金瑞佳，滕 斌，呂 林

(大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

應(yīng)用兩次展開法求解系泊柱體慢漂運(yùn)動(dòng)方程

金瑞佳，滕 斌，呂 林

(大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

在深海中系泊的海洋平臺(tái)，如Spar平臺(tái)，水下部分為帶有系泊的圓柱結(jié)構(gòu)，其水平方向運(yùn)動(dòng)響應(yīng)往往具有較低的自振頻率，容易在低頻波浪力(源于非線性的差頻效應(yīng))作用下發(fā)生共振響應(yīng)，使結(jié)構(gòu)發(fā)生大幅水平慢漂。當(dāng)浮體的瞬時(shí)位置大幅偏離初始位置時(shí)，基于初始平衡位置的攝動(dòng)展開法會(huì)存在較大誤差。針對(duì)這一問(wèn)題，采用兩次展開方法，對(duì)大幅慢漂運(yùn)動(dòng)開展時(shí)域模擬研究。對(duì)雙色波作用下自由漂浮圓柱的大幅運(yùn)動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值分析，并與采用基于初始平衡位置的攝動(dòng)展開法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明，采用新的兩次展開法可以計(jì)算出波浪遭遇頻率的變化和波浪漂移阻尼，而這無(wú)法從基于初始平衡位置的常規(guī)攝動(dòng)展開法中得到，體現(xiàn)了兩次展開法在分析大幅慢漂問(wèn)題上的優(yōu)勢(shì)。

兩次展開；二階時(shí)域方法；小波變換；大幅慢漂；波浪漂移阻尼

Abstract：Large drift phenomenon of Spar platform is often observed in deep sea,whose natural frequency in horizontal direction is very low because the difference frequency of the nonlinear wave is close to the natural frequency of the structure.There is a large error if the perturbation expansion based on the initial equilibrium location is adopted when the floater is far away from the initial equilibrium position.For this reason,a twice-expansion time domain method is employed in this paper to study the problem.Using this method,the motion response of a free cylinder is evaluated,and the results are compared with those by perturbation expansion method based on initial equilibrium location.The comparisons show that the twice-expansion method demonstrates the performance on calculating the change of encountering frequency between waves and structures as well as the wave drift damping,while the original method does not.This shows the advantages of the twice-expansion method in solving the large drift problem.

Keywords：twice expansion; second-order time domain method; wavelet transform; large drift motion; wave drift damping

深海中的大型海洋平臺(tái)，如Spar平臺(tái)，通過(guò)錨泊系統(tǒng)定位于海中，水下部分為圓柱結(jié)構(gòu)。Spar平臺(tái)系統(tǒng)在水平運(yùn)動(dòng)方向通常具有很低的固有頻率，特別容易在非線性波浪差頻的作用下發(fā)生大幅度的水平往復(fù)慢漂運(yùn)動(dòng)。當(dāng)平臺(tái)發(fā)生大幅慢漂現(xiàn)象時(shí)，若將參考系設(shè)置在結(jié)構(gòu)物上，則可以簡(jiǎn)化為水流與結(jié)構(gòu)物的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。關(guān)于這類問(wèn)題，Nossen等人[1]在頻域內(nèi)計(jì)算了三維固定在波流環(huán)境中受到的一階波浪力，而沒(méi)有涉及運(yùn)動(dòng)物體的求解計(jì)算。Kinoshita和Bao[2,3]通過(guò)理論推導(dǎo)獲得了單個(gè)圓柱和一列圓柱在波浪和水流中的波浪力和波浪漂移阻尼，但理論推導(dǎo)具有一定的局限性，不能計(jì)算任意形狀的物體。Kim[4]和Liu[5]隨后在時(shí)域內(nèi)求解了波流與結(jié)構(gòu)物的耦合作用產(chǎn)生的一階運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，但未計(jì)算高階次的問(wèn)題。上述學(xué)者研究的都是水流流速不變情況下的波浪與結(jié)構(gòu)物耦合問(wèn)題，而對(duì)于浮體結(jié)構(gòu)物的大幅慢漂問(wèn)題，漂移速度一直在變化，因此相當(dāng)于變速水流與波浪中結(jié)構(gòu)物的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，至今相關(guān)研究較少。

同時(shí)，針對(duì)海洋平臺(tái)系泊系統(tǒng)以及波浪的非線性，大量學(xué)者開展了相關(guān)的研究工作。Sarkar和Eatock Taylor[6,7]提出了對(duì)波陡和系泊纜索非線性的雙參數(shù)展開方法，并采用半解析的方法計(jì)算了有限水深中帶有系泊纜索的截?cái)鄨A柱問(wèn)題。Ormberg和Larsen[8]、Kim[9,10]、Garrett[11]計(jì)算了船體與系泊纜索的耦合作用，這些工作主要關(guān)注了系泊纜索的計(jì)算方法，而水動(dòng)力荷載部分則采用比較簡(jiǎn)單的線性模型。Low[12-14]同樣認(rèn)為，深水結(jié)構(gòu)物和浮體的耦合作用中存在大量的非線性影響，并提出一種時(shí)域和頻域混合的方法，求解結(jié)構(gòu)物的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)和系泊系統(tǒng)的張力。Kim等人[15]采用基于頻域攝動(dòng)展開的Cummins方法計(jì)算了波浪荷載下漂浮結(jié)構(gòu)物的水動(dòng)力荷載。Yang等人[16,17]采用時(shí)域的攝動(dòng)展開法計(jì)算水動(dòng)力荷載。上述的攝動(dòng)展開均是直接基于初始平衡位置進(jìn)行，沒(méi)有考慮結(jié)構(gòu)物發(fā)生大幅慢漂現(xiàn)象對(duì)分析結(jié)果的影響。

深海結(jié)構(gòu)物的大幅度慢漂運(yùn)動(dòng)，其幅度甚至?xí)笥诓ㄩL(zhǎng)尺度。在此種情況下，若仍采用基于初始平衡位置的攝動(dòng)展開法，無(wú)法準(zhǔn)確滿足攝動(dòng)展開的小振幅假設(shè)，計(jì)算會(huì)存在較大誤差，而且也無(wú)法考慮由于物體運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致波浪力相位的變化和入射波浪與結(jié)構(gòu)物遭遇頻率的變化。此外，基于初始平衡位置的攝動(dòng)展開法無(wú)法計(jì)算結(jié)構(gòu)物發(fā)生大幅慢漂運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的波浪漂移阻尼，這部分阻尼會(huì)影響結(jié)構(gòu)物的自振頻率和運(yùn)動(dòng)響應(yīng)幅值?；谏鲜鲈?，本文采用了一種在時(shí)域內(nèi)求解波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用的兩次展開的方法。其中，結(jié)構(gòu)物的運(yùn)動(dòng)被分解為兩部分：一是低頻運(yùn)動(dòng)；另一個(gè)是在低頻運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上的波頻振蕩運(yùn)動(dòng)。低頻運(yùn)動(dòng)位置稱為瞬時(shí)平均位置，而在此平均位置進(jìn)行波頻振蕩的運(yùn)動(dòng)需要通過(guò)攝動(dòng)展開計(jì)算得到。此時(shí)，這個(gè)攝動(dòng)展開的參數(shù)可以滿足小振幅的基本假設(shè)。由于此瞬時(shí)平均位置需要通過(guò)對(duì)總體運(yùn)動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行再次展開獲得，故此方法稱之為兩次展開法。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1坐標(biāo)系的定義和運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的分解

圖 1 坐標(biāo)系及計(jì)算域定義Fig.1 Definition sketch of coordinate systems and computation domain

(1)

(2)

H中的元素涉及一階轉(zhuǎn)動(dòng)分量的乘積，是二階量。

對(duì)物體由波頻引起的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)在平均位置進(jìn)行攝動(dòng)展開如下，

ξ(t)=εξ(1)(t)+ε2ξ(2)(t)+…

(3)

α(t)=εα(1)(t)+ε2α(2)(t)+…

(4)

式中：上標(biāo)(1)和(2)分別表示關(guān)于波陡ε=kA的一階和二階分量。

1.2控制方程和邊界條件

由于非線性波浪差頻的影響，浮體會(huì)發(fā)生低頻漫漂運(yùn)動(dòng)，在大地坐標(biāo)系下的速度勢(shì)可以寫為

(5)

式中：φc為物體低頻運(yùn)動(dòng)而使周圍流場(chǎng)產(chǎn)生定常擾動(dòng)速度勢(shì)，與入射波浪無(wú)關(guān)，為零階勢(shì)；φw為大地坐標(biāo)系下的波浪速度勢(shì)，可以按照波陡ε展開為一階和二階分量。φc和φw均滿足拉普拉斯方程和海底不可滲透邊界條件。

(6)

式中：φc為單位速度勢(shì)。將式(5)代入伯努利方程，

(7)

物體慢漂運(yùn)動(dòng)的角頻率相對(duì)波頻運(yùn)動(dòng)的角頻率是小量，而低頻運(yùn)動(dòng)速度對(duì)時(shí)間變化率和速度平方的計(jì)算均會(huì)出現(xiàn)角頻率的平方項(xiàng)，可以忽略。因此，伯努利方程可以近似化簡(jiǎn)為

(8)

速度勢(shì)Φ滿足瞬時(shí)物面邊界條件，不可滲透海底條件和動(dòng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)瞬時(shí)自由水面條件。將物面邊界條件和水面邊界條件分別在低頻平均位置和靜水面做泰勒級(jí)數(shù)展開，得到一階和二階的物面和水面邊界條件

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

為了書寫簡(jiǎn)單，式中用Ξ(k)=ξ(k)+α(k)×(x-x0) 表示k階平移和轉(zhuǎn)動(dòng)的聯(lián)合運(yùn)動(dòng)。

上述部分為兩次展開方法中的第一次展開，即基于低頻平均位置做關(guān)于未知量的攝動(dòng)展開和關(guān)于邊界條件的泰勒級(jí)數(shù)展開，不同于以往在初始平衡位置展開。本文推導(dǎo)過(guò)程考慮了物體做低頻大幅慢漂運(yùn)動(dòng)的影響，因此和基于初始平衡位置的攝動(dòng)展開方法相比有根本的不同。

1.3積分方程和波浪力

波浪的散射勢(shì)和低頻運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的定常擾動(dòng)單位速度勢(shì)均需要通過(guò)求解積分方程得到，對(duì)于波浪散射勢(shì)φs，選取Rankine源和它關(guān)于海底的鏡像作為格林函數(shù)：

(15)

式中：R=[(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2]1/2,R1=[(x-x0)2+(y-y0)2+(z+z0+2d)2]1/2,x0(x0,y0,z0) 和x(x,y,z)分別表示源點(diǎn)坐標(biāo)和場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)。

利用格林第二定理，可以得到關(guān)于計(jì)算域邊界上速度勢(shì)的邊界積分方程：

(16)

邊界S包括淹沒(méi)于水中的物體表面SB和從物體到阻尼層外邊界的有限靜水面SF。

而對(duì)于定常擾動(dòng)的單位速度勢(shì)φc，同樣可以利用格林第二定理建立物體表面的積分方程來(lái)計(jì)算其物面上的速度勢(shì)。

(17)

自由水面各點(diǎn)的速度勢(shì)φc同樣通過(guò)式(17)求得，固角系數(shù)選取為1.0。在式(17)中，格林函數(shù)為

(18)

其中:

(19)

通過(guò)積分方程求出速度勢(shì)函數(shù)以后，作用在瞬時(shí)物體濕表面上的壓力可以通過(guò)Taylor級(jí)數(shù)展開變換到低頻平均物體表面上來(lái)表示。按照ε進(jìn)行分離，力的分量可以按照不同的階數(shù)分解為：

(20)

一階項(xiàng)波浪力的具體表達(dá)式為:

(21)

(22)

二階項(xiàng)可以表達(dá)為

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

1.4低頻平均位置計(jì)算

根據(jù)動(dòng)量守恒定理，可以分別得到浮體一階和二階運(yùn)動(dòng)方程

(28)

(29)

式中：[M]為質(zhì)量矩陣,[B]為粘性阻尼矩陣,[C]為恢復(fù)力矩陣,xc=(xc,yc,zc)是物體的質(zhì)心。E的表達(dá)式為:

(30)

為了得到更準(zhǔn)確的描述浮體大幅慢漂運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，本文提出的兩次展開方法中的第一次展開需要在每一時(shí)刻的平均位置進(jìn)行。為此，平均位置的獲得在本方法中顯得至關(guān)重要。根據(jù)模擬得到的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的時(shí)間序列，使用小波變換方法找到其平均位置[18]。

結(jié)構(gòu)物在大地坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的時(shí)間序列為χ(nΔt)=(χ1,χ2)，小波函數(shù)為Ψ0(η)。計(jì)算在縱蕩和橫蕩兩個(gè)方向分別進(jìn)行，取任意一個(gè)方向?yàn)槔?，?duì)于離散序列的連續(xù)小波變換可以定義為具有某一尺度的χ(nΔt)和Ψ0(η)轉(zhuǎn)換形式的卷積

(31)

(32)

為了和連續(xù)小波變換近似，式(31)需要對(duì)任意一個(gè)尺度做N次卷積，其中N為時(shí)間序列點(diǎn)的個(gè)數(shù)。通過(guò)卷積定理，上式可轉(zhuǎn)換為χ(t)和ψ*傅里葉變換乘積的逆傅里葉變換：

(33)

(34)

再對(duì)連續(xù)小波變換進(jìn)行逆變換，即可得到原始的時(shí)間序列

(35)

式中:Cδ為重構(gòu)系數(shù)，為0.776;ψ0(0)為π-1/4。上述部分為兩次展開方法中的第二次展開，通過(guò)這次數(shù)值展開求得低頻平均位置，以此作為下一步計(jì)算的攝動(dòng)展開和泰勒級(jí)數(shù)展開的平均位置。

由于物體表面網(wǎng)格和自由水面網(wǎng)格跟隨物體一起做水平慢漂運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體和水面網(wǎng)格移動(dòng)到新位置時(shí)，當(dāng)前位置的自由水面的速度勢(shì)和波面高度需要依據(jù)前一時(shí)刻的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，因?yàn)榫W(wǎng)格整體平移，不存在網(wǎng)格變形和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改變，本文采用泰勒展開的方法對(duì)當(dāng)前網(wǎng)格上的速度勢(shì)和波面高度進(jìn)行插值計(jì)算。

(36)

式中：f表示自由水面各節(jié)點(diǎn)的散射勢(shì)φs和波面高度ηs。當(dāng)波浪非線性較強(qiáng)的時(shí)候，水線上的點(diǎn)由于波面變化較大而不利于數(shù)值穩(wěn)定，本文利用五點(diǎn)光滑法對(duì)節(jié)點(diǎn)的波面和速度勢(shì)進(jìn)行光滑。

2 算例分析與討論

應(yīng)用兩次展開方法，本文計(jì)算了截?cái)鄨A柱在雙色波作用下的大幅慢漂運(yùn)動(dòng)。計(jì)算結(jié)果與基于初始平衡位置的攝動(dòng)展開方法進(jìn)行比較，后文稱之為直接展開法。文章中選取雙色波的差頻與系統(tǒng)的自振頻率較為接近，以激發(fā)圓柱大幅慢漂運(yùn)動(dòng)。

圓柱半徑a=1.0 m，吃水T=2.5 m，計(jì)算水深H=10.0 m。結(jié)構(gòu)只在水平方向施加k11=1 300 N/m的線剛度，此時(shí)結(jié)構(gòu)在水平方向的自振頻率ω0約為0.3 rad/s。而對(duì)于這一系列雙色波，波幅均為0.2 m，角頻率的和頻為6.0 rad/s，沿著x軸正向傳播，不同之處是每組波浪的差頻不同，具體參數(shù)如表 1所示。

表 1 雙色波參數(shù)Tab.1 Parameters of bichromatic waves

對(duì)不同Δω下的二階運(yùn)動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行傅里葉變換得到不同波浪差頻下的二階運(yùn)動(dòng)響應(yīng)幅值譜，如圖 2所示，選取其中幾個(gè)工況下的二階運(yùn)動(dòng)響應(yīng)對(duì)比分別展示結(jié)果，圖 3為Δω=0.20 和0.25 rad/s時(shí)二階運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的對(duì)比，圖 4為Δω=0.35 和0.40 rad/s時(shí)二階運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的對(duì)比。

圖 2 不同Δω下二階縱蕩響應(yīng)傅里葉變換的幅值Fig.2 Fourier transform amplitude of second order surge motion under different Δω

從圖 2的結(jié)果可以看出，直接展開方法得到二階運(yùn)動(dòng)響應(yīng)幅值在結(jié)構(gòu)自振頻率附近達(dá)到最大值，而兩次展開方法計(jì)算出的二階運(yùn)動(dòng)響應(yīng)幅值在小于ω0處達(dá)到最大。同時(shí)，兩次展開方法計(jì)算出的峰值也小于直接展開方法的峰值。發(fā)生這種情況的原因是在兩次展開法計(jì)算中考慮了物體大幅慢漂運(yùn)動(dòng)，結(jié)果中包含了波浪漂移阻尼這一項(xiàng)，而這一阻尼項(xiàng)十分重要，無(wú)法從直接展開中計(jì)算得到。因?yàn)椴ɡ似谱枘岬拇嬖诓粌H影響了結(jié)構(gòu)的自振頻率，同時(shí)影響了運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的幅值，因此在兩次展開法中，結(jié)構(gòu)雙色波差頻在小于ω0的情況下發(fā)生最顯著的共振現(xiàn)象。

相應(yīng)地，系統(tǒng)自振頻率的變化影響了不同雙色波差頻情況下結(jié)構(gòu)物的二階運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。當(dāng)雙色波差頻較小時(shí)，如圖 3所示，即Δω為0.20和0.25 rad/s，比較接近兩次展開法得到的系統(tǒng)自振頻率，故兩次展開法可以計(jì)算出更大的二階運(yùn)動(dòng)響應(yīng)；同理，當(dāng)雙色波差頻較大時(shí)，如圖 4所示，即Δω為0.35和0.40 rad/s，與直接展開法的系統(tǒng)自振頻率接近，故二次展開法計(jì)算得到的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)結(jié)果偏小。因此，當(dāng)結(jié)構(gòu)物發(fā)生大幅慢漂運(yùn)動(dòng)時(shí)，若仍采用直接展開方法計(jì)算結(jié)構(gòu)物的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)和收到的波浪力，會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。

圖 3 二階縱蕩運(yùn)動(dòng)響應(yīng)對(duì)比的時(shí)間歷程線Fig.3 Time histories of second-order surge displacement

圖 4 二階運(yùn)動(dòng)響應(yīng)對(duì)比的時(shí)間歷程線Fig.4 Time histories of second-order surge displacement

3 結(jié) 語(yǔ)

本文采用兩次展開的方法來(lái)求解非線性波浪作用下結(jié)構(gòu)物慢漂運(yùn)動(dòng)。在兩次展開方法中，物體運(yùn)動(dòng)由低頻慢漂運(yùn)動(dòng)和波頻振蕩運(yùn)動(dòng)組成。速度勢(shì)分解成波浪引起的一階、二階速度勢(shì)和物體低頻運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的零階速度勢(shì)。波浪引起的各分量根據(jù)波陡進(jìn)行攝動(dòng)展開，而物面邊界條件和水面邊界條件在低頻運(yùn)動(dòng)的平均物面和靜水面上采用泰勒級(jí)數(shù)展開求得，分別建立積分方程來(lái)求解波浪的散射勢(shì)和物體低頻運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的速度勢(shì)。初始條件采用二階Stokes波浪場(chǎng)，自由水面條件的時(shí)間積分采用四階預(yù)報(bào)校正的方法，浮體的運(yùn)動(dòng)方程求解采用Newmark-β法。求得運(yùn)動(dòng)響應(yīng)結(jié)果后使用小波變換的數(shù)值方法再次展開得到下一時(shí)刻攝動(dòng)展開計(jì)算需要的平均位置。

采用本文提出的兩次展開方法計(jì)算結(jié)構(gòu)物在波浪中發(fā)生大幅運(yùn)動(dòng)時(shí)的波浪力和運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，計(jì)算結(jié)果與基于初始平衡平均位置的攝動(dòng)展開方法相比有較大區(qū)別。文章計(jì)算了雙色波與截?cái)鄨A柱的耦合作用，比較了兩種方法計(jì)算產(chǎn)生的二階運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，從結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)兩次展開方法考慮了攝動(dòng)展開位置隨著低頻運(yùn)動(dòng)的變化，計(jì)算結(jié)果中包括了波浪慢漂阻尼的部分，使得結(jié)構(gòu)的自振頻率向低頻偏移，結(jié)構(gòu)的最大響應(yīng)峰值也低于基于初始平衡位置的直接展開方法的結(jié)果。通過(guò)波浪與結(jié)構(gòu)物的耦合作用計(jì)算，發(fā)現(xiàn)兩次展開方法不僅可以計(jì)算出波浪的結(jié)構(gòu)物遭遇頻率的變化，還可以計(jì)算出物體大幅慢漂運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的波浪漂移阻尼部分。因此，本位提出的兩次展開方法，可以用于深海中平臺(tái)在大幅慢漂問(wèn)題的時(shí)域計(jì)算。

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Large drift motion of mooring cylinder by applying twice expansion method

JIN Ruijia,TENG Bin,LYU Lin

(State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

P751

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2016.05.002

1005-9865(2016)05-0011-09

2015-09-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51379032,51490672)；國(guó)家973資助項(xiàng)目(2011CB013703)

金瑞佳(1987-)，男，江蘇武進(jìn)人，博士研究生，主要從事波浪對(duì)海上建筑物作用研究。E-mail ：492472669@qq.com