從作業(yè)中的一個錯誤談?wù)勁浞?/h1>
2016-10-09 22:29:02
初中生世界·九年級 2016年9期
楊建
在本文開頭，讓我們先來看看同學(xué)們作業(yè)中的一個錯誤.
題目：設(shè)關(guān)于x的方程x2-2mx-2m-4=0.
證明：不論m為何值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根.
【學(xué)生解答】Δ=b2-4ac
=（-2m）2-4×（-2m-4）
=4m2+8m+16
=m2+2m+4
=（m+1）2+3>0.
∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根.
這位同學(xué)在解決這道題目的時候，混淆了解一元二次方程的配方和代數(shù)式的配方.方程的配方是將方程兩邊同時除以二次項系數(shù)，達到將二次項系數(shù)化為1的目的；而代數(shù)式的配方只能將二次項系數(shù)提取到括號外，不能輕易去掉，否則代數(shù)式的變形就不是恒等變形.
下面讓我們通過兩個例題來比較一下方程配方和代數(shù)式配方的區(qū)別.
例1 解方程 3x2-2x-6=0.
解：把二次項系數(shù)化為1，得
x2-x-2=0，
移項，得x2-x=2，
配方，得x2-x+=2+，
即x
-2=，
兩邊開平方，得
x-=或x-=-.
解得：x1=，x2=.
例2 求代數(shù)式3x2-2x-3的最小值.
解：把二次項系數(shù)化為1
原式=3x2
-x-3
=3x2
-x
+-3-
=3x
-2-，
∵3x
-2≥0，
∴3x2-2x-3≥-.
∴代數(shù)式3x2-2x-3的最小值為-.
觀察上面兩個例子可以看出，方程配方和代數(shù)式配方有聯(lián)系也有區(qū)別，兩者配方的時候都是先將二次項系數(shù)化為1，然后補上常數(shù)項，常數(shù)項都是一次項系數(shù)一半的平方.
不同的是，方程將二次項系數(shù)化為1的方法是方程兩邊同時除以二次項系數(shù)，保證得到的方程與原來的方程是同解方程.而代數(shù)式將二次項系數(shù)化為1的方法是提取二次項系數(shù)，保證代數(shù)式恒等變形.
配方法除了可以解方程，求代數(shù)式的最大（?。┲担诮鉀Q其他一些代數(shù)問題方面也有一些應(yīng)用.請看下面幾個例題.
應(yīng)用1 配方湊平方和為零的形式
例3 若x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值.
【思路分析】x2-4x、y2+6y已具備完全平方的雛形，可將x2-4x、y2+6y通過配方法配成完全平方的形式，將已知條件的左邊化成三個非負數(shù)的和去解.
解：∵x2-4x+y2+6y++13=0，
∴x2-4x+4+y2+6y+9+=0.
∴（x-2）2+（y+3）2+=0.
∴x=2，y=-3，z=2.
∴（xy）z=36.
【方法點撥】一個方程出現(xiàn)多個未知數(shù)，且方程中具備完全平方的雛形，這時可以考慮湊完全平方，將方程化成幾個非負數(shù)和為零的形式，從而將一個方程化成多個方程來解決.
應(yīng)用2 利用配方法來分解因式
例4 利用配方法分解因式.
（1） x2+8x+12；（2） x2+5x+6.
【思路分析】（1） x2+8x需要補充16可湊成完全平方式，原式可化為x2+8x+16-16+12，前兩項可表示為（x+4）2，后兩項可表示為22，然后運用平方差公式；
（2） x2+5x需要補充可湊成完全平方式，原式可化為x2+5x+-+6，前兩項可表示為x
+2，后兩項可表示為
2，然后運用平方差公式.
解：（1） 原式=x2+8x+16-16+12
=（x+4）2-4
=（x+4+2）（x+4-2）
=（x+6）（x+2）；
（2） 原式=x2+5x+-+6
=（x+3）（x+2）.
【方法點撥】運用配方法分解因式，實際上就是將代數(shù)式中具備完全平方式雛形的部分配成完全平方，將代數(shù)式最終化為平方差的形式，應(yīng)用平方差公式分解因式.
應(yīng)用3 應(yīng)用作差法比較大小的時候，利用配方來確定差是正數(shù)還是負數(shù)
例5 小李家今天來了一位客人，小李問這位叔叔：“是你的年齡大，還是我爸爸的年齡大？”
這位叔叔說：“你爸爸的年齡是你的平方數(shù)，我的年齡是你的6倍少10，你說誰的年齡大呢？”你能幫小李解答這個問題嗎？
【思路分析】若設(shè)小李的年齡為x歲，則小李的爸爸的年齡為x2歲，客人的年齡為（6x-10）歲，比較x2與6x-10的大小即可，可以利用求差法通過計算x2-（6x-10）比較.
解：若設(shè)小李的年齡為x歲，則小李的爸爸的年齡為x2歲，客人的年齡為（6x-10）歲.
x2-（6x-10）=x2-6x+10=x2-6x+32-32+10=（x-3）2+1.
∵（x-3）2≥0，∴（x-3）2+1>0.
∴x2>6x-10.
即小李的爸爸的年齡要比這位客人的年齡大.
【方法點撥】作差法是比較兩數(shù)（式）大小的常用方法，而湊完全平方是判定差是正數(shù)還是負數(shù)的常用方法.
配方法是數(shù)學(xué)里面一個非常重要的方法，運用配方法解決問題的時候，一定要注意等式的配方和代數(shù)式的配方是不同的，不能像文中開頭那位同學(xué)一樣，混淆代數(shù)式配方和方程的配方，導(dǎo)致題目出錯.
（作者單位：江蘇省海安縣海陵中學(xué)）
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解：把二次項系數(shù)化為1，得
x2-x-2=0，
移項，得x2-x=2，
配方，得x2-x+=2+，
即x
-2=，
兩邊開平方，得
x-=或x-=-.
解得：x1=，x2=.
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解：把二次項系數(shù)化為1
原式=3x2
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=3x2
-x
+-3-
=3x
-2-，
∵3x
-2≥0，
∴3x2-2x-3≥-.
∴代數(shù)式3x2-2x-3的最小值為-.
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不同的是，方程將二次項系數(shù)化為1的方法是方程兩邊同時除以二次項系數(shù)，保證得到的方程與原來的方程是同解方程.而代數(shù)式將二次項系數(shù)化為1的方法是提取二次項系數(shù)，保證代數(shù)式恒等變形.
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∴（xy）z=36.
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=（x+6）（x+2）；
（2） 原式=x2+5x+-+6
=（x+3）（x+2）.
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x2-（6x-10）=x2-6x+10=x2-6x+32-32+10=（x-3）2+1.
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∴x2>6x-10.
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