劉華勇， 李　璐， 張大明， 謝新平，王煥寶

(安徽建筑大學 數理學院， 安徽 合肥 230601)

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有理三角 Bézier曲線曲面光滑融合的構造

劉華勇， 李璐， 張大明， 謝新平，王煥寶

(安徽建筑大學 數理學院， 安徽 合肥 230601)

為了使自由曲線曲面在較為簡單的條件下能夠達到相對高階的光滑拼接，并在不改變控制頂點的情況下自由調整曲線曲面的形狀，構造了含多個形狀參數的有理三角函數．基于該組基函數，定義了含多個形狀參數的有理三角曲線曲面，并討論了曲線曲面的光滑拼接條件．根據拼接條件，分別定義了由含多個形狀參數的有理三角曲線曲面構成的分段組合曲線、分片組合曲面.這種新的曲線曲面能夠自動保證組合曲線、曲面的連續(xù)性．數值實例的結果顯示了該方法的有效性.

三角Bézier曲線;融合;連續(xù)性;封閉的曲線曲面

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):554-559,566

在計算機輔助幾何設計(CAGD)中，Bernstein多項式和Bézier曲線曲面設計發(fā)揮了極其重要的作用.Bézier曲線曲面結構簡單、計算相對方便、設計相對有效，但在實際應用中存在缺陷，即在控制多邊形不變的情況下，無法調整曲線曲面的外形.有理的B-spline曲線曲面雖然在一定程度上克服了上述困難，但畢竟是有理形式，曲線曲面拼接的條件較復雜.

為了克服Bézier和B-樣條曲線曲面的上述缺點，許多學者通過引入形狀參數構建了新的曲線曲面.例如，李軍成[1]介紹了一種構造任意類三次三角曲線的方法.嚴蘭蘭等[2]定義了形狀及光滑度可調的自動連續(xù)組合曲線曲面. ZHANG[3-4]給出了帶形狀參數的三角多項式均勻B樣條.這些曲線或曲面都與Bézier曲線或B-spline樣條曲線曲面具有許多共同的基本特性，并可通過參數調整曲線曲面的形狀.HAN[5]介紹了帶參數的二次三角多項式樣條曲線.劉華勇等[6]構造了帶參數的二次三角樣條曲線擴展.在自由曲線曲面造型中, 一般以多項式為基函數構造參數曲線曲面,而三角函數空間具有一些獨特的性質，使得在三角函數空間中也能構造參數曲線曲面[7-14]. 但與曲線曲面的融合較為困難，且連續(xù)性不高[16-18].為了使自由曲線曲面在簡單的條件下具有相對較高的光滑融合，同時在不改變控制頂點的情況下可以修改曲線曲面的形狀，本文基于文獻[2]的思想，構造了帶形狀參數的有理三角Bézier基函數，基于該組基函數，定義了λRC-Bézier曲線曲面，并詳細討論了該曲線曲面光滑拼接的條件．

1　帶形狀參數的有理三角Bézier基函數的定義及其性質

定義1對于t∈[0,π/2]， ω1,ω2≥0，0≤λ1<1, 0<λ2≤1，記

(2)

為帶參數的有理三角Bézier基函數，簡稱為λRC-Bézier基函數.

性質1非負性：Bi(t;ω1,ω2,λ1,λ2)≥0,i=0,1,2,3;

性質3對稱性：當ω1=ω2,λ1+λ2=1時，滿足B3-i(t;ω1,ω2,λ1,λ2)=Bi(π/2-t;ω1,ω2,λ1,λ2),i=0,1;

性質4退化性：當ω1=ω2=1,λ1=0,λ2=1時，Bi(t;ω1,ω2,λ1,λ2)(i=0,1,2,3)退化為Ti(t)(i=0,1,2,3);

性質5端點性質：當t∈[0,π/2]時，為了書寫簡便，下式中的Bi(t;ω1,ω2,λ1,λ2)記為Bi(t).

進一步計算可知，

(1)當n為偶數，t=0時，有

[2-n2ω1+(n2-2)ω2]；

[2-n2ω1+(n2-2)ω2]；

(n-2)(n-1)]/

[2-n2ω1+(n2-2)ω2]；

[2-n2ω1+(n2-2)ω2].

t=π/2時，有

[2-n2ω2+(n2-2)ω1]；

[2-n2ω2+(n2-2)ω1]；

[2-n2ω2+(n2-2)ω1]；

(2)當n為奇數，t=0時，

t=π/2時，有

2　帶形狀參數的有理三角Bézier曲線的定義及其性質

定義2給定4個控制頂點Pi∈Rd(d=2,3;i=0,1,2,3)，t∈[0,π/2]，稱

(2)為帶參數的有理三角Bézier曲線，簡稱為λRC-Bézier曲線.

由λRC-Bézier基函數的性質，很容易得到λRC-Bézier曲線的性質：

性質6對稱性：由基函數的對稱性可知，如果保持λRC-Bézier曲線的控制頂點位置不變，只改變他們的先后次序，將得到的新曲線記作Q(t)，則有Q(t)=R(π/2-t). 曲線的對稱性表明，由相同控制多邊形定義的λRC-Bézier曲線是唯一的.

性質7凸包性和保凸性：由λRC-Bézier基函數的非負性和權性知,曲線B(t)是控制頂點的加權平均，其權因子為λRC-Bézier基函數，因此λRC-Bézier曲線完全在特征多邊形控制的凸包內.特征多邊形為凸時，相應的λRC-Bézier曲線也為凸的，即曲線具備凸包性.

性質8幾何不變性：曲線的外形由4個控制頂點的位置決定，與坐標系的選取無關.

性質9仿射不變性：對決定控制多邊形的曲線進行仿射變換后，所得到的曲線就是原曲線經過相同仿射變換后的曲線.

性質10端點性質：

由基函數的端點性質知，

R(0)=(1-λ1)P0+λ1P1=P0+λ1(P1-P0);

R(π/2)=(1-λ2)P2+λ2P3=P2+λ2(P3-P2).

由上式知，曲線插值于控制多邊形首邊P0P1上的某點比例為(1-λ1)∶λ1，末邊P2P3上的某點比例為(1-λ2)∶λ2.若λ1=0，則曲線插值于P0；若λ2=1，則曲線插值于P3.

同樣，經進一步計算，特別當n為奇數時，有

(3)

(4)曲線與控制多邊形的首邊相切且連續(xù)性更高，切點為多邊形首邊P0P1上的某點，比例為(1-λ1)∶λ1.若λ1=0，則切點為P0，同時曲線與控制多邊形的末邊相切，且連續(xù)性更高，切點為多邊形首邊P2P3上的某點，比例為(1-λ2)∶λ2；若λ2=1，則切點為P3.

性質11形狀可調性：帶有形狀參數的λRC-Bézier曲線，隨著參數ωi;λi(i=1,2)的改變，曲線會隨之變化，其插值位置也隨之不同,如圖1所示.

圖1　ω1,ω2,λ1,λ2取不同值時曲線的形狀變化Fig.1　Influence of the value of ω1,ω2,λ1,λ2 on curve

3　帶形狀參數的λRC-Bézier曲線融合

3.1帶形狀參數的λRC-Bézier曲線的拼接

證明由性質知：

所以曲線滿足G1連續(xù).

由端點性質，并經進一步計算，當n為奇數時，可知：

k=0,1,…，n；

其中，

所以曲線滿足G(2k+1)連續(xù).

圖2　帶形狀參數的λRC-Bézier曲線的拼接Fig.2　Joining λRC-Bézier curves with shape parameters

3.2帶形狀參數的λRC-Bézier曲線的組合

根據定理1所描述的性質，當給定任意的控制頂點時，可以定義包含多個形狀參數的分段的組合曲線，并且使得曲線在連接點處能自動達到光滑拼接,見圖2.

(5)

此組合λRC-Bézier曲線和三角樣條曲線具有一些共同點：4個控制頂點決定一段曲線；當給定控制頂點時，曲線在連接點處能自動達到光滑拼接；并且每段曲線都含有多個形狀參數，能決定該段曲線的形狀，且具有強局部性．但他們之間也有不同：三角樣條曲線在每段的拼接點處至多滿足C2連續(xù)，而組合λRC-Bézier曲線在拼接點處可以達到G2k+1連續(xù)；在相鄰2個曲線段之間，拼接的三角樣條曲線只有1個不相同的控制頂點，而組合的相鄰λRC-Bézier曲線段之間只有2個相同的控制頂點，因此需要的存儲空間更少；修改三角樣條曲線的其中1個控制頂點，至多可修改4條相鄰曲線段的外形，而修改組合λRC-Bézier曲線的其中1個控制頂點，至多可修改2條相鄰曲線段的外形，說明組合λRC-Bézier曲線比三角樣條曲線具有更強的局部性；在不改變控制頂點的情況下，三角樣條曲線無法對其進行形狀修改，但組合λRC-Bézier曲線中存在形狀控制參數，其形狀可根據設計者的需求自由調整，見圖3.

圖3　帶形狀參數的λRC-Bézier曲線的組合Fig.3　Combination of λRC-Bézier curves with different shape parameters

3.3帶形狀參數的λRC-Bézier曲線設計

圖4　閉合曲線構造的情形Fig.4　The case of closed curves

圖5　λRC-Bézier曲線和三次B樣條曲線的比較Fig.5　Comparison of λRC-Bézier curve with B- spline curve

4　帶形狀參數的λRC-Bézier曲面的定義及其性質

定義4給定一組16個控制頂點Pij∈R3(i,j=0,1,2,3)，u,v∈[0,π/2]，稱

Bj(v;ω1v,ω2vλ1v,λ2v)Pij

(6)

為帶形狀參數的λRC-Bézier曲面.

圖6　λ,ω取不同值時曲面的光滑融合Fig.6　Smooth blending of surfaces with different value of λ,ω

5　結　論

給出的λRC-Bézier曲線具有形狀可調性，在構造帶形狀參數函數時，曲線的拼接條件相對較簡單，且連續(xù)性相對較高．所以在相同拼接條件下，只需要簡單地修改形狀參數值就可以修改曲線的插值位置、連續(xù)性等．文中還給出了帶形狀參數的曲面的定義和一些實例，由這些定義知，λRC-Bézier曲線可以更好地控制曲面，且連續(xù)性較三角樣條方法高，雖然不需要考慮拼接等問題，但這些常用三角樣條的曲線曲面至多只能滿足C2連續(xù)，如果需要更高階連續(xù)，則必須由更高次三角樣條曲線曲面來解決，從而減弱了三角樣條曲線曲面的局部性．本文構造的組合拼接曲線曲面具有三角樣條不具備的一些優(yōu)點．

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Smooth blending of rational trigonometric Bézier curves and surfaces.

LIU Huayong, LI Lu, ZHANG Daming, XIE Xinping, WANG Huanbao

(SchoolofMathematic&Physics,AnhuiJianzhuUniversity,Hefei230601,China)

In order to achieve high level of smooth blending between the free form curves and surfaces in relatively simple conditions and easy shape adjustment of the curves and surfaces without changing their control vertices, a set of rational trigonometric Bézier basis functions with multiple shape parameters are constructed. Based on these basis functions, the rational trigonometric Bézier curves and surfaces with multiple shape parameters are defined, and the conditions for smooth joining of these curves and surfaces are derived. Following the above conditions of blending, the piecewise composite rational curves and surfaces with multiple shape parameters are defined, which automatically meet with the higher order continuity. The results of numerical examples show the effectiveness of the method.

trigonometric Bézier curve; blending; continuity; closed curves and surfaces

2015-08-10.

國家自然科學基金資助項目(61402010, 61471003); 安徽省高等學校自然科學研究項目(KJ2015A328; KJ2015JD16; KJ2016A151 ).

劉華勇(1972-)，ORCID:http://orcid:org/0000-0002-9330-1149，男，碩士，副教授，主要從事計算機輔助幾何設計研究,E-mail：aiaiwj@126.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2016.05.011

TP 391

A

1008-9497(2016)05-554-06