雷玉瓊， 谷艷華

(1.鄭州城市職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，河南 鄭州 452370; 2.中原工學(xué)院 商務(wù)信息學(xué)院，河南 鄭州 451191)

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變分法在二維幾何約束磁墻中的應(yīng)用

雷玉瓊1， 谷艷華2

(1.鄭州城市職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，河南 鄭州 452370; 2.中原工學(xué)院 商務(wù)信息學(xué)院，河南 鄭州 451191)

主要研究二維空間中，幾何約束模型存在能量解和最小能量解，利用變分方法證明了二維幾何約束磁墻能量模型存在最小能量解，利用山路引理證明了二維幾何約束磁墻能量模型存在一個非平凡解.一維幾何約束磁墻的理論研究為鐵磁原子點(diǎn)接觸大型磁電阻的研究提供了一個簡單自然的解釋，二維幾何約束磁墻的理論研究為更高維磁墻的研究提供了新的方法.

幾何約束磁墻模型；變分法；山路引理

1　研究背景

在磁場研究中的主要問題之一是：在納米尺度下，微觀磁結(jié)構(gòu)是怎樣對應(yīng)幾何約束條件的.在沒有被約束的系統(tǒng)中，例如，BLOCH指出在整塊鐵磁中，墻結(jié)構(gòu)由能量交換和各向異性能量競爭決定[1-2].BLOCH墻的精確結(jié)構(gòu)已經(jīng)被LANDAU和LIFSHITZ計(jì)算出. 在鐵磁薄膜中NEEL指出，雙極反應(yīng)導(dǎo)致了一種新類型的墻，也就是著名的Neel Walls，在Neel墻中，墻的結(jié)構(gòu)由交換各向異性和雙極能量之間的競爭所決定.在一維空間中，幾何約束磁墻的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)在Bloch Walls(布洛赫墻) 和Neel Walls(奈耳墻)中已經(jīng)得到理論上的研究， 它們不同于未被約束的幾何磁墻，所以除了Bloch Walls(布洛赫墻)和Neel Walls(奈耳墻)外，幾何約束磁墻包含了一種新類型的磁墻[3-5]. 特別地，當(dāng)限制的特征長度很小的時候，約束磁墻的寬度也相應(yīng)變得很小. 這實(shí)際上是一個原子點(diǎn)接觸，這為鐵磁原子點(diǎn)接觸大型磁電阻的研究提供了一個簡單自然的解釋[4-5]. 事實(shí)上，這種幾何約束磁墻對一個點(diǎn)接觸電阻的貢獻(xiàn)比Bloch Walls或Neel Walls更大[4,6].

在文獻(xiàn) [4] 中,一維幾何約束磁墻模型的能量泛函是

與能量泛函相對應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程是

S(x)u″(x)+u′(x)S′(x)-S(x)F′(u(x))=0,-

(1)

u(-)=u1,u()=u2,

(2)

二維幾何約束磁墻模型的研究是建立在一維幾何約束磁墻的基礎(chǔ)上的，但是它們的研究意義是不同的. 二維幾何約束磁墻模型的能量泛函是

從物理的角度來看，一維幾何約束磁墻描述的是在兩個不同位置之間簡單的相變過程，而在認(rèn)為邊界是周期的情況下二維幾何約束模型可以描述為一種磁晶體結(jié)構(gòu)，因?yàn)椴煌木w放在一起可以看成具有相同的邊界.在微觀的尺寸下，磁晶體結(jié)構(gòu)可以分成幾個磁疇，在每個磁疇中，原子的運(yùn)動是排列成行的，但從一個磁疇到另一個磁疇的排列方向是不同的[6-7].因此，這種模型結(jié)構(gòu)對研究磁晶體結(jié)構(gòu)起了重要作用.如果磁化在一種晶體狀態(tài)下，中心的能量損失是以很低的頻率進(jìn)行的，這個中心是磁滯回線的一個區(qū)域，這會發(fā)生磁滯損失[8-10].因此，這種模型對研究磁場中原子的運(yùn)動和能量的損耗有很大意義[11].

2　主要結(jié)果和證明

二維幾何約束磁墻模型的能量泛函為

為了書寫和證明的方便，本文中的符號與山路引理中的符號一致.

定理1(PS條件)若X是希爾伯特空間，I∈C1(X,R)對在X中的任意序列{un}，當(dāng)n→時，I(un)→α，使得序列{un}的一個子序列在X中是強(qiáng)收斂的.

證明設(shè){un}是引理中描述的一個子序列，則

(3)

∫ΩS(x)(2un·v+F′(un)v)dx,

(4)

根據(jù)(3)式，由極限的知識可以得到

泰勒展開可以得到

(5)

在(4)式中,令v=un可得

(6)

將(5)式、(6)式相加可得

其中,C,C1,C2都為常數(shù).由此可知，{un}在W1,2(Ω)中是有界的.所以{un}在W1,2(Ω)中存在弱收斂子列，子列不妨仍記為{un}，可以得到un弱收斂于u，又因?yàn)閃1,2(Ω)緊嵌入到L2(Ω)，所以在L2(Ω)中un→u，在(4)中，令n→得

∫ΩS(x)(2u·v+F′(u)v)=0,

(7)

(4)式減去(7)式得

∫ΩS(x)(2(un-u)·v+(F′(un)-F′(u))v)dx≤εn‖v‖W1,2(Ω)，

取v=un-u，可得

因?yàn)閧un}在W1,2(Ω)中是有界的，所以當(dāng)n→，εn→0時，，即在W1,2(Ω)中，un→u.此定理得證.

定理2(爬山引理)若X是希爾伯特空間，I∈C1(X,R)滿足PS條件.除此之外，泛函I也必須滿足以下條件：

1)I(0)=0；

2)存在常數(shù)a,R>0，使得當(dāng)‖u‖X=R，I(u)≥a；

3)存在一個元素v∈X，使得當(dāng)‖v‖X>R時，I(v)≤0.

定義從X的中心到v的路徑為

2)由二維嵌入定理知

又因?yàn)?/p>

所以，

3)因?yàn)?/p>

取u=-C(C>0)，則I(u)=∫ΩF′(-C)S(x)dx=-C∫ΩF′S(x)dx.

又因?yàn)镕′>0，S(x)>0，所以，當(dāng)C→+時，I(u)→-.即存在一個元素v∈X，使得‖v‖X>R時，I(v)≤0，所以3)得證.由定理2知：是I的一個臨界值，同時也是方程的一個解.

本文用變分法證明了二維幾何約束磁墻模型存在最小能量解，而這種約束磁墻代表一種磁晶體結(jié)構(gòu)，具有周期邊界的磁晶體，在施加外磁場的時候，使得磁體的各向異能最小，中心的能量損失是以很低的頻率進(jìn)行.這種模型對研究磁場中原子的運(yùn)動和能量的損耗有重要意義[11].

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Application of Variational Method in Two-dimensional Geometric Constraints Magnetic Wall

LEI Yuqiong1, GU Yanhua2

(1.Department of Basic, City Career Academy of Zhengzhou， Zhengzhou 452370, China;2.CollegeofInformationandBusiness,ZhongyuanUniversityofTechnology,Zhengzhou451191，China)

Provides a simple and natural explanation for the large magnetoresistance observed recently in ferromagnetic atomic point contacts. Shows that geometrically constraints of magnetic wall model exists minimum energy solution and energy solution on the two-dimensional space. Proves that two-dimensional geometric constraint magnetic wall energy model has a minimum energy solution and energy solution by the variational principle of method. Furthermore, mountain lemma proves two-dimensional geometric constraints of magnetic wall energy model has a nontrivial solution. Provides new methods for the problems of multidimensional magnetic wall model.

geometric constraints of magnetic wall model； calculus of variations； mountain lemma

2016-03-29

河南省基礎(chǔ)與前沿研究項(xiàng)目(112300410054);河南省科技攻關(guān)項(xiàng)目(112102210233)

雷玉瓊(1984—)，女，河南信陽人，鄭州城市職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.03.009

O175

A

1007-0834(2016)03-0031-04