李文生（福建連城第一中學(xué)）

找準(zhǔn)“出發(fā)點(diǎn)”，突破“關(guān)鍵點(diǎn)”
——在全國新課標(biāo)卷中立體幾何的考查及其復(fù)習(xí)

李文生
（福建連城第一中學(xué)）

一、考綱的要求

（一）立體幾何初步

1.空間幾何體

（1）認(rèn)識柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。

（2）能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。

（3）了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式。

2.點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

（1）理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解可以作為推理依據(jù)的4個(gè)公理和1個(gè)定理。

（2）以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理（判定定理和性質(zhì)定理各4個(gè)，其中性質(zhì)定理要求能夠證明）。

（3）能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。

（二）空間向量與立體幾何（理科要求）

1.空間向量及其運(yùn)算

（1）了解空間向量的概念和空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。

（2）掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示。

（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。

2.空間向量的應(yīng)用

（1）理解直線的方向向量與平面的法向量。

（2）能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系。

（3）能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理。

（4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的應(yīng)用。

二、考查的方向

1.突出三視圖問題的考查

全國新課標(biāo)卷每年都考查三視圖問題，從考查形式來看，以選擇題、填空題為主。對有關(guān)三視圖試題進(jìn)行分析，可以感受到全國新課標(biāo)卷對空間想象能力的考查要求較高。

例1.（2014年高考全國新課標(biāo)卷Ⅰ·理12）如圖，網(wǎng)格

紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）

說明：由正視圖、側(cè)視圖、俯視圖形狀，可判斷該幾何體為四面體，且四面體的長、寬、高均為4個(gè)單位，因此可考慮把四面體置于棱長為4個(gè)單位的正方體中（如下圖），可求出最長的棱的長度。所以在解決問題的過程中，需要考生具備較強(qiáng)的空間想象能力。從全國新課標(biāo)卷來看，這部分內(nèi)容主要考查以下兩個(gè)方面的內(nèi)容：

一是幾何體三視圖的識別與判斷；

二是簡單幾何體（包括簡易組合體）的三視圖與幾何體的表面積、體積的求解問題。

2.突出球類問題的考查

球作為優(yōu)美幾何體的典型代表，在新課標(biāo)全國卷中屢屢出現(xiàn)。近5年來，全國新課標(biāo)Ⅰ卷只有2014年沒有考查球的問題，其他年份都考，在以球?yàn)檩d體的問題中：一是考查球的表面積、體積及距離等基本量的計(jì)算。二是考查球與多面體的相切接，較好地考查了學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力

例2.已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，若圓錐底面面積是這個(gè)球球面面積的則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為______。

說明：本題考查球內(nèi)接圓錐問題，解題的關(guān)鍵是確定球心、圓錐底面圓心與兩圓錐頂點(diǎn)之間的關(guān)系。

解析：本題考查球內(nèi)接圓錐問題，屬于較難的題目。

3.注重對平行、垂直特別是垂直關(guān)系的考查

（1）全國新課標(biāo)Ⅰ卷文理科解答題將垂直關(guān)系作為考查的重點(diǎn)。

（2）近5年來，全國新課標(biāo)Ⅰ卷在解答題中都考查垂直關(guān)系，未涉及平行問題，且5年中有3年都考查了直線與直線垂直的判定。全國新課標(biāo)Ⅱ卷?？疾槠叫袉栴}。

4.突出對空間角的考查

（1）新課標(biāo)卷對立體幾何解答題的考查，一般分為兩部分，前一部分主要考查空間中點(diǎn)、線面的位置關(guān)系，后一部分主要考查空間角的計(jì)算問題。

（2）對空間角問題，全國新課標(biāo)Ⅰ卷特別青睞二面角的考查，2011-2015五年中有三年都考查了二面角問題。

例3.（2012年高考全國新課標(biāo)卷Ⅰ·理19）.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD。

（Ⅰ）證明：DC1⊥BC。

（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大小。

三、試題特點(diǎn)

全國新課標(biāo)卷將立體幾何學(xué)科知識和能力融為一體，堅(jiān)持守正出新，從不同角度詮釋了立體幾何教學(xué)的價(jià)值取向，形成了鮮明的立體幾何命題風(fēng)格和試題特點(diǎn)。

對近5年全國新課標(biāo)Ⅰ卷的考點(diǎn)進(jìn)行比較分析，不難發(fā)現(xiàn)，全國新課標(biāo)卷對立體幾何內(nèi)容的考查具有如下特點(diǎn)：

1.結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，難度適中

近5年來，全國新課標(biāo)Ⅰ卷在題量上，除了2014年是“一小一大”，分值17分，其他年份的試題都是“兩小一大”，分值22分；在考查兩個(gè)小題的年份，文理科至少都有一個(gè)小題相同；解答題位置都在第18題或第19題，文理科試題大都成姊妹題，難度比較穩(wěn)定。

2.貼近教材，推陳出新

（1）全國新課標(biāo)卷堅(jiān)持“在幾何直觀下立意，在貼近教材中設(shè)計(jì)”的命題特點(diǎn)，出現(xiàn)了許多貼近教材，活于課本，推陳出新的立體幾何試題。

（2）近幾年全國新課標(biāo)卷的一些立體幾何試題，其解題思路、思想方法都可以在教材中找到“影子”，是教材基礎(chǔ)知識、例題及習(xí)題的加工、綜合、類比、延伸和拓展的結(jié)果，比如2010年新課標(biāo)卷Ⅰ·理18、2011年新課標(biāo)卷Ⅰ·理18、2014年新課標(biāo)卷Ⅱ·理18等高考全國新課標(biāo)卷立體幾何解答題均以四棱錐為背景命制，實(shí)際上是源自課本的例題（人教A版選修2-1第109頁例4）。這些都充分體現(xiàn)了教材良好的示范作用。同時(shí)以教材作為“藍(lán)本”的高考試題，也讓考生感到熟悉親切，很好地凸顯了以教材為核心的導(dǎo)向作用，激發(fā)了學(xué)生對教材知識的學(xué)習(xí)熱情。

3.能力立意，彰顯選拔

全國新課標(biāo)卷立體幾何試題以知識為載體，以能力立意，《全國考試大綱》所規(guī)定的能力——空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等在立體幾何中都得到了體現(xiàn)，其中側(cè)重考查了空間想象能力、推理論證能力與運(yùn)算求解能力。

四、復(fù)習(xí)建議

立體幾何是考查空間想象能力的重要載體，涉及的問題包括識圖與畫圖、證明與計(jì)算等。因此，在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們必須先找準(zhǔn)“出發(fā)點(diǎn)”——立足考綱，命題特點(diǎn)，再努力突破“關(guān)鍵點(diǎn)”——提高復(fù)習(xí)的有效性。

（一）把握考試要求，了解命題特點(diǎn)，提高備考實(shí)效性

1.吃透考綱，明確復(fù)習(xí)方向

《全國考試大綱》《全國考試說明》是指導(dǎo)高考命題與復(fù)習(xí)教學(xué)的權(quán)威性文件，要認(rèn)真研讀、仔細(xì)推敲，準(zhǔn)確把握定位和要求，做到四個(gè)明確：

（1）明確各部分考查的知識點(diǎn)。

（2）明確各知識點(diǎn)的要求層次。

（3）明確哪些知識是重點(diǎn)要求的。

（4）明確其中隱含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力及其考查要求。

2.了解命題特點(diǎn)，找準(zhǔn)復(fù)習(xí)“效”度

（1）有效的復(fù)習(xí)教學(xué)不僅要弄清高考考什么，還要明確怎么考，因此必須對近年來的全國新課標(biāo)卷進(jìn)行研究。

（2）通過研究，幫助教師了解立體幾何的命題特點(diǎn)，有效指導(dǎo)立體幾何教學(xué)中“度”的把握，提高復(fù)習(xí)教學(xué)的針對性和實(shí)效性。

（3）文理科通用的考點(diǎn)中，要重點(diǎn)復(fù)習(xí)的內(nèi)容有：簡單幾何體的三視圖與直觀圖；簡單幾何體的表面積與體積的計(jì)算；線線、線面、面面平行和垂直的判定與性質(zhì)。

（4）理科選修內(nèi)容要重點(diǎn)復(fù)習(xí)用空間向量證明平行與垂直關(guān)系、計(jì)算各類角等問題，還應(yīng)兼顧“一題兩法”，形成基本技能。

（二）立足基礎(chǔ)，熟練掌握通性通法

（1）通性通法是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法，是解決問題的基本方法，是學(xué)生應(yīng)該重點(diǎn)掌握的方法。

（2）我們要按《全國考試大綱》《全國高考考試說明》對立體幾何內(nèi)容的要求，從知識的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生將立體幾何知識點(diǎn)串聯(lián)起來，促進(jìn)知識的系統(tǒng)化、條理化、綜合化，進(jìn)而形成知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，這有助于提高學(xué)生靈活運(yùn)用有關(guān)知識分析問題、解決問題的能力。

（三）激活課本，用足教材

“問渠那得清如許，為有源頭活水來”，教材是思想之基，方法之源。立體幾何復(fù)習(xí)要實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識的系統(tǒng)化、思想和方法的強(qiáng)化、能力的提高，僅靠利用教輔資料進(jìn)行題海強(qiáng)化是不夠的，必須緊扣教材這一“基和源”。

首先，要準(zhǔn)確理解教材，要上升到思想和方法的角度審視教材，對教材中所講的基本知識、基本方法、例題和習(xí)題，要認(rèn)真研究，準(zhǔn)確把握。

其次，應(yīng)通過對課本例（習(xí)）題的變式、拓展，挖掘教材例（習(xí)）題的潛在功能，從中提煉相應(yīng)的思想方法，準(zhǔn)確把握立體幾何的本源和本質(zhì)，提高復(fù)習(xí)效益。在復(fù)習(xí)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從最近發(fā)展區(qū)對例題進(jìn)行深入挖掘，加工改造。挖掘教材例（習(xí)）題的潛在功能，通常包括：（1）一題多變、一題多解或多題歸一，進(jìn)行哲理的升華；（2）反思命題的逆命題是否成立；（3）改變命題的條件與結(jié)論等。

總之，立足教材、鉆研理解教材、溝通對話教材，用學(xué)生的眼光看教材，從高考的角度品味教材，提高對教材的研究水平，也是提高復(fù)習(xí)有效性的前提。

張桂生.全國新課標(biāo)卷理科立體幾何考題評析［J］.數(shù)理化解題研究：高中版，2013（7）.

·編輯魯翠紅