李梅英，趙　晗， 陳　靜，李亞玲

(1.軍事交通學(xué)院 基礎(chǔ)部，天津 300161； 2.軍事交通學(xué)院 學(xué)員旅，天津 300161)

?

● 基礎(chǔ)科學(xué)與技術(shù)Basic Science & Technology

差異產(chǎn)品的最優(yōu)定價(jià)決策

李梅英1，趙晗2， 陳靜1，李亞玲1

(1.軍事交通學(xué)院 基礎(chǔ)部，天津 300161； 2.軍事交通學(xué)院 學(xué)員旅，天津 300161)

針對(duì)差異產(chǎn)品定價(jià)問題，考慮有一個(gè)制造商和兩個(gè)零售商組成的供應(yīng)鏈系統(tǒng)，該制造商生產(chǎn)兩種差異產(chǎn)品并把這兩種產(chǎn)品分別批發(fā)給這兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)的零售商，然后再由他們銷售給顧客。利用博弈論的方法在兩種不同情形下探討了該供應(yīng)鏈中每一個(gè)參與企業(yè)的定價(jià)決策，研究了各參與企業(yè)在面臨變化的環(huán)境時(shí)的決策行為，分析了參數(shù)對(duì)于各參與企業(yè)的決策及收益的影響，可為企業(yè)決策提供一定的理論依據(jù)。

定價(jià)決策；博弈論；差異產(chǎn)品

近年來，許多制造商通過分離他們的基本產(chǎn)品的一些關(guān)鍵屬性 (如顏色、外觀形狀、附加功能等)來擴(kuò)大產(chǎn)品的種類，以此來贏得更多的產(chǎn)品市場(chǎng)份額。Ho等[1]指出許多公司每年都以高于10%的速度擴(kuò)大自己產(chǎn)品的種類。盡管增加產(chǎn)品的種類能得到消費(fèi)者的極大歡迎，但是這同時(shí)也給零售商帶來了許多新的挑戰(zhàn)。首先，同一種產(chǎn)品的不同類型(如不同顏色、不同外觀形狀、不同附加功能等)之間在某種程度上存在著需求相互替代的關(guān)系，在這種情形下零售商該如何決定產(chǎn)品的分類以最大化自己的銷售利潤？其次，對(duì)于給定的產(chǎn)品種類零售商該如何決策每種產(chǎn)品的訂貨量來最大化自己的利潤？第三，當(dāng)不同類型的產(chǎn)品可以產(chǎn)生需求互相替代時(shí)，零售商如何通過調(diào)整零售價(jià)格來最大化自己的利潤？對(duì)于存在零售競(jìng)爭(zhēng)的零售商來講，既不能把自己所銷售的產(chǎn)品價(jià)格定得過高，否則，市場(chǎng)對(duì)自己所售產(chǎn)品的需求會(huì)轉(zhuǎn)移到競(jìng)爭(zhēng)者所售的產(chǎn)品上去；同樣，也不能把自己所銷售的產(chǎn)品價(jià)格定得過低，否則，會(huì)降低自己的銷售利潤。

目前一些關(guān)于差異產(chǎn)品的定價(jià)問題的研究，陳兆波等[2]針對(duì)產(chǎn)品的品牌和產(chǎn)地存在的差異性，研究了供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的均衡模型，構(gòu)建了具有隨機(jī)需求的多種差異產(chǎn)品的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)均衡模型，運(yùn)用隨機(jī)效用理論和多項(xiàng)式logit模型分析了需求市場(chǎng)上產(chǎn)品的隨機(jī)選擇問題。羅勇等[3]研究了商品存在彈性需求的情況下，企業(yè)銷售功能相同但有差異產(chǎn)品時(shí)的選址和定價(jià)問題，基于Hotelling模型，建立了彈性差異產(chǎn)品的雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)選址定價(jià)模型，利用兩階段博弈過程，得出了企業(yè)的最優(yōu)選址和相應(yīng)定價(jià)。Tsay等[4]研究了有一個(gè)制造商和兩個(gè)獨(dú)立的零售商組成的銷售系統(tǒng)，該制造商為這兩個(gè)零售商供應(yīng)同一種產(chǎn)品。Zhao等[5]研究了由一個(gè)零售商、一個(gè)制造商組成的系統(tǒng)的多周期問題，在該模型中需求是確定的、價(jià)格是敏感的、依賴于時(shí)間的。

與現(xiàn)有研究不同，本文考慮了一個(gè)存在零售競(jìng)爭(zhēng)的差異產(chǎn)品的二級(jí)供應(yīng)鏈定價(jià)博弈問題，產(chǎn)品的需求依賴于存在競(jìng)爭(zhēng)的兩種差異產(chǎn)品的零售價(jià)格，利用博弈論方法給出了在3種不同情形下制造商和零售商的最優(yōu)決策，同時(shí)分析了參數(shù)對(duì)于企業(yè)決策的影響。

1　問題描述與建模

假設(shè)系統(tǒng)中有一個(gè)制造商和兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)的零售商(分別記作零售商1、零售商2)，該制造商生產(chǎn)兩種不同的差異產(chǎn)品(分別記作產(chǎn)品1、產(chǎn)品2，產(chǎn)品i的單位制造費(fèi)用為ci,i= 1,2)，并且把這兩種產(chǎn)品分別批發(fā)給這兩個(gè)獨(dú)立經(jīng)營的零售商(把產(chǎn)品1批發(fā)給零售商1，把產(chǎn)品2批發(fā)給零售商2，產(chǎn)品i的單位批發(fā)價(jià)格為wi)，然后再由他們銷售給終端顧客。假定每一種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求都是只依賴于這兩種產(chǎn)品的零售價(jià)格的確定性需求，產(chǎn)品i的需求函數(shù)定義為

Di(pi,pj)=ai-βpi+γpj

(1)

式中：i、j=1、2,i≠j，aj>0，0<β<1，0<γ<β；pi為零售商i對(duì)于產(chǎn)品i所給出的零售價(jià)格；ai為該種產(chǎn)品的市場(chǎng)基礎(chǔ)，假定參數(shù)ai足夠大以保證需求Di的取值總是非負(fù)的；β為每種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求對(duì)于其自身零售價(jià)格反應(yīng)程度的度量，即價(jià)格彈性；γ為每種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求關(guān)于競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)品價(jià)格敏感程度的度量。

假定在各參與企業(yè)之間沒有任何勾結(jié)或合作，每一個(gè)系統(tǒng)成員都有相同的目標(biāo)，即最大化自己的利潤，并且他們之間的信息是對(duì)稱的、完全的，制造商決策兩種產(chǎn)品的批發(fā)價(jià)格來最大化自己的利潤，兩個(gè)零售商分別決策他們各自所銷售產(chǎn)品的零售價(jià)格來最大化自身利潤。即零售商i的目標(biāo)是最大化自己的利潤(記作πri)，πri定義為

πri=(pi-wi)Di(pi,pj)

(2)

式中：i=1，2;j=3-i；wi為制造商所給出的產(chǎn)品i的批發(fā)價(jià)格。

制造商的目標(biāo)是最大化自己的利潤(記作πm)，πm定義為

(3)

注意到每一個(gè)系統(tǒng)成員在系統(tǒng)中的地位可以影響本模型中價(jià)格博弈的求解順序。一般來說，在一個(gè)行業(yè)中處于壟斷地位的制造商所擁有的討價(jià)還價(jià)能力要比相應(yīng)的零售商所擁有的討價(jià)還價(jià)能力強(qiáng)，因此在實(shí)際決策上就具有優(yōu)先地位；相反，如果零售商具有較強(qiáng)的協(xié)商能力，則他們就可以在某種程度上降低制造商的利潤，而將這部分利潤轉(zhuǎn)移到自身上。因此，研究探討供應(yīng)鏈系統(tǒng)中的成員的協(xié)商能力如何影響供應(yīng)鏈系統(tǒng)的平衡解是非常重要的。本文分別按制造商是主導(dǎo)者的Stackelberg博弈、零售商是主導(dǎo)者的Stackelberg博弈兩種情況進(jìn)行討論分析。

2　模型求解

2.1制造商是主導(dǎo)者的 Stackelberg 博弈

2.1.1零售商的決策

在制造商是主導(dǎo)者的Stackelberg博弈中，制造商首先給出他的兩種產(chǎn)品的批發(fā)價(jià)格，零售商根據(jù)制造商所給出的兩種產(chǎn)品的批發(fā)價(jià)格，同時(shí)決策他們將對(duì)各自所售產(chǎn)品所要收取的零售價(jià)格。考慮到兩個(gè)零售商要同時(shí)給出決策，我們需要首先求解他們之間的Nash均衡解。

(4)

利用式(1)(2)，可以求得其一階導(dǎo)數(shù)分別為

(5)

(6)

利用式(5)(6)可得二階導(dǎo)數(shù)為

(7)

由式(7)看出零售商i的利潤函數(shù)πri是關(guān)于決策變量pi的凹函數(shù)。因此根據(jù)上面所得到的一階和二階最優(yōu)條件可以算出每一個(gè)零售商的最優(yōu)零售價(jià)格。

令式(5)(6)等于零，并同時(shí)求解兩個(gè)方程，可得在制造商是主導(dǎo)者的Stackelberg博弈方式下，給定制造商關(guān)于兩種產(chǎn)品的批發(fā)價(jià)格w1、w2時(shí)，兩個(gè)零售商的最優(yōu)零售價(jià)格分別為

(8)

(9)

2.1.2制造商的決策

(10)

(11)

(12)

式中：M=a1-a1A+(a2-a1)E-a2B+Gc2-Hc2；N=D+F+G；Q=F-C+H；R=a2-a2A+(a1-a2)E-a1B+Gc2-Hc1。

2.2零售商是主導(dǎo)者的Stackelberg博弈

零售商是主導(dǎo)者的Stackelberg博弈情形發(fā)生在零售商的地位比其制造商的地位高的情形，如沃爾瑪、家樂福、蘇寧電器、國美電器等大的零售商要比許多制造企業(yè)擁有更高的討價(jià)還價(jià)能力(或者說協(xié)商能力)。在此，不失一般性，令mi表示零售商i在產(chǎn)品i上所獲得的利潤，即

pi=wi+mi

(13)

式中mi>0。

2.2.1制造商的決策

(14)

式中πm(wi,wj|p1，p2)為在給定零售商的決策結(jié)果p1、p2的條件下，且制造商給出的兩種產(chǎn)品的批發(fā)價(jià)格分別為w1、w2時(shí)的利潤。

利用式(3)可得πm關(guān)于w1，w2的一階導(dǎo)數(shù)(為了書寫方便，把πm(wi,wj|p1，p2)簡(jiǎn)寫為πm)為

(15)

(16)

利用式(15)(16)可求得二階導(dǎo)數(shù)：

(17)

通過式(17)，可以驗(yàn)證制造商的利潤函數(shù)πm關(guān)于w1、w2的Hessian矩陣是負(fù)定的。

令式(15)(16)等于零可得兩個(gè)方程，求解這兩個(gè)方程可得在零售商是主導(dǎo)者的Stackelberg博弈方式下，分別給定兩個(gè)零售商的零售價(jià)格p1、p2時(shí),制造商的最優(yōu)批發(fā)價(jià)格為

(18)

(19)

2.2.2零售商的決策

(20)

式中：i=1，2，j=3-i;πri(pi|pj，w1，w2) 為在給定零售商j的零售價(jià)格pj和制造商的批發(fā)價(jià)格w1、w2的前提下，零售商i設(shè)定產(chǎn)品i的價(jià)格為pi時(shí)的利潤。

利用式(1)及式(18)(19)，可以得到πri關(guān)于pi的一階、二階最優(yōu)條件(為了書寫方便，把πri(pi|pj,w1，w2)簡(jiǎn)寫為πri)。由二階最優(yōu)條件可知利潤函數(shù)πri(pi|pj,w1，w2)是關(guān)于變量pi的凹函數(shù)。然后再對(duì)一階最優(yōu)條件進(jìn)行求解可得在零售商是主導(dǎo)者的Stackelberg博弈方式下，零售商1和零售商2的最優(yōu)零售價(jià)格為

(21)

(22)

3　參數(shù)敏感性分析

利用數(shù)值算例來比較上面兩種情形所求得的理論結(jié)果，同時(shí)研究分析各參與企業(yè)在面臨談判地位變化的環(huán)境時(shí)的決策行為。通過上面不同情形下所求得的理論結(jié)果，很容易看出最優(yōu)批發(fā)價(jià)、最優(yōu)零售價(jià)以及需求數(shù)量都是兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)基礎(chǔ)和生產(chǎn)費(fèi)用的線性函數(shù)。下面分析兩種情形下參數(shù)β是如何影響產(chǎn)品的零售價(jià)格、批發(fā)價(jià)格以及各參與方的利潤。

3.1制造商主導(dǎo)情形下參數(shù)β的變化

從仿真結(jié)果(如圖1、2所示)可以看出，在制造商為主導(dǎo)者的情形下，兩種產(chǎn)品的批發(fā)價(jià)格、零售價(jià)格、市場(chǎng)需求量及制造商和零售商的利潤都隨參數(shù)β的增加而減少。

圖1　批發(fā)價(jià)格、零售價(jià)格關(guān)于β的變化

圖2　利用函數(shù)關(guān)于的β變化

3.2零售商主導(dǎo)情形下參數(shù)β的變化

從仿真結(jié)果(如圖3、4所示)可以看出，在零售商為主導(dǎo)者的情形下，兩種產(chǎn)品的批發(fā)價(jià)格、零售價(jià)格、市場(chǎng)需求量以及制造商和零售商的利潤都隨參數(shù)β的增加而減少。

圖3　批發(fā)價(jià)格、零售價(jià)格關(guān)于β的變化

圖4　利潤函數(shù)關(guān)于的β變化

4　結(jié)　語

本文考慮了包含一個(gè)制造商和兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)零售商的二級(jí)供應(yīng)鏈系統(tǒng)中的差異產(chǎn)品定價(jià)問題，利用博弈論方法，分別在兩種不同博弈方式下給出了每一個(gè)參與企業(yè)的定價(jià)決策。另外，還對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了數(shù)值分析，這將為企業(yè)決策提供一定的理論依據(jù)。今后可以進(jìn)一步研究隨機(jī)需求下企業(yè)的決策問題。

[1]HO T H, TANG C S. Research Advances in Product Variety Management[M]. Netherlands: Kluwer Publishers, 1998:25-26.

[2]陳兆波,滕春賢,姚鋒敏.具有隨機(jī)需求的多種差異產(chǎn)品供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)均衡模型研究[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2008,25(3)：271-276.

[3]羅勇,涂菶生,彭鐵根,等.具有購買彈性的差異產(chǎn)品選址定價(jià)研究[J].南開大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,40(4)：78-82.

[4]TSAY A A, AGRAWAL N. Channel dynamics under price and service competition[J].Manufacturing and Service Operations Management, 2000, 2(4)：372-391.

[5]ZHAO W, WANG Y. Coordination of joint pricing-production decisions in a supply chain[J]. IIE Transactions, 2002(34): 701-715.

(編輯：張峰)

Optimal Pricing Decisions of Two Differentiated Products

LI Meiying1, ZHAO Han2, CHEN Jing1, LI Yaling1

(1.General Courses Department, Military Transportation University, Tianjin 300161, China;2.Cadets Brigade, Military Transportation University, Tianjin 300161, China)

As to the pricing of differentiated products, suppose there is a supply chain involving one manufacturer and two retailers. This manuafcturer manufactures two differentiated products and sells them respectively to the two retailers who then sell the products to their own end customers. In this paper, by using game-theoretical approach, we examined the pricing strategy of each involved party and the different decisions they make in different situations. We also analyzed the effects of the parameters on the decisions and profits each of them make. The study is of theoretical reference value for the decision-making of an enterprise.

pricing decision； game-theory； differentiated product

2015-12-09；

2016-01-27．

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60474062, 70501014)；軍事交通學(xué)院科研基金項(xiàng)目(2016B16).

李梅英(1981—)，女，碩士，講師.

10．16807/j.cnki.12-1372/e.2016.05.021

C934

A

1674-2192(2016)05- 0085- 05