任艷麗, 張玖琳, 王　堯

(1. 南京曉莊學院 數(shù)學與信息技術(shù)學院, 江蘇 南京 211171; 2. 南京信息工程大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 江蘇 南京 210044)

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微分多項式環(huán)的半交換性和對稱性

任艷麗1, 張玖琳2, 王堯2

(1. 南京曉莊學院 數(shù)學與信息技術(shù)學院, 江蘇 南京 211171; 2. 南京信息工程大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 江蘇 南京 210044)

研究微分多項式環(huán)R[x;δ]和Ore擴張環(huán)R[x;α,δ]的廣義半交換性質(zhì)和廣義對稱性質(zhì),使用逐項分析方法證明了：設(shè)R是δ-Armendariz環(huán), 則R[x;δ]是詣零半交換環(huán)(弱半交換環(huán)、廣義弱對稱環(huán)、弱zip環(huán)、右弱McCoy環(huán))當且僅當R是詣零半交換環(huán)(弱半交換環(huán)、廣義弱對稱環(huán)、弱zip環(huán)、右弱McCoy環(huán));設(shè)R是弱2-素環(huán)和(α,δ)-條件環(huán),則R[x;α,δ]是詣零半交換環(huán)(分別地,弱半交換環(huán),廣義弱對稱環(huán)).

弱2-素環(huán);δ-Armendariz環(huán); (α,δ)-條件環(huán); 詣零半交換環(huán); 廣義弱對稱環(huán)

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):505-511

0　引　言

對于一個給定的環(huán), 文獻[9-10]討論了其斜多項式環(huán)的詣零半交換性和弱半交換性, 本文將在第1節(jié)討論其微分多項式環(huán)的詣零半交換性和弱半交換性.文獻 [11] 在δ-容許環(huán)和詣零半交換環(huán)的條件下研究了微分多項式環(huán)R[x;δ] 的弱 McCoy 性, 本文第2節(jié)將在δ-Armendariz 條件下繼續(xù)研究其微分多項式擴張的廣義弱對稱性、弱 zip 性和弱 McCoy 性. 文獻 [3] 證明了如果R是 (α,δ)-容許環(huán)、可逆環(huán), 則 Ore 擴張環(huán)R[x;α,δ]是弱對稱環(huán)當且僅當R是弱對稱環(huán). 本文第3節(jié)將在弱 2-素環(huán)和 (α,δ)-條件環(huán)下討論給定環(huán)的 Ore 擴張環(huán)R[x;α,δ] 的弱對稱性和詣零半交換性, 給出一般 Ore 擴張環(huán)R[x;α,δ] 是廣義弱對稱環(huán)的充要條件.

1　廣義半交換性

設(shè)δ:R→R是環(huán)R上的一個導(dǎo)子, 對?a∈R, 有

引理1設(shè)R是一個δ-Armendariz 環(huán),

(1) 如果對于某個正整數(shù)n,ab=cn=0, 則acb=0, 其中a，b，c∈R;

(2) 如果f1,f2, …,fn∈R[x;δ],f1f2…fn=0, 則a1a2…an=0, 其中,對?i，ai是fi的任意系數(shù);

(3) 如果a1a2…an=0, 則對?ai∈R, 任意的非負整數(shù)ri和n, 1≤i≤n,有δr1(a1)δr2(a2) …δrn(an)=0.

證明由文獻 [5] 中定理 2.7、命題 2.9 和引理 2.10 即知.

引理 2設(shè)R是一個δ-Armendariz 環(huán),

(1) 如果a∈ nil(R), 則對任意的正整數(shù)k，δk(a)∈ nil(R);

(2) 如果a∈ nil(R),b∈ nil(R), 則ab∈ nil(R);

(3) 如果a∈ nil(R),b∈ nil(R), 則a+b∈ nil(R).

證明(1)存在正整數(shù)n使得an=0. 由引理 1(3) 知，δk(a)δk(a)…δk(a)=0,故(δk(a))n=0, 從而δk(a)∈ nil(R).

(2)存在正整數(shù)m,n, 使得am=0,bn=0. 根據(jù)引理 1(1)，知abab…a=0, 于是有 (ab)m=0,ab∈ nil(R).

(3)不妨設(shè)am=0,bm=0. 下證 (a+b)2m=0. (a+b)2m的每一項可以表示為長度為 2m的單項式, 設(shè)為u1u2…u2m, 其中ui∈{a,b}.a和b中必有一個元素在此單項式里至少出現(xiàn)m次, 設(shè)a出現(xiàn)k≥m次, 則ak=0. 這樣,u1u2…u2m=b1ab2a…bkabk+1, 其中bj∈{bn|0≤n≤2m-k}, 1≤j≤k+1. 由于R是一個δ-Armendariz 環(huán),b∈ nil(R), 根據(jù)引理2(2),對任意的1≤j≤k+1，可得bj∈ nil(R). 由于ak=0, 再根據(jù)引理 1(1) 可推出ab2a…bka=0, 從而有b1ab2a…bkabk+1=0. 即證得(a+b)2m=0,a+b∈ nil(R).

定理1設(shè)R是δ-Armendariz 環(huán), 則 nil(R) 是R的一個子環(huán).

證明由引理 2 可得.

推論1設(shè)R是Armendariz 環(huán), 則 nil(R) 是R的一個子環(huán).

定理2設(shè)R是δ-Armendariz 環(huán), 則有 nil(R[x;δ])= nil(R)[x;δ].

由此可見, 多項式f(x)(n+1)k的每一單項式的系數(shù)都可以寫為形如

的和, 其中aij∈{a0,a1,…,an}, 1≤j≤(n+1)k,tp(2≤p≤(n+1)k),u和v是正整數(shù). 這里ai1δt2(ai2)…δt(n+1)k(ai(n+1)k) 中必有一個元素aj0(0≤j0≤n) 至少出現(xiàn)k次, 于是它又可以寫為

(δs1(aj0))j1(δs2(aj0))j2… (δsw(aj0))jw=0.

再由引理 1(1) 可以推出b1(δs1(aj0))j1b2(δs2(aj0))j2…bw(δsw(aj0))jwbw+1=0.

證得f(x)(n+1)k=0, 所以f(x)∈ nil(R[x;δ]).

推論2設(shè)R是Armendariz環(huán),則有nil(R[x])=nil(R)[x].

定理3設(shè)R是δ-Armendariz 環(huán), 則R[x;δ] 是詣零半交換環(huán)當且僅當R是詣零半交換環(huán).

證明充分性. 設(shè)f(x)g(x)∈ nil(R[x;δ]), 則存在正整數(shù)k使得 (f(x)g(x))k=0. 由引理 1(2) 知 (aibj)k=0, 對任意的0≤i≤n, 0≤j≤m, 即有aibj∈ nil(R). 由于R是詣零半交換環(huán), 所以對任意的r∈R, 有airbj∈ nil(R), 即存在正整數(shù)h使得 (airbj)h=airbjairbj…airbj=0. 根據(jù)引理 1(3), 對任意正整數(shù)s和t, 可推出

aiδs(r)δt(bj)aiδs(r)δt(bj) …aiδs(r)δt(bj)=

(aiδs(r)δt(bj))h=0,aiδs(r)δt(bj)∈ nil(R).

由定理 1, nil(R) 是R的一個子環(huán), 從而有 ∑aiδs(r)δt(bj)∈ nil(R), 因此對任意的h(x)∈R[x;δ], 有f(x)h(x)g(x)∈ nil(R)[x;δ]. 再由定理 2, 有f(x)h(x)g(x)∈ nil(R[x;δ]), 故R[x;δ] 是詣零半交換環(huán).

必要性. 由詣零半交換環(huán)的子環(huán)仍是詣零半交換環(huán)即得.

推論3設(shè)R是Armendariz 環(huán), 則R[x] 是詣零半交換環(huán)當且僅當R是詣零半交換環(huán).

定理4設(shè)R是δ-Armendariz 環(huán), 則R[x;δ] 是弱半交換環(huán)當且僅當R是弱半交換環(huán).

aiδs(r)δt(bj)aiδs(r)δt(bj)…aiδs(r)δt(bj)=

(aiδs(r)δt(bj))k=0,aiδs(r)δt(bj)∈ nil(R),

對任意正整數(shù)s和t. 再由定理 1 知

∑aiδs(r)δt(bj)∈ nil(R).

于是,對任意的h(x)∈R[x;δ],有

f(x)h(x)g(x)∈nil(R)[x;δ].

據(jù)定理2,有

f(x)h(x)g(x)∈nil(R[x;δ]),

因此R[x;δ]是弱半交換環(huán).

必要性. 由弱半交換環(huán)的子環(huán)仍是弱半交換環(huán)立得.

推論4設(shè)R是Armendariz 環(huán), 則R[x] 是弱半交換環(huán)當且僅當R是弱半交換環(huán).

引理3[5]設(shè)R是δ-Armendariz 環(huán), 則有J(R[x;δ])= nil*(R)[x;δ].

定理5設(shè)R是δ-Armendariz 環(huán). 如果R還是 NJ 環(huán), 則R[x;δ] 是 J-半交換環(huán).

2　廣義弱對稱性、弱zip性和弱McCoy性

定理6設(shè)R是δ-Armendariz環(huán),則R[x;δ]是廣義弱對稱環(huán)當且僅當R是廣義弱對稱環(huán).

必要性.由廣義弱對稱環(huán)的子環(huán)仍是廣義弱對稱環(huán)立得.

定理7設(shè)R是δ-Armendariz 環(huán), 則R[x;δ] 是弱 zip 環(huán)當且僅當R是弱 zip 環(huán).

證明充分性. 設(shè)X?R[x;δ] 滿足NR[x;δ](X)? nil(R[x;δ]). 以下以CX表示X中一切多項式的系數(shù)的集合. 下證NR(CX)? nil(R).

Δ0+Δ1x+…+Δsxs+…+Δmxm.由nil(R)是R的一個子環(huán)知,對任意的0≤j≤m,Δj∈nil(R).因此,根據(jù)定理2可得f(x)r∈nil(R[x;δ]).于是有r∈NR[x;δ](X)?nil(R[x;δ]),從而有NR(CX)?nil(R).已知R是弱zip環(huán),存在一個有限子集Y′?CX滿足NR(Y′)?nil(R).由CX的定義,對任意的b∈Y′,一定存在多項式gb(x)∈X使得gb(x)的某個系數(shù)是b.取X′是X的一個極小子集,使其滿足對任意的b∈Y′,有g(shù)b(x)∈X′.X′是X的一個有限子集.顯然Y′?CX′,因此NR(CX′)?NR(Y′)?nil(R).

再證NR[x;δ](X′)?nil(R[x;δ]).

定理8設(shè)R是δ-Armendariz環(huán),則R[x;δ]是右弱McCoy環(huán)當且僅當R是右弱McCoy環(huán).

Δ0+Δ1x+…+Δtxt+…+Δpixpi,

由定理1知，對任意的0≤j≤pi,Δj∈nil(R).于是,由定理2可得對任意的0≤i≤m,fir∈nil(R[x;δ]).所以R[x;δ]是右弱McCoy環(huán).

3　Ore擴張的詣零半交換性和廣義弱對稱性

引理6設(shè)R是弱2-素環(huán)和(α,δ)-條件環(huán),

(1)對任意的整數(shù)0≤i≤n，如果f(x)=a0+a1x+…+anxn,則f(x)∈nil(R[x;α,δ])當且僅當ai∈nil(R);

(2)對任意a,b∈R和正整數(shù)m,如果aαm(b)∈nil(R),則ab∈nil(R).

nil(R)[x;α,δ],

其中h2(x)∈R[x;α,δ]且次數(shù)低于(n-1)k,從而有an-1αn-1(an-1)…α(k-1)(n-1)(an-1)∈nil(R).利用R的(α,δ)-條件,可推出an-1∈nil(R).依此類推,對任意的0≤i≤n,最后可得ai∈nil(R).

(2)設(shè)aαm(b)∈ nil(R), 其中m是正整數(shù), 則有αm(b)a∈ nil(R). 由引理 5 可得αm(b)αm(a)∈ nil(R). 因為R是弱 2-素環(huán), 從而 nil(R) 是R的一個理想, 所以baαm(ba)∈ nil(R). 由R是弱α-剛性環(huán), 又有ba∈ nil(R), 因此ab∈ nil(R).

(1) 對任意的 0≤i≤m, 0≤j≤n，有f(x)g(x)∈ nil(R[x;α,δ]) 當且僅當aibj∈ nil(R);

(2) 對任意的 0≤i≤m, 0≤j≤n，有f(x)g(x)c∈ nil(R[x;α,δ]) 當且僅當aibjc∈ nil(R);

(3) 對任意的 0≤i≤m, 0≤j≤n, 0≤k≤p,有f(x)g(x)h(x)∈ nil(R[x;α,δ]) 當且僅當aibjck∈ nil(R).

證明(1) 必要性. 設(shè)f(x)g(x)∈ nil(R[x;α,δ]), 對于

…+amαm(bn)xm+n=

Δ0+Δ1x+…+Δkxk…+Δm+nxm+n,

bnam-1αm-1(bn)αm-1(am-1)∈ nil(R),

利用引理7(1)、引理5和引理6(2),類似文獻[3]定理2.11的證明，可證得引理7(2)和(3).

文獻[6]在(α,δ)-條件環(huán)和可逆環(huán)下研究了Ore擴張的弱zip性質(zhì),本文在(α,δ)-條件環(huán)和弱2-素環(huán)下，研究Ore擴張的詣零半交換性和弱對稱性.

定理9設(shè)R是弱2-素環(huán)和(α,δ)-條件環(huán),則R[x;α,δ]是詣零半交換環(huán).

推論5設(shè)R是弱2-素環(huán)和(α,δ)-條件環(huán),則R[x;α,δ]是弱半交換環(huán).

定理10設(shè)R是弱2-素環(huán)和(α,δ)-條件環(huán),則R[x;α,δ]是弱對稱環(huán)當且僅當R是弱對稱環(huán).

證明因為弱對稱環(huán)的子環(huán)仍是弱對稱環(huán),必要性顯然成立.下證充分性.

推論6[3]設(shè)R是可逆環(huán)和 (α,δ)-條件環(huán), 則R[x;α,δ] 是弱對稱環(huán)當且僅當R是弱對稱環(huán).

定理11設(shè)R是對稱環(huán)和 (α,δ)-條件環(huán), 則R[x;α,δ] 是廣義弱對稱環(huán).

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The semicommutativity and symmetry of differential polynomial rings.

REN Yanli1, ZHANG Jiulin2, WANG Yao2

(1.SchoolofMathematicsandInformationTechnology,NanjingXiaozhuangUniversity,Nanjing211171,China; 2.SchoolofMathematicsandStatistics,NanjingUniversityofInformationScienceandTechnology,Nanjing210044,China)

This paper investigates the generalized semicommutativity and generalized symmetry of the differential polynomial rings and Ore extensions of a ring. By using the itemized analysis method on polynomials, we proved that ifRisδ-Armendariz ring, thenR[x;δ] is nil-semicommutative ring (resp., weakly semicommutative, generalized weak symmetry (GWS), weak zip, right weak McCoy) if and only ifRis nil-semicommutative ring (resp., weakly semicommutative, GWS, weak zip, right weak McCoy). Moreover, ifRis a weakly 2-primal and (α,δ)-condition ring, thenR[x;α,δ] is nil-semicommutative ring (resp., weakly semicommutative, GWS).

weakly 2-primal ring;δ-Armendariz ring; (α,δ)-condition ring; nil-semicommutative ring; generalized weak symmetry ring

2015-11-20.

國家自然科學基金資助項目(11071097)；江蘇省自然科學基金資助項目(BK20141476).

任艷麗(1965-),ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2439-6172,女,碩士,教授,主要從事環(huán)論研究,E-mail:renyanlisx@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2016.05.001

O 153.3

A

1008-9497(2016)05-505-07