齊　靜

(重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 重慶 401520)

?

黑箱函數(shù)優(yōu)化問題中的一種新型的變形函數(shù)策略

齊靜

(重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 重慶 401520)

針對徑向基函數(shù)插值方法, 提出了一種新的變形函數(shù)策略改進(jìn)徑向基的優(yōu)化效果. 通過數(shù)值算例說明了采用這種新構(gòu)造的變形函數(shù)策略在迭代次數(shù)上的優(yōu)越性.

高價(jià)黑箱函數(shù); 全局優(yōu)化; 徑向基函數(shù); 響應(yīng)面模型; 變形函數(shù)策略

0　引言

本文采用文獻(xiàn)[1]中的徑向基函數(shù)模型.

給定n個(gè)不同的點(diǎn)x1,x2,…,xn∈Rd, 并且它們的函數(shù)值f(x1),f(x2),…,f(xn)也是已知的,取定徑向基函數(shù)φ,構(gòu)建徑向基函數(shù)模型

其中，f是一個(gè)確定性的連續(xù)函數(shù), ‖x-xi‖表示x與中心點(diǎn)xi之間的歐氏距離,λi∈R,i=1,2,…,n,φ為徑向基函數(shù).選定一個(gè)徑向基函數(shù)φ之后, 定義矩陣

Φij:=φ(‖xi-xj‖)，i,j=1,2，…,n.

1　變形函數(shù)策略

根據(jù)已選好的初始點(diǎn)x1,x2，…,xn及其函數(shù)值f(x1),f(x2),…,f(xn)構(gòu)建響應(yīng)面模型,但是我們發(fā)現(xiàn)f(x1),f(x2),…,f(xn)中,有些函數(shù)值可能非常小，而有些函數(shù)值卻可能非常大,這些極端的函數(shù)值會對構(gòu)建響應(yīng)面的精確度造成較大的影響,從而造成較大的誤差.為了解決這個(gè)問題, 筆者曾提出過一種變形函數(shù)策略,用g(f)來替換f,下面通過數(shù)值算例說明這種變形函數(shù)策略的優(yōu)越性.

例1已知函數(shù)

由初始點(diǎn)所構(gòu)建的徑向基響應(yīng)面為：sn(x)=(158 715 359 558 193log(((50x-11)^2/2 500)^(1/2))(50x-11)^2)/8 589 934 592 000 - (4 512 001 768 305 671log((x^2 -x+ 1/4)^(1/2))(x^2 -x+ 1/4))/4 398 046 511 104 - (401 859 619 198 365 3log(((20x- 1)^2/400)^(1/2))(20x- 1)^2)/219 902 325 555 200-(3 990 528 113 443 431x)/8 796 093 022 208 + (706 589 093 003 557log(((100x- 9)^2/10 000)^(1/2))(100x- 9)^2)/85 899 345 920 000 - (5 269 645 423 418 079log(((100x- 11)^2/10 000)^(1/2))(100x- 11)^2)/687 194 767 360 000 - (1 492 274 980 073 251log(((100x- 19)^2/10 000)^(1/2))(100x- 19)^2)/343 597 383 680 000 + 7 367 518 265 930 379/70 368 744 177 664.

初次構(gòu)建的響應(yīng)面模型和原函數(shù)的圖像如圖1所示, 在最優(yōu)值處構(gòu)建的響應(yīng)面模型和原函數(shù)的圖像如圖2所示.

圖1初次構(gòu)建的響應(yīng)面模型和原函數(shù)圖像圖2最優(yōu)值處的響應(yīng)面模型和原函數(shù)圖像

Fig.1The response sruface model and the original image building for the first timeFig.2The optimal value of the response surface model and the original image

隨機(jī)選取初始點(diǎn),當(dāng)?shù)c(diǎn)個(gè)數(shù)n=30時(shí),尚未達(dá)到最優(yōu)值,所得數(shù)據(jù)如表1所示.

表1　隨機(jī)選取初始點(diǎn),當(dāng)n=30時(shí)的數(shù)據(jù)

即

變形函數(shù)的初始點(diǎn)也是Gutmann所選的初始點(diǎn)為(0.05,-90.91),(0.09,-217.39),(0.11,-384.62),(0.19,-384.62),(0.22,-169.49),(0.5,-8.10).徑向基函數(shù)為Φ=r2log(r).

采用本文構(gòu)造的變形函數(shù)策略,當(dāng)n=11時(shí)達(dá)到最優(yōu)值點(diǎn),迭代次數(shù)為11-6=5(次),所得數(shù)據(jù)如表2所示.分析表2數(shù)據(jù)可知,采用變形函數(shù)策略,達(dá)到最優(yōu)值所需的迭代次數(shù)為11-6=5(次),顯然采用變形函數(shù)方法,可以減少迭代次數(shù),優(yōu)化迭代過程.

表2　采用本文構(gòu)造的變形函數(shù)策略達(dá)到最優(yōu)值的數(shù)據(jù)

使用與不使用本文的變形函數(shù)策略,達(dá)到最優(yōu)值的迭代次數(shù)對比圖如圖3和圖4所示.

圖3使用本文構(gòu)造的變形函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值的迭代次數(shù)圖4不采用本文構(gòu)造的變形函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值的迭代次數(shù)

Fig.3The numbers of iterations using deformation function constructed in this paper Fig.4The numbers of iterations without deformation function strategy constructed in this paper

構(gòu)造變形函數(shù)后, 達(dá)到最優(yōu)值所需的迭代次數(shù)為11-6=5(次); 不采用變形函數(shù), 迭代次數(shù)為30-6=24(次)，尚未達(dá)到最優(yōu)值. 非常顯然, 采用變形函數(shù)對一些測試函數(shù)來說, 可以減少迭代次數(shù).

下面比較本文構(gòu)造的變形函數(shù)策略與文獻(xiàn)[2]中的變形函數(shù)策略達(dá)到最優(yōu)值所需的迭代次數(shù).

文獻(xiàn)[2]中的變形函數(shù)策略為

初始點(diǎn)仍為(0.05,-90.91),(0.09,-217.39),(0.11,-384.62),(0.19,-384.62),(0.22,-169.49),(0.5,-8.10).徑向基函數(shù)為

Φ=r2log(r).

采用文獻(xiàn)[2]中的變形函數(shù)策略,當(dāng)n=17時(shí)達(dá)到最優(yōu)值點(diǎn),迭代次數(shù)為17-6=11(次),所得數(shù)據(jù)如表3所示.分析表3的數(shù)據(jù)可知,文獻(xiàn)[2]的變形函數(shù)策略, 達(dá)到最優(yōu)值所需迭代的次數(shù)為17-6=11(次)(圖5).而使用本文的變形函數(shù)策略，到達(dá)最優(yōu)值所需迭代的次數(shù)為11-6=5(次).很明顯,使用本文的變形函數(shù)策略可以減少迭代次數(shù),優(yōu)化迭代過程.

表3　采用文獻(xiàn)[2]構(gòu)造的變形函數(shù)策略達(dá)到最優(yōu)值的數(shù)據(jù)

圖5　采用文獻(xiàn)[2]的變形函數(shù)策略達(dá)到最優(yōu)值所需迭代的次數(shù)

由以上數(shù)據(jù)分析可知,采用本文的變形函數(shù)策略,在一定程度上可以減少迭代的次數(shù),從而節(jié)約時(shí)間、節(jié)約成本、優(yōu)化迭代過程.因此在實(shí)際優(yōu)化過程中,通常使用變形函數(shù)策略來優(yōu)化那些過大或者過小的函數(shù)值,從而構(gòu)建較為精確的響應(yīng)面模型,產(chǎn)生較好的優(yōu)化效果.

2　小結(jié)

徑向基函數(shù)具有良好的逼近能力及較快的收斂速度[3]，使用g(f)來替換f使得構(gòu)建的響應(yīng)面更加準(zhǔn)確，更有效地進(jìn)行搜索.因此,徑向基函數(shù)插值非常適合求解高價(jià)黑箱函數(shù)的全局最優(yōu)化問題.

[1]REGIS R G, SHOEMAKER C A. Constrained global optimization of expensive black box function using radial basis function [J]. Journal of Global Optimization, 2005, 31:153-171.

[2]REGIS R G,SHOEMAKER C A. A quasi-multistart framework for global optimization of expensive function using response surface models [J]. Journal of Global Optimization, 2013, 56:1719-1753.

[3]吳宗敏. 函數(shù)的徑向基表示[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,1998, 27(3): 202-208.

A New Type of Deformation Function Strategy for Black Box Function Optimization Problems

QI Jing

(School of Mathematics and Computer Science, Chongqing Normal University Foreign Trade andBusinessCollege,Chongqing401520,China)

A new deformation function strategy to improve the optimization effect of the radial basis function interpolation method was proposed. The advantages of the new deformation function strategy method were illustrated by some numerical examples.

expensive black box function; global optimization; radial basis function; response surface model; deformation function strategy

2016-07-01

齊靜(1990—),女,河南南陽人,重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院教師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.03.007

O241.6

A

1007-0834(2016)03-0023-04