顧江永

(宿遷學院 文理學院，江蘇 宿遷 223800)

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Newton公式的一個注記及其應用

顧江永

(宿遷學院 文理學院，江蘇 宿遷 223800)

通過對Newton公式的研究，得出了一個較為簡潔的結論，并利用該結論對Newton公式進行等價的證明；同時舉例說明結論的相關應用.

Newton公式；推廣；應用

Newton公式在組合數(shù)學、數(shù)值計算、方程求根等方面有著重要的作用，它給出了一元n次多項式根的次冪之和與多項式系數(shù)之間的相互關系.沈南山在文獻[1]中對Newton公式的條件進行了推廣，使兩個結論得到了統(tǒng)一.本文從次冪和的角度對Newton公式進行推廣，給出了一個較為簡潔且直觀的結論.

引理已知復數(shù)域上的一元多項式

fn(x)=xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an，

證明設fm(x)=xm+a1xm-1+a2xm-2+…+am-1x+am的m個復根分別為y1,y2,…,ym，則

因為Sk(n)和Sk(m)都是對稱多項式，所以根據(jù)對稱多項式基本定理[2]，它們可以表示為初等對稱多項式的多項式.

表1　指數(shù)方冪表

設

(1)

(2)

根據(jù)Vieta定理[4]，知σi=(-1)iai,i=1,2,…,k，所以(1)與(2)式中的σi都相同.

令(y1,y2,…,ym)=(x1,x2,…,xn,0,0,…,0)=(c1,c2,…,cn,0,0,…,0),c1,c2,…,cn為任意常數(shù),代入(1)與(2)式得，bi=ci,(i=1,2,…,t)，所以Sk(n)=Sk(m)，(1≤k≤n).

推論[1]復數(shù)域上的多項式

f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an,a0≠0，

a0Sk+a1Sk-1+a2Sk-2+…+an-1Sk-n+1+anSk-n=0.

Newton公式[4]復數(shù)域上的多項式

f(x)=xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an，

1)當k≥n時，Sk+a1Sk-1+a2Sk-2+…+an-1Sk-n+1+anSk-n=0；

2)當1≤k≤n時，Sk+a1Sk-1+a2Sk-2+…+ak-1S1+kak=0.

證明構造多項式

f(x,x1,x2,…,xn)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)，

將其展開，得

f(x,x1,x2,…,xn)=xn-σ1xn-1+σ2xn-2+…+(-1)n-1σn-1x+(-1)nσn.

由韋達定理，可得

f(x,x1,x2,…,xn)=xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an.

令x=x1,x2,…,xn，分別代入多項式

f(x,x1,x2,…,xn)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn),

得

1)當k≥n時，上式兩邊同時乘以xik-n,i=1,2,…,n，得

這n個等式相加，得k≥n時的Newton公式

Sk+a1Sk-1+a2Sk-2+…+an-1Sk-n+1+anSk-n=0.

2)當1≤k≤n時，由推論直接可得

Sk+a1Sk-1+a2Sk-2+…+ak-1S1+kak=0.

下面給出公式的兩個應用.

(1)

k=1,2,…,n.

證明利用第二數(shù)學歸納法.

當k=1時，根據(jù)Vieta定理[5]知,a1=x1+x2+…+xn=S1，結論成立.

假設當k≤n時結論成立，下證當k=n時的情形.由Newton公式可知,只要證明行列式中Sk(k)成立即可.把式(1)右端行列式按最后一行展開并結合Newton公式，得

根據(jù)第二數(shù)學歸納法原理，對任意的自然數(shù)k，結論都成立.

又因為σ1=-2,σ2=3,σ3=-4，所以

S3(7)=S3(3)=(-2)3-3×(-2)×(-3)+3×(-4)=-2.

[1]沈南山．牛頓(Newton)公式的一個注記及其應用[J]．數(shù)學通報，2005(3)：38-39.

[2]北京大學數(shù)學系.高等代數(shù)[M]. 北京: 高等教育出版社，2003:42-49.

[3]徐仲，陸全. 高等代數(shù)考研教案[M].2版.西安: 西北工業(yè)大學出版社，2009：39-40.

[4]南秀全. 多項式[M]. 武漢: 湖北教育出版社，2002: 209-213.

[5]潘有發(fā). 韋達定理史話[J]. 學生之友(初中版)，2003(11)：44-45.

A Note on Newton Formula and Its Applications

GU Jiangyong

(Department of Arts and Science, Suqian College, Suqian 223800, China)

A more concise corollary is given by the study of the Newton formula. And by this conclusion, the Newton formula is proved to be equivalent. The relevant applications of the results are reflected by giving examples.

Newton formula； corollary； application

2016-04-12

宿遷學院科研基金(SQXY201506)

顧江永(1977—)，男，江蘇宿遷人，宿遷學院文理學院副教授，主要研究方向：代數(shù)學.

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.03.002

O151.1

A

1007-0834(2016)03-0004-03