尹峻松，王曉明，張新強(qiáng)，王春江

(中國電子設(shè)備系統(tǒng)工程公司研究所，北京 100141)

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基于譜分析的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)脆弱節(jié)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)算法

尹峻松，王曉明，張新強(qiáng)，王春江

(中國電子設(shè)備系統(tǒng)工程公司研究所，北京 100141)

未來以網(wǎng)絡(luò)為中心的信息化戰(zhàn)爭，節(jié)點(diǎn)打擊、毀點(diǎn)癱面成為攻擊敵方信息網(wǎng)絡(luò)、奪取信息優(yōu)勢的重要手段。針對尋找敵方網(wǎng)絡(luò)弱點(diǎn)進(jìn)行攻擊、提升我方體系抗毀能力拒止攻擊等問題，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溥B接矩陣的基礎(chǔ)上，引入Laplacian譜分析方法，提出拓?fù)溥B接度概念，通過計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)的拓?fù)溥B接度，發(fā)現(xiàn)脆弱節(jié)點(diǎn)并給出脆弱性排序，為信息網(wǎng)絡(luò)的健壯性與抗毀性研究提供了一種有效的全新思路。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；社團(tuán)結(jié)構(gòu)；Laplacian譜分析；脆弱節(jié)點(diǎn)

0　引言

隨著軍隊(duì)信息化建設(shè)的推進(jìn)，軍隊(duì)對于各類信息基礎(chǔ)設(shè)施的依賴性也在不斷提高，節(jié)點(diǎn)打擊逐漸成為軍事打擊行動中最有效的攻擊方式，能夠以最小的代價(jià)破壞敵方的電力網(wǎng)、交通網(wǎng)、通信網(wǎng)、金融網(wǎng)和后勤保障網(wǎng)等網(wǎng)絡(luò)鏈路的關(guān)鍵樞紐，使敵方指揮與行動受限，為戰(zhàn)爭的最后勝利奠定基礎(chǔ)。相對于日常通信、運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，軍用網(wǎng)絡(luò)更強(qiáng)調(diào)在惡劣環(huán)境以及節(jié)點(diǎn)打擊下的抗毀能力，因?yàn)檐娛戮W(wǎng)絡(luò)面對的主要是有目的性的攻擊而不是隨機(jī)攻擊。因此，如何選擇敵方網(wǎng)絡(luò)中的脆弱節(jié)點(diǎn)進(jìn)行打擊，以及對基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)如何優(yōu)化、重點(diǎn)防護(hù)，提高網(wǎng)絡(luò)的健壯性與抗毀性，是奪取信息優(yōu)勢亟需解決的重要課題[1]。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是一種典型的基于圖的數(shù)據(jù)挖掘方法(Graph-based mining)，將數(shù)據(jù)對象抽象為節(jié)點(diǎn)，將對象間的關(guān)系抽象為邊[2]。其骨干網(wǎng)抽取有一定研究，可以為提高網(wǎng)絡(luò)的抗毀性提供依據(jù)，但對脆弱節(jié)點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)因比較困難，目前研究較少。

本文基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，引入Laplacian譜圖理論，通過計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的拓?fù)溥B接度并排序，提出了網(wǎng)絡(luò)脆弱節(jié)點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)算法，通過對空手道俱樂部網(wǎng)絡(luò)、寬吻海豚網(wǎng)絡(luò)、亞馬遜圖書銷售網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本算法可以直觀、準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的脆弱節(jié)點(diǎn)。

1　基本概念

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)扮演著一定的角色，稱之為成員，成員之間具有異質(zhì)性和局部影響差異性，表現(xiàn)為抱團(tuán)特性[3]，即整個(gè)網(wǎng)絡(luò)是由若干“群(group)”或“團(tuán)(cluster)”構(gòu)成，每個(gè)社團(tuán)內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)之間連接相對緊密，而社團(tuán)之間的連接相對比較稀疏，如圖1所示。圖中包含4個(gè)社團(tuán)，分別對應(yīng)不同顏色的劃分區(qū)域。在社團(tuán)內(nèi)部，節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系非常緊密，而社團(tuán)之間的聯(lián)系就稀疏得多。

圖1　一個(gè)小型的具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)示意圖

在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分析中，一方面需要找出網(wǎng)絡(luò)的各個(gè)社團(tuán)，根據(jù)社團(tuán)劃分分析出各社團(tuán)的凝聚方式，這在協(xié)同推薦中非常必要，比如亞馬遜和淘寶網(wǎng)根據(jù)不同的社團(tuán)劃分推薦不同興趣的書籍和貨物，使讀者能夠更快地檢索到自己感興趣的物品。另一方面，我們也應(yīng)該注意社團(tuán)和社團(tuán)之間的橋接節(jié)點(diǎn)，或者兩個(gè)社團(tuán)的交疊節(jié)點(diǎn)[4]。這類節(jié)點(diǎn)離社團(tuán)的中心比較遠(yuǎn)，表面上看地位不是很重要，但卻是社團(tuán)和社團(tuán)之間連接的重要橋梁。這類節(jié)點(diǎn)一旦被破壞，將造成網(wǎng)絡(luò)中不同社區(qū)的孤立，形成非連通區(qū)域甚至網(wǎng)絡(luò)碎片。因此，對這類節(jié)點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)，在通信網(wǎng)絡(luò)的抗毀性分析中具有重要的意義。我們把這類節(jié)點(diǎn)稱為脆弱節(jié)點(diǎn)(Fragile Node)。

2　脆弱節(jié)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)算法

2.1Laplacian譜分析方法

設(shè)G=(V,E)是n階簡單連通圖，D(G)和W(G)分別表示圖G的度對角矩陣和鄰接矩陣，則L(G)=D(G)-W(G)稱為圖G的Laplacian矩陣。

基于譜圖理論，構(gòu)造相應(yīng)嵌入空間目標(biāo)函數(shù)為：

(1)

式中，權(quán)值矩陣Wij采用Wij=exp(-‖xi-xj‖2/t)，t∈R的核函數(shù)，在滿足低維結(jié)構(gòu)對域的約束yTDy=1(D為對角矩陣，Dii=sumjWij)及防止網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)收縮至單點(diǎn)的約束yTDI=0，最小化誤差方程可對應(yīng)于求解下式的最小特征向量：

Lf=λDf ，

(2)

式中，D為對角權(quán)矩陣，L=D-W即為Laplacian(對稱、半正定)矩陣。

可以證明式(2)近似對應(yīng)于Laplacian-Beltrami的特征向量求解[5]，因而可以反映復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)在該社區(qū)中的聯(lián)接強(qiáng)度。

2.2節(jié)點(diǎn)拓?fù)溥B接度計(jì)算

如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)由完全獨(dú)立的幾個(gè)社團(tuán)組成，即構(gòu)成他的g個(gè)社團(tuán)之間不存在邊，只有社團(tuán)內(nèi)部才存在邊，那么該網(wǎng)絡(luò)的Laplacian矩陣L就是一個(gè)分成g塊的對角矩陣，其中，每一塊的對角矩陣就對應(yīng)著一個(gè)社團(tuán)。顯然，該對角矩陣有一個(gè)(最小)特征值0，對應(yīng)特征值0有g(shù)個(gè)退化的特征向量，從而將網(wǎng)絡(luò)劃分為g個(gè)社區(qū)。

如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)具有較明顯的社團(tuán)結(jié)構(gòu)，但這些社團(tuán)之間并不是完全獨(dú)立，即構(gòu)成他的g個(gè)社團(tuán)并不是完全分離，而是通過少數(shù)的幾條邊連接，那么Laplacian矩陣就不是g塊的對角陣了。此時(shí)，對應(yīng)特征值0就只有一個(gè)特征向量l。但在0附近還有g(shù)-1個(gè)比0稍大一點(diǎn)的特征值，這些特征值對應(yīng)的特征向量大致可以看作是每個(gè)社團(tuán)對應(yīng)特征向量的線性組合。因此，可以根據(jù)次小的g-1個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量來劃分g個(gè)社區(qū)。

還有一種特殊情況，即網(wǎng)絡(luò)中僅有2個(gè)社團(tuán)，也就是說該網(wǎng)絡(luò)的Laplacian矩陣L對應(yīng)2個(gè)近似對角矩陣塊。我們知道，對一個(gè)實(shí)對稱矩陣來說，他的非奇異特征值對應(yīng)的特征向量總是正交的。因此，除最小特征值0以外，矩陣L的其他特征值對應(yīng)的特征向量總是包含正、負(fù)兩種元素。這樣，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)由2個(gè)社團(tuán)構(gòu)成時(shí)，就可以根據(jù)非零特征值對應(yīng)的特征向量中各元素對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分類，其中，所有正元素對應(yīng)的那些節(jié)點(diǎn)屬于一個(gè)社團(tuán)，所有負(fù)元素對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)屬于另一個(gè)社團(tuán)。

這里，次小的特征值就是該網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)連接度，其對應(yīng)的特征向量的絕對值就稱為該網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)的代數(shù)連接度或拓?fù)溥B接度。

2.3基于拓?fù)溥B接度的脆弱節(jié)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)

借鑒流形學(xué)習(xí)中Laplacian特征映射算法的思想[6]，構(gòu)建基于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞腖aplacian矩陣L=D-W，D為對角矩陣，對角元素為每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度，W是對稱矩陣，各元素為網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)之間的拓?fù)溥B接，如W(1,5)的值即為節(jié)點(diǎn)5對節(jié)點(diǎn)1的拓?fù)溥B接，有連接為1、無連接為0(簡單地說，W矩陣即為網(wǎng)絡(luò)連接矩陣)。對Laplacian矩陣計(jì)算特征值，得到節(jié)點(diǎn)的拓?fù)溥B接度(即次小特征值對應(yīng)的特征向量的絕對值)。對拓?fù)溥B接度進(jìn)行排序，勢值小的節(jié)點(diǎn)即為該網(wǎng)絡(luò)的脆弱節(jié)點(diǎn)。其核心算法流程如下：

脆弱節(jié)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)算法流程

Step 1:構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)拓?fù)銵aplacian矩陣L=D-W，D為對角線元素是各節(jié)點(diǎn)度值的對角陣，W為網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)之間的拓?fù)溥B接構(gòu)成的矩陣。

Step 2:計(jì)算拓?fù)溥B接度(即矩陣L的次小特征值對應(yīng)的特征向量)并排序，最小的前N項(xiàng)對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)即為脆弱節(jié)點(diǎn)。

本算法復(fù)雜度較低，比復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析中常用的GN算法、K-L算法要低很多(GN算法最差情況下的時(shí)間復(fù)雜度為O(m2n)，其中m、n為網(wǎng)絡(luò)的邊數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù))。一般情況下，計(jì)算一個(gè)n×n矩陣的全部特征向量計(jì)算復(fù)雜度為O(n3)。但在大多數(shù)情況下，實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的Laplacian矩陣是一個(gè)稀疏矩陣，因此，可采用Lanczos方法快速計(jì)算特征向量和特征值[7]。該方法的計(jì)算復(fù)雜度大致為m/(λ3-λ2)，其中λ3和λ2分別是第三小和第二小的特征值，而m則表示網(wǎng)絡(luò)中邊的條數(shù)。由此可見，計(jì)算速度會得到很大程度的提高。

也可以對Laplacian矩陣進(jìn)行拓展，引入拓?fù)鋭莸挠?jì)算方法[8]，將對角矩陣D中對角元素表示為每個(gè)節(jié)點(diǎn)的拓?fù)鋭?，將對稱矩陣W的各元素表示為該節(jié)點(diǎn)的拓?fù)鋭葜?，則矩陣L中的元素就不是簡單的拓?fù)渚嚯x，而是代表局域影響特征的拓?fù)鋭莸闹?。?jì)算得到的結(jié)果將更能反映節(jié)點(diǎn)在局部區(qū)域(社團(tuán))中的重要性。

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

3.1實(shí)驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)描述

(1) Zachary空手道俱樂部網(wǎng)絡(luò)

Wayne Zachary從1970～1972年觀察美國一所大學(xué)空手道俱樂部成員間的社會關(guān)系，構(gòu)造其成員關(guān)系網(wǎng)[9]，如圖2所示。節(jié)點(diǎn)表示成員，節(jié)點(diǎn)間的連接表示2個(gè)成員經(jīng)常一起出現(xiàn)在俱樂部活動之外的其他場合。因俱樂部主管John A.(節(jié)點(diǎn)1)與教練Mr.Hi(節(jié)點(diǎn)34)之間的爭執(zhí)而分裂成2個(gè)各自為核心的小俱樂部。網(wǎng)絡(luò)包含34個(gè)節(jié)點(diǎn)，78條邊。

(2) 寬吻海豚網(wǎng)絡(luò)

D.Lusseau等人對棲息在新西蘭Doubtful Sound峽灣的一個(gè)寬吻海豚群體進(jìn)行長達(dá)7年的觀察，構(gòu)造海豚關(guān)系網(wǎng)[10]，如圖3所示。網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)個(gè)海豚，邊表示2個(gè)海豚之間接觸頻繁，網(wǎng)絡(luò)共有62個(gè)節(jié)點(diǎn)159條邊。

圖2　Zarchy俱樂部關(guān)系圖

圖3　Dolphin寬吻海豚家族關(guān)系網(wǎng)絡(luò)

(3) 亞馬遜圖書銷售網(wǎng)絡(luò)

亞馬遜圖書銷售網(wǎng)絡(luò)由105個(gè)節(jié)點(diǎn)441條邊組成[11]，其中節(jié)點(diǎn)為各類書籍名稱，邊為一個(gè)人如果同時(shí)購買2本書，則2本書之間有一條邊。Mark Newman根據(jù)節(jié)點(diǎn)的類型，以及Amazon網(wǎng)站購買者的評論，將節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為“自由派”、“中立派”和“保守派”三類。其中49本書被標(biāo)記為“保守派”，43本書被標(biāo)記為“自由派”，13本書被標(biāo)記為“中立”。

3.2相關(guān)算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在Zarchary俱樂部球員的關(guān)系聯(lián)接圖中，節(jié)點(diǎn)1是俱樂部主管(校長)，節(jié)點(diǎn)34是俱樂部教練。那么節(jié)點(diǎn)3扮演什么角色呢？我們查閱了一些相關(guān)文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)學(xué)院章祥蓀[12]和Amaral實(shí)驗(yàn)室Andrea Lancichinetti等[13]也對這一問題給出了他們的解答。章祥蓀等給出的結(jié)果是節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)9、10、31分別是3個(gè)社區(qū)的交疊節(jié)點(diǎn)，屬于脆弱節(jié)點(diǎn)，如圖4所示。Andrea Lancichinetti等提出了多級結(jié)構(gòu)分析方法，在對Zarchary網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析時(shí)給出的結(jié)果顯示，分屬于校長社團(tuán)的節(jié)點(diǎn)14和分屬于俱樂部教練社團(tuán)的節(jié)點(diǎn)3、9、10、31是2個(gè)社區(qū)的交疊部分，屬于脆弱節(jié)點(diǎn)，如圖5所示。

圖4　中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)學(xué)院章祥蓀等給出的脆弱節(jié)點(diǎn)角色發(fā)現(xiàn)結(jié)果

圖5　多級結(jié)構(gòu)分析方法對Zarchary網(wǎng)絡(luò)的脆弱節(jié)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)

3.3基于拓?fù)溥B接度的脆弱節(jié)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)中，分別對Zachary俱樂部網(wǎng)絡(luò)、海豚網(wǎng)和亞馬遜政治書銷售網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了脆弱節(jié)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)。

在Zarchary網(wǎng)絡(luò)中，可以得到節(jié)點(diǎn)3、14、20屬于2個(gè)社團(tuán)的橋接節(jié)點(diǎn)(脆弱節(jié)點(diǎn))，如圖6所示。其中節(jié)點(diǎn)14與Andrea Lancichinetti的結(jié)果一致，節(jié)點(diǎn)8與節(jié)點(diǎn)20前面的分析方法均未能得到。節(jié)點(diǎn)3與兩個(gè)社團(tuán)的多個(gè)節(jié)點(diǎn)均有聯(lián)接，屬于周旋于2個(gè)社團(tuán)的游離人士，屬于典型的脆弱節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)20同時(shí)聯(lián)接節(jié)點(diǎn)1(校長)和節(jié)點(diǎn)34(俱樂部教練)，與兩個(gè)社團(tuán)其他節(jié)點(diǎn)基本不聯(lián)系，是傳遞兩個(gè)社團(tuán)核心節(jié)點(diǎn)之間消息的秘書節(jié)點(diǎn)，也屬于脆弱節(jié)點(diǎn)。另一方面，如果將這3個(gè)節(jié)點(diǎn)移走，2個(gè)社團(tuán)將出現(xiàn)明顯的分裂，僅有3條聯(lián)接，而前述算法均超過這一數(shù)量(或移走的節(jié)點(diǎn)數(shù)量過多)。因此，本算法給出的結(jié)果是正確的。

圖7是對亞馬遜書店政治書銷售網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行算法分析結(jié)構(gòu)，可以看出節(jié)點(diǎn)5、8、50、52四個(gè)節(jié)點(diǎn)為脆弱節(jié)點(diǎn)。查閱這4個(gè)節(jié)點(diǎn)后發(fā)現(xiàn)，他們是圣經(jīng)、炒股類書籍，屬于經(jīng)濟(jì)、信仰和自然科學(xué)類，均不屬于2個(gè)陣營，卻為2個(gè)陣營共同購買。本算法獲得結(jié)果與事實(shí)相符。

本文對Dolphines網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了分析，并給出了拓?fù)溥B接度的熱力圖，如圖8所示?？梢钥闯龉?jié)點(diǎn)8、29、31、37的顏色最深，其拓?fù)溥B接度最低。因此，這4個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)該屬于2個(gè)社團(tuán)的脆弱節(jié)點(diǎn)。其網(wǎng)絡(luò)聯(lián)接如圖所示，如果移除這4個(gè)節(jié)點(diǎn)，Dolphines網(wǎng)絡(luò)將會分裂為2個(gè)獨(dú)立的網(wǎng)絡(luò)。

圖6　Zarchary網(wǎng)絡(luò)脆弱節(jié)點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)

圖7　亞馬遜書店政治書銷售網(wǎng)絡(luò)脆弱節(jié)點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)

圖8　Dolphines網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溥B接度熱力圖

4　結(jié)束語

針對有目標(biāo)性的網(wǎng)絡(luò)攻擊，本文提出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的脆弱節(jié)點(diǎn)概念，創(chuàng)新性地引入Laplacian譜圖理論，通過計(jì)算拓?fù)溥B接度并進(jìn)行排序，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中社團(tuán)之間的關(guān)鍵橋接節(jié)點(diǎn)，為通信網(wǎng)絡(luò)的抗毀性與魯棒性研究提供了一種全新的思路。

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Novel Fragile Nodes Detection Algorithm for Complex Network Based on Laplacian Spectrum Analysis

YIN Jun-song,WANG Xiao-ming,ZHANG Xin-qiang,WANG Chun-jiang

(Chinese Institute of Electronic and SystemEngineering,Beijing 100141,China)

In the future net-centric information warfare,the node attack and cascading failure become important means for striking enemy information network,and seizing information superiority.In order to optimize the information infrastructure connection topologies,and enhance the network robustness and survivability,based on complex network topology connection matrix,the Laplacian spectrogram theory is introduced,and a novel fragile nodes detection algorithm for communication network is proposed,providing an effective brand-new thought of studying the robustness and invulnerability of information network.

complex network;community structure;Laplacian spectrum analysis;fragile node

10.3969/j.issn.1003-3114.2015.04.18

引用格式：尹峻松，王曉明，張新強(qiáng)，等.基于譜分析的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)脆弱節(jié)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)算法[J].無線電通信技術(shù),2016,42(5):48-52.

2016-06-03

尹峻松(1978—)，男，博士，副研究員，主要研究方向：軍事通信、指揮自動化、人工智能和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。王曉明(1978—)，男，碩士，工程師，主要研究方向：軍事通信、指揮自動化、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。

TN915.08

A

1003-3114(2016)05-48-5