季　超，楊曉東，王　煒

(海軍潛艇學(xué)院，山東 青島 266199)

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圖像橢圓扁度不變性及其在仿射不變量構(gòu)造中的應(yīng)用

季超*，楊曉東，王煒

(海軍潛艇學(xué)院，山東 青島 266199)

針對(duì)傳統(tǒng)基于面積比不變的仿射不變量方法具有的特征點(diǎn)選取不穩(wěn)定且有冗余以及區(qū)域面積誤差累積等特點(diǎn)，提出了一種基于圖像橢圓扁度劃分策略的仿射不變量構(gòu)造方法。介紹了圖像仿射變換模型，得到了圖像仿射近似條件。結(jié)合圖像橢圓扁率定義，依據(jù)不變矩理論證明了仿射變換下圖像扁率的不變性。給出了圖像扁度的定義及其物理含義，并以此作為圖像同心圓劃分依據(jù)，選取三階以下仿射不變矩作為圖像特征量，通過計(jì)算各同心圓區(qū)域的仿射不變量描述圖像目標(biāo)。將提出的方法應(yīng)用于實(shí)際艦船圖像并結(jié)合離散系數(shù)對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。結(jié)果表明：同一艦船目標(biāo)各種仿射變換圖像計(jì)算所得扁度相同，所在劃分特征圓區(qū)域仿射不變量離散系數(shù)最大為1.55%。得到的結(jié)果顯示該方法對(duì)目標(biāo)圖像的特征區(qū)域劃分具有唯一性，構(gòu)造的仿射不變特征穩(wěn)定性較好。

圖像橢圓扁度；仿射不變量；圖像特征；圖像識(shí)別

*Correspondingauthor,E-mail:jichao200611@163.com

1　引　言

仿射不變量不受形狀采集視點(diǎn)變化和相機(jī)內(nèi)外參數(shù)的影響，與其它形狀特征量相比，在特征穩(wěn)健性、區(qū)分度和適用范圍等方面具有很大優(yōu)勢(shì)[1]。根據(jù)仿射幾何理論不變性質(zhì)知，仿射變換前后兩對(duì)應(yīng)封閉區(qū)域面積比為常數(shù)，此性質(zhì)被廣泛應(yīng)用于仿射不變量的構(gòu)造。目前基于面積比不變的仿射不變量構(gòu)造方法主要分為兩類：一是基于特征區(qū)域構(gòu)造面積比不變量；二是基于特征點(diǎn)集構(gòu)造面積比不變量。

文獻(xiàn)[2]通過對(duì)二值圖像在空間上進(jìn)行劃分，以對(duì)象在每個(gè)環(huán)內(nèi)的分布為特征，將前景對(duì)象面積與背景面積之比作為不變特征描述子，當(dāng)待識(shí)別對(duì)象存在一定變形時(shí)，該描述符可較好地完成匹配，且具有一定的魯棒性。文獻(xiàn)[3]以物體質(zhì)心為圓心，利用每個(gè)圓內(nèi)質(zhì)量(面積)與物體總質(zhì)量(面積)之比構(gòu)造特征量，該特征量具有平移、旋轉(zhuǎn)、尺度以及反射不變性。文獻(xiàn)[4]先計(jì)算圖像的協(xié)方差矩陣，通過計(jì)算該矩陣的特征值和特征向量構(gòu)造出一組同心橢圓，再利用同心橢圓面積比構(gòu)造一組仿射不變量。上述基于特征區(qū)域構(gòu)造面積比不變量的方法都是通過選擇特殊區(qū)域如圓環(huán)、同心圓或者同心橢圓作為特征區(qū)域，構(gòu)造閉合區(qū)域面積比的，本質(zhì)上都是利用不變矩理論中的零階矩比值。

Yang提出了一種凸包仿射不變量構(gòu)造方法，將相鄰點(diǎn)構(gòu)造的三角形面積比作為仿射不變量[5]；Zhang等對(duì)圖像的紋理基元和仿射變換后圖像進(jìn)行自適應(yīng)分割，將封閉區(qū)域兩兩組合然后相除，構(gòu)造面積比值的仿射不變量[6]；陳濤等提出了擴(kuò)展質(zhì)心概念和仿射區(qū)域劃分方法，通過一系列擴(kuò)展質(zhì)心點(diǎn)序列圍成的三角形面積比構(gòu)造仿射不變量[7]。上述基于特征點(diǎn)集構(gòu)造面積比不變量的方法存在特征點(diǎn)選取不穩(wěn)定且有冗余、區(qū)域面積誤差累積等缺點(diǎn)，從而使得特征量不穩(wěn)定。

在此基礎(chǔ)上，本文提出一種基于圖像橢圓扁度劃分策略的仿射不變量構(gòu)造方法，文中從理論上證明了圖像橢圓扁率的不變性，給出了圖像橢圓扁度的定義及其物理含義，得到了基于圖像橢圓扁度的劃分策略。該方法對(duì)目標(biāo)圖像的特征區(qū)域劃分具有唯一性，構(gòu)造的仿射不變特征具有較好的穩(wěn)定性。

2　仿射變換及其近似條件

相機(jī)的成像過程是目標(biāo)從三維空間到二維平面投影變換的過程，通過對(duì)目標(biāo)成像模型的研究表明[8]，當(dāng)三維目標(biāo)的深度變化相對(duì)于相機(jī)距離很小時(shí)，所獲取形狀之間滿足仿射變換關(guān)系。設(shè)圖像為f(x,y)，則其仿射變換定義為：

(1)

其中(x,y)為圖像上任意一點(diǎn)，(xT,yT)為其仿射變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。仿射變換包括平移、旋轉(zhuǎn)、縮放及反射變換。

圖像經(jīng)仿射變換后保持不變的量，稱為圖像的仿射不變量。在仿射幾何中，仿射變換前后對(duì)應(yīng)兩封閉區(qū)域面積比為常數(shù)，此性質(zhì)是仿射不變量構(gòu)造方法的基礎(chǔ)。故尋求特征區(qū)域是仿射不變量構(gòu)造的關(guān)鍵之一。

當(dāng)用兩個(gè)不同的相機(jī)，從不同的角度和距離獲取空間中同一個(gè)點(diǎn)的圖像時(shí)，推導(dǎo)出兩幅圖像上像素坐標(biāo)之間的關(guān)系。令M為空間中一點(diǎn)，在C1、C2平面的像點(diǎn)分別為m1，m2，如圖1所示。

圖1　不同視點(diǎn)下圖像成像模型Fig.1　Imaging model under different viewpoints

為簡(jiǎn)化計(jì)算，假定世界坐標(biāo)系與攝像機(jī)1的相機(jī)坐標(biāo)系重合，則物點(diǎn)M與其像點(diǎn)m1在世界坐標(biāo)系和圖像像素坐標(biāo)系中的關(guān)系為：

(2)

物點(diǎn)M與其像點(diǎn)m2在世界坐標(biāo)系和圖像像素坐標(biāo)系中的關(guān)系為：

(3)

聯(lián)立公式(2)和(3)，消去世界坐標(biāo)(Xw,Yw,Zw)T，可得兩個(gè)像點(diǎn)的像素坐標(biāo)存在如下關(guān)系：

(4)

(5)

[α,β,u0,v0]是相機(jī)的內(nèi)參數(shù)，只要相機(jī)選定，參數(shù)則固定不變，這組參數(shù)為絕對(duì)不變量。[R t]是相機(jī)的外參數(shù)，但只要兩臺(tái)相機(jī)拍攝的視角和位置固定，參數(shù)也固定不變，這組參數(shù)為相對(duì)不變量。

k1=α2r1+u02r7,k2=α2r2+u02r8,k3=α2r3+u02r9,k4=α2tx+u02tz,k5=β2r4+v02r7,k6=β2r2+v02r8,k7=β2r6+v02r9,k8=β2ty+v02tz。

寫成矩陣形式為：

(6)

(7)

(8)

由式(6)可知，空間中一點(diǎn)的兩個(gè)像點(diǎn)的圖像像素坐標(biāo)滿足仿射變換關(guān)系，但對(duì)于不同的空間點(diǎn)，Zc1/Zc2不相等，故不同空間點(diǎn)的兩個(gè)像點(diǎn)坐標(biāo)所遵守的仿射變換關(guān)系不一致，即用兩臺(tái)相機(jī)對(duì)空間目標(biāo)進(jìn)行成像時(shí)，所有的像點(diǎn)不能用同一仿射變換模型進(jìn)行描述。若加入一定的限制條件，使得Zc1/Zc2近似為常量，則該問題便解決。下面為得到的仿射近似的條件：

(1)對(duì)于平面目標(biāo)，若兩相機(jī)的光軸近似平行，則Zc1/Zc2近似為常數(shù)；

(2)對(duì)于三維空間中的目標(biāo)，若目標(biāo)深度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于它與攝像機(jī)之間的距離，Zc1/Zc2可以近似為常數(shù)；

(3)若目標(biāo)深度變化不可忽略，對(duì)于目標(biāo)的局部區(qū)域，仍可以用同一仿射變換模型來近似。

當(dāng)攝像機(jī)與艦船目標(biāo)的距離大于艦船深度變化的10倍以上時(shí)[8]，攝像機(jī)獲取的艦船圖像滿足仿射變換條件，本文便是研究仿射變換下圖像不變量計(jì)算。

3　基于圖像橢圓扁度劃分策略的仿射不變量

3.1圖像橢圓扁率及其不變性證明

記μ20、μ11和μ02表示圖像的3個(gè)二階中心矩，則圖像經(jīng)規(guī)范化后完全等同于一個(gè)具有確定尺寸、方向、離心率，并且中心位于圖像質(zhì)心的輻射度恒定的橢圓，如圖2所示，該圖像橢圓的兩個(gè)半長(zhǎng)軸p和q記為：

圖2　圖像橢圓Fig.2　Image ellipse

(9)

(10)

則扁率E定義為：E=p/q,

(11)

扁率E也稱為伸長(zhǎng)度(Elongation)，它在一定程度上描述了圖像區(qū)域的緊湊性。當(dāng)區(qū)域?yàn)閳A時(shí)E取得最小值1。

現(xiàn)有基于特征區(qū)域構(gòu)造仿射不變量的方法僅構(gòu)造一組同心圓或同心圓環(huán)，構(gòu)造規(guī)則簡(jiǎn)單且不具備唯一性，無法體現(xiàn)不同目標(biāo)圖像的差異。本文基于圖像橢圓扁率對(duì)圖像進(jìn)行劃分，能夠?qū)D像進(jìn)行全局和局部描述，構(gòu)造規(guī)則含義明確且具有唯一性，下面給出其不變性證明過程。

證明

圖像歸一化中心矩ηpq滿足

(12)

則由式(12)可得

(13)

(14)

根據(jù)Hu不變矩理論[9]可知

φ1=η20+η02,

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

φ1，φ2對(duì)于規(guī)范化圖像為不變量，因此E=p/q為不變量，只要圖像經(jīng)過規(guī)范化即可得到不變的扁率E。由于扁率在圖像經(jīng)過規(guī)范化后保持不變且唯一，故本文采用其構(gòu)造特征區(qū)域。

3.2基于圖像橢圓扁度的特征區(qū)域劃分

扁率的數(shù)值可能不為整數(shù)，不能確定構(gòu)造特征區(qū)域具體劃分?jǐn)?shù)目，為此本文給出圖像橢圓扁度的定義。

扁度：定義 令sc=round(p/q)

(20)

sc稱為圖像橢圓的扁度，其中round表示取整操作，扁度為圖像橢圓扁率取整所得數(shù)值，其表示圖像形狀的緊湊性及圓整度。

以圖像f的質(zhì)心為圓心，選取圖像橢圓短半軸長(zhǎng)度q為半徑，以c1q，c2q，…，cnq(1≤cn≤sc)為半徑的一系列同心圓作為特征區(qū)域。需要說明的是sc也將作為特征量表征圖像。同心圓構(gòu)造示意圖如圖3所示。

圖3　同心圓構(gòu)造示意圖Fig.3　Diagram of concentric circles construction

3.3圖像仿射不變量描述子

Hu矩于1962年提出之后被廣泛應(yīng)用，90年代后期波蘭的Flusser給出了二維仿射變換下的不變量，得到4個(gè)不變矩用于識(shí)別仿射變形的物體[1,8]。然而高階矩易受噪聲干擾、穩(wěn)健性差。故本文選取三階以下矩構(gòu)成的3個(gè)仿射不變矩作為仿射不變量。

(21)

3.4算法流程

為了衡量所構(gòu)造仿射不變量的穩(wěn)定性，本文采用離散系數(shù)來表征數(shù)據(jù)平均指標(biāo)。

離散系數(shù)又稱變異系數(shù)，是衡量不同數(shù)據(jù)集中觀測(cè)值變異程度的統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)兩個(gè)或者多個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較時(shí)，若度量單位與均值相同，可直接利用標(biāo)準(zhǔn)差比較；若度量單位或均值不同時(shí)，則不可以用標(biāo)準(zhǔn)差描述其變異程度，此時(shí)需采用標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值來比較，定義為離散系數(shù)，其計(jì)算公式如下：

(22)

圖4　算法流程圖Fig.4　Algorithm flow chart

本文算法具體操作步驟如下：

步驟1.圖像二值化處理。利用自適應(yīng)閾值分割方法[10]將目標(biāo)圖像變?yōu)槎祷瘓D像。

步驟2.圖像規(guī)范化。為了消除目標(biāo)圖像在各種幾何變換下的影響，采用基于協(xié)方差矩陣方法將圖像規(guī)范化[8]。

步驟3.特征區(qū)域劃分。根據(jù)式(19)計(jì)算圖像橢圓的扁率，求其扁度，根據(jù)圖像橢圓扁度構(gòu)造同心圓區(qū)域。

步驟4.仿射不變量計(jì)算。根據(jù)式(21)計(jì)算圖像各同心圓區(qū)域三階以下的仿射不變量。

4　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，現(xiàn)以實(shí)際拍攝的3類艦船模型圖像進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)中選取的3種艦船分別為171號(hào)052C型防空導(dǎo)彈驅(qū)逐艦(艦長(zhǎng)156 m，寬17.2 m)、999號(hào)071型船塢登陸艦(艦長(zhǎng)210 m,寬28 m，桅高35 m)、115號(hào)051C導(dǎo)彈驅(qū)逐艦(艦長(zhǎng)155 m，寬17 m)。本實(shí)驗(yàn)采用Matlab7.0軟件編程實(shí)現(xiàn)，操作系統(tǒng)為Windows XP。

實(shí)際拍攝過程中，針對(duì)每類艦船模型分別設(shè)置4種不同距離、4種不同方位角、4種不同俯仰角下共計(jì)64張艦船仿射圖像，圖像像素大小統(tǒng)一為640×480。為了節(jié)省篇幅，文中僅給出3類艦船的部分圖像，分別如圖5～7所示。

圖5　171艦船及其仿射變換圖像Fig.5　171 ship and its affine transformation images

圖6　999艦船及其仿射變換圖像Fig.6　999 ship and its affine transformation images

圖7　115艦船及其仿射變換圖像Fig.7　115 ship and its affine transformation images

圖8　文獻(xiàn)[3]中仿射不變量Fig.8　Affine invariants proposed by paper [3]

表1　文獻(xiàn)[3]中仿射不變量的計(jì)算結(jié)果及其統(tǒng)計(jì)特征

采用文獻(xiàn)[3]中的算法構(gòu)造仿射不變量Ii,1≤i≤n-1，選取n=8，R=1.5，對(duì)于1≤i≤8，且ci=0.25i，將計(jì)算結(jié)果擴(kuò)大1 000倍，圖8(彩圖見期刊電子版)給出了3類艦船的7個(gè)仿射不變量，其中紅色實(shí)線代表171艦船不變量數(shù)值，黑色實(shí)線代表999艦船不變量數(shù)值，藍(lán)色實(shí)線代表115艦船不變量數(shù)值。表1給出了文獻(xiàn)[3]中3類艦船不變量計(jì)算結(jié)果的均值及其統(tǒng)計(jì)特征。

根據(jù)文獻(xiàn)[3]所提算法，由圖8及表1可看出：171、115、999三類艦船目標(biāo)圖像均由7個(gè)仿射不變量組成；3類艦船目標(biāo)同一仿射不變量的均值相近，差異較小；三者仿射不變量的離散系數(shù)均大于0.80%，其對(duì)應(yīng)的最大離散系數(shù)分別為3.89%、2.95%和5.30%。

將實(shí)際獲取的64張艦船圖像利用自適應(yīng)閾值分割算法將其二值化，采用基于協(xié)方差矩陣的方法對(duì)其規(guī)范化處理，在此基礎(chǔ)上，依據(jù)式(20)計(jì)算圖像橢圓扁度，并據(jù)此進(jìn)行特征區(qū)域劃分，最后依據(jù)式(21)計(jì)算各圖像的仿射不變量。

圖8～10(彩圖見期刊電子版)給出了3類艦船各圖像對(duì)應(yīng)的仿射不變量，圖中藍(lán)色實(shí)線表示仿射不變量I1，圖中黑色實(shí)線表示仿射不變量I2，圖中紅色實(shí)線表示仿射不變量I3。

表2～表3分別給出了3類艦船圖像對(duì)應(yīng)的仿射不變量及其統(tǒng)計(jì)特征。表2～表3中符號(hào)說明：Im(n)中m表示式(21)中仿射不變量的下標(biāo)，n表示扁度sc取值為n時(shí)所確定的同心圓區(qū)域，即Im(n)表示當(dāng)sc取n時(shí)目標(biāo)圖像在該同心圓區(qū)域內(nèi)計(jì)算所得仿射不變量Im。

圖9　171艦船仿射不變量Fig.9　Affine invariants of 171 ship

圖10　999艦船仿射不變量Fig.10　Affine invariants of 999 ship

圖11　115艦船仿射不變量Fig.11　Affine invariants of 115 ship

表2　171 和115艦船各圖像仿射不變量統(tǒng)計(jì)特征

表3　999艦船各圖像仿射不變量統(tǒng)計(jì)特征　其中sc=4

依據(jù)圖9～圖11以及表2～表3數(shù)據(jù)，可得出以下結(jié)論：對(duì)于同一艦船目標(biāo)圖像而言，即便圖像經(jīng)過了平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、傾斜等各種仿射變換，同一艦船目標(biāo)圖像計(jì)算所得扁度sc數(shù)值相同，即同心圓區(qū)域的劃分具有唯一性，驗(yàn)證了圖像橢圓扁度的不變性；不同艦船圖像計(jì)算所得sc數(shù)值不盡相同，999號(hào)sc=4，171與115號(hào)sc=3，此數(shù)值可反映艦船目標(biāo)圖像的圓整程度，而文獻(xiàn)[4]中各艦船目標(biāo)的不變量數(shù)量均為7個(gè)，無法體現(xiàn)不同目標(biāo)圖像間的緊湊程度；當(dāng)sc取值相同時(shí)，不同艦船目標(biāo)圖像同一仿射不變量存在差異，如171與115的I2(2)均值分別為220.46、213.94；同一艦船目標(biāo)圖像在不同特征圓區(qū)域的同一仿射不變量存在數(shù)值差異，可用于表征同一目標(biāo)圖像在不同同心圓區(qū)域的差異；171、115與999三類艦船的最大離散系數(shù)分別為1.55%、1.42%、1.33%，說明本文所構(gòu)造仿射不變量的均值穩(wěn)定性較好，均值穩(wěn)定性優(yōu)于文獻(xiàn)[3]。

5　結(jié)　論

本文提出一種基于圖像橢圓扁度劃分策略的仿射不變量構(gòu)造方法。從理論上證明了圖像橢圓扁率的不變性，給出了圖像橢圓扁度的定義及其物理含義，結(jié)合圖像橢圓扁度構(gòu)造同心圓數(shù)目存在唯一性特點(diǎn)，選取三階以下的仿射不變矩作為圖像的特征描述子，通過計(jì)算同心圓區(qū)域的特征量對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行描述。對(duì)3類艦船目標(biāo)圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示：同一艦船目標(biāo)其圖像橢圓扁度具有唯一性；同一艦船目標(biāo)圖像在所劃分特征圓區(qū)域的仿射不變量具有較好的穩(wěn)定性，其最大離散系數(shù)為1.55%；不同艦船目標(biāo)所得扁度不盡相同，可用于表征不同艦船目標(biāo)的圓整程度。下一步研究重點(diǎn)是考慮所構(gòu)造特征不變量的分布特性。

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季超(1987-)，男，山東濟(jì)寧人，博士研究生，2010年于青島科技大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，2013年于海軍潛艇學(xué)院獲得碩士學(xué)位，現(xiàn)為海軍潛艇學(xué)院載運(yùn)工具運(yùn)用工程專業(yè)博士研究生，主要從事視覺導(dǎo)航、計(jì)算機(jī)圖像處理與模式識(shí)別等方面的研究。E-mail：jichao200611@163.com

導(dǎo)師簡(jiǎn)介:

楊曉東(1963-)，男，山東青島人，教授，博士生導(dǎo)師，1985年于華東師范大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位,2002年于哈爾濱工程大學(xué)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為海軍潛艇學(xué)院航海教研室主任，主要從事潛艇航行安全技術(shù)方面的研究。E-mail:yangxdqtxy@163.com

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Invariance of image ellipse oblateness degree and its application to construction of affine invariants

JI Chao*, YANG Xiao-dong, WANG Wei

(NavySubmarineAcademy,Qingdao266199,China)

As the traditional affine invariants based on the invariant of area ratio are characterized by unstable and redundant feature points, error accumulation, this paper proposes a novel method based on the division strategy of image ellipse oblateness degree for construction of affine invariants. The affine transformation model was presented, and the condition of affine approximation was obtained. In combination of the definition of image ellipse oblateness degree and the invariant moment theory, the invariance of image ellipse oblateness under affine transformation was verified. Meanwhile, the definition of image oblateness degree and its physical meaning were given. Then, on the basis of the image ellipse oblateness degree, the affine invariant moments below the 3rd order were selected as the feature descriptors, the image target was described by calculation of the affine invariants of each concentric region. Finally， the proposed method was applied to the actual ship images and its stability was analyzed by discrete coefficients. Experimental results indicate that all kinds of the target images for the same ship under different affine transformations have the same oblateness degree, and the maximum discrete coefficient in the divided feature region is 1.55%.It concludes that the proposed method is unique for the image division and constructed affine invariants have good stability.

image ellipse oblateness degree; affine invariant; image feature; image recognition

2016-05-06；

2016-06-22.

海軍裝備部“十二五”規(guī)劃資助項(xiàng)目(No. 435515908)

1004-924X(2016)08-2078-09

TP391.4

A

10.3788/OPE.20162408.2078