述，1階HDMR展式gi(Xi)和gi(Ei)分別是泰勒展式內(nèi)僅含有變量Xi和Yi所有分量函數(shù)的集合,因此，相對(duì)于1階泰勒展式，1階HDMR展式?jīng)]有限定近似表達(dá)式的非線性。這提高了1階HDMR展式的近似精度。

基于1階HDMR展式的近似表達(dá)式，失效概率的最小值和最大值的計(jì)算模型可寫為

pf，min=Pr{Gmax=(1-NX-NY)g0+

(14)

pf,max=Pr{Gmin=(1-NX-NY)g0+

(15)

(16)

(17)

3　計(jì)算失效概率

使用單步可靠性計(jì)算模型計(jì)算失效概率上下限時(shí)，需確定參考點(diǎn)c和各個(gè)一元函數(shù)表達(dá)式。參考點(diǎn)c對(duì)可靠性計(jì)算結(jié)果的精度具有一定的影響。為提高精度，參考點(diǎn)c一般選定為輸入變量可行空間內(nèi)最感興趣的點(diǎn)。區(qū)間變量的可行區(qū)間往往較小，區(qū)間變量可行區(qū)間內(nèi)的中點(diǎn)可兼顧兩個(gè)邊界點(diǎn)，為此，將區(qū)間變量可行區(qū)間內(nèi)的中點(diǎn)及區(qū)間變量固定在中點(diǎn)時(shí)的最大概率點(diǎn)(MPP)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量值設(shè)定為參考點(diǎn)c。

最大概率點(diǎn)u*的數(shù)學(xué)計(jì)算模型為

(18)

s.t.g(U,0)=0

其中，U=(U1,U2,…,UNX)T為獨(dú)立的隨機(jī)變量矢量，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，由隨機(jī)矢量X經(jīng)Rosenblatt變換獲得。

一旦求得MPP，則參考點(diǎn)c為

(19)

基于求得的參考點(diǎn)c，使用二次多項(xiàng)式近似表達(dá)各個(gè)一元函數(shù)表達(dá)式。設(shè)gi(Xi,ci)和gi(Ei,cn+i)的近似式分別為

(20)

(21)

其中，ai0、ai1、ai2、bi0、bi1和bi2分別為二次多項(xiàng)式的待定系數(shù)。

采用最小二乘法求解各個(gè)二次多項(xiàng)式的待定系數(shù)。在最小二乘法中，對(duì)于隨機(jī)變量Xi，沿過參考點(diǎn)c的Xi軸，在[μi-3σi,μi+3σi]區(qū)間內(nèi)均勻分布k(k=5，7，9)個(gè)樣本點(diǎn)，如圖2所示，其中μi和σi分別為隨機(jī)變量Xi的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。各個(gè)樣本點(diǎn)的坐標(biāo)值為μi-3σi，μi-3σi+6σi/(k-1)，…，μi，μi+6σi/(k-1)，…，μi+3σi。對(duì)于變換后的區(qū)間變量Ei，沿過參考點(diǎn)c的Ei軸，在[-1,1]區(qū)間內(nèi)均勻分布k(k=5，7，9)個(gè)樣本點(diǎn)，如圖2所示。各個(gè)樣本點(diǎn)的坐標(biāo)值為-1，-1+2/(k-1)， …，0，2/(k-1)，…，1。

(a)隨機(jī)變量的樣本點(diǎn)分布

(b)區(qū)間變量的樣本點(diǎn)分布圖2　樣本點(diǎn)分布示意圖

將式(20)和式(21)代入式(14)～式(17)，可得失效概率的最小值和最大值的計(jì)算式分別為

pf，min=Pr{Gmax=(1-NX-NY)g(c)+

(22)

pf，max=Pr{Gmin=(1-NX-NY)g(c)+

(23)

(24)

(25)

一旦最大概率點(diǎn)(MPP)和各個(gè)二次多項(xiàng)式系數(shù)確定，基于HDMR的混合型可靠性計(jì)算方法就無須再調(diào)用原始的狀態(tài)極限函數(shù)。這可大幅度提高計(jì)算效率，尤其當(dāng)極限狀態(tài)函數(shù)以隱式的計(jì)算機(jī)仿真模型表述時(shí)，調(diào)用一次狀態(tài)極限函數(shù)的用時(shí)一般較長(zhǎng)。為高效求得最大概率點(diǎn)，已有學(xué)者提出了較多的數(shù)值算法，如HLRF法[19-20]、iHLRF法[21]等。作為HLRF法的改進(jìn)，iHLRF法引入了價(jià)值函數(shù)，在處理非線性度較高的極限狀態(tài)函數(shù)時(shí)仍具較好的收斂性，故被廣泛應(yīng)用。為此，采用iHLRF法求解最大概率點(diǎn)。

4　算例

在MATLAB下，編寫了提出的單步可靠性算法可執(zhí)行程序，計(jì)算了兩個(gè)混合型可靠性分析算例，其中第一個(gè)算例的非線性較低，輸入變量的維度較低，相比于第一個(gè)算例，第二個(gè)算例的非線性度較高，輸入變量的維度也較高，用于驗(yàn)證提出的單步可靠性算法在處理較高非線性和高維度時(shí)的計(jì)算效率及精度。在算例中，使用調(diào)用原始極限狀態(tài)函數(shù)的次數(shù)Nc評(píng)定計(jì)算效率。盡管兩個(gè)算例的極限狀態(tài)函數(shù)均以顯式表達(dá)式給出，但都編寫成了可執(zhí)行程序，故對(duì)于調(diào)用函數(shù)，極限狀態(tài)函數(shù)是隱式的。在用于求解最大概率的iHLRF算法中采用向前有限差分法計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)關(guān)于隨機(jī)變量的梯度。

4.1懸臂梁

某懸臂梁末端受外部載荷，其中，水平方向分量為Px，垂直方向分量為Py，如圖3所示。當(dāng)梁末端位移大于末端許用位移D0時(shí)，認(rèn)為剛度失效，則極限狀態(tài)函數(shù)為

其中，L為懸臂梁長(zhǎng)度；b和h分別為矩形梁截面的寬度和高度；E為材料彈性模量。

圖3　懸臂梁

已知，末端許用位移D0=65 mm。表1給出了各個(gè)隨機(jī)變量的分布參數(shù)及區(qū)間變量的特征矩陣，其中，L、b和h均服從正態(tài)分布；彈性模量E為獨(dú)立區(qū)間變量，載荷分量Px和Py為非獨(dú)立區(qū)間變量。

表1　不確定性變量的參數(shù)

為研究不同樣本數(shù)量對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的影響，在使用提出的可靠性計(jì)算方法計(jì)算失效概率時(shí)，令k值分別為5、7和9。表2給出了不同k值時(shí)的失效概率結(jié)果。為驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的精度，同時(shí)使用了蒙特卡羅法計(jì)算失效概率。因蒙特卡羅法僅能計(jì)算系統(tǒng)中不確定性都為隨機(jī)變量的工況，故在使用蒙特卡羅法時(shí)，將各個(gè)區(qū)間變量在可行域內(nèi)均布取樣30個(gè)點(diǎn)，對(duì)滿足多橢球模型約束條件的區(qū)間樣本點(diǎn)，調(diào)用107次原始極限狀態(tài)函數(shù)，計(jì)算失效概率，最后挑選出失效概率的最小值和最大值，作為失效概率的上下限。由表2可見，當(dāng)k值等于9時(shí)，計(jì)算結(jié)果與蒙特卡羅法獲得的結(jié)果較接近，具有較高的計(jì)算精度；根據(jù)Nc可知，提出的基于HDMR的單步可靠性計(jì)算方法可較少地調(diào)用原始極限狀態(tài)函數(shù)，求得較高精度的失效概率上下限值。

表2　失效概率上下限

4.2懸臂圓筒

某懸臂圓筒受外部載荷如圖4所示：集中力F1、F2，P和扭矩T。當(dāng)最大等效von-Mises應(yīng)力σmax超出材料屈服極限σs時(shí)，認(rèn)為懸臂圓筒強(qiáng)度失效，極限狀態(tài)函數(shù)可寫為

G=g(X,Y)=σs-σmax

圖4　懸臂圓筒

最大等效von-Mises應(yīng)力位于懸臂圓筒根部截面上端點(diǎn)，其計(jì)算式為

其中，σx為該點(diǎn)處的正應(yīng)力，表達(dá)式為

c=d/2

M=F1L1cosθ1+F2L2cosθ2

其中，M為該截面處彎矩，A為截面面積，I為截面慣性矩，τzx為該點(diǎn)的切應(yīng)力。

表3給出了各個(gè)隨機(jī)變量的分布參數(shù)及區(qū)間變量的特征矩陣，其中θ1和θ2為獨(dú)立區(qū)間變量，其余不確定性變量均為隨機(jī)變量。

表3　隨機(jī)變量分布參數(shù)

比較研究了k值對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的影響，表4給出了基于提出的方法，令k值分別為5、7和9時(shí)的計(jì)算結(jié)果。為驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性，在蒙特卡洛法中，將兩個(gè)區(qū)間變量在可行域內(nèi)均布取樣50個(gè)點(diǎn)，對(duì)滿足多橢球模型約束條件的區(qū)間樣本點(diǎn)，調(diào)用106次原始極限狀態(tài)函數(shù)，計(jì)算失效概率，最后挑選出失效概率的最小值和最大值，作為失效概率的上下限。由表4可見，k值對(duì)該算例的計(jì)算結(jié)果幾乎沒有影響，并在k值較小時(shí)，失效概率上下限已接近基于蒙特卡羅法獲得的值；根據(jù)Nc可得提出的基于HDMR的單步可靠性計(jì)算方法計(jì)算效率高。

表4　失效概率上下限

5　結(jié)語

針對(duì)機(jī)械系統(tǒng)中隨機(jī)變量和非獨(dú)立區(qū)間變量共存的常見工況，基于橢球模型，利用HDMR法，提出了單步可靠性計(jì)算模型；使用多項(xiàng)式近似，提出了一種快速可靠性計(jì)算算法。由算例結(jié)果表明：該算法僅利用少量的原始極限狀態(tài)函數(shù)的響應(yīng)信息，或較少的調(diào)用次數(shù)，即可快速地計(jì)算獲得較高精度的失效概率上下限。

在處理極限狀態(tài)方程關(guān)于輸入變量在可行區(qū)間內(nèi)高度非線性情況時(shí)，基于二次多項(xiàng)式函數(shù)近似的高維模型的一階分量函數(shù)可能會(huì)存在較大的誤差，影響計(jì)算精度，提出多項(xiàng)式函數(shù)階數(shù)自適應(yīng)極限狀態(tài)方程非線性的近似方法是一種可行的改進(jìn)方法。

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(編輯王艷麗)

An One-step Reliability Analysis Method with Random and Dependent Interval Variables

Pan BaisongXie ShaojunJiang Lizheng

Zhejiang University of Technology,Hangzhou,310014

Random variables and dependent interval variables often coexisted, and this made the reliability analysis problem into a double-loop optimization problem and reduces the efficiency of the reliability analysis. So an one-step reliability analysis method was proposed. Specifically, the double-loop optimization problem where the dependent interval variables were modelled by the ellipsoid model, was decoupled into a simple one-step problem by using the HDMR. Based on the proposed sampling strategy, a quadratic polynomial was applied to approximate each of the HDMR expression, making the implicit one-step problem into the explicit one. The example results show that the proposed method has good efficiency and accuracy, and may calculate the reliability results with good accuracy at a little cost of calling the origin limit-state function.

ellipsoid model; dependent interval variable; high dimensional model representation(HDMR); rapid reliability analysis method

2015-09-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475425,51075365)

TH122

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.18.003

潘柏松(通信作者)，男，1968年生。浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)榭煽啃栽O(shè)計(jì)、可靠性工程、現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。出版專著1部，發(fā)表論文40余篇。謝少軍，男，1986年生。浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。蔣立正，男，1979年生。浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。