谷勇霞　張玉玲　趙杰亮　閻紹澤

1.北京工商大學(xué)，北京，100048　2.清華大學(xué)摩擦學(xué)國家重點實驗室，北京，100084

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漂浮基空間機械臂動力學(xué)問題研究進展

谷勇霞1張玉玲1趙杰亮2閻紹澤2

1.北京工商大學(xué)，北京，1000482.清華大學(xué)摩擦學(xué)國家重點實驗室，北京，100084

空間機械臂的載體處于自由漂浮狀態(tài)，載體與機械臂之間存在運動學(xué)與動力學(xué)耦合行為，導(dǎo)致其運動學(xué)、動力學(xué)分析與控制比地面機械臂復(fù)雜得多，而建立精確的動力學(xué)模型和高效的控制策略是空間機械臂研究的重點與難點。對空間機械臂動力學(xué)建模方法及精細動力學(xué)建模進行了詳細綜述；總結(jié)了姿態(tài)調(diào)整運動規(guī)劃、非完整路徑規(guī)劃及避奇異位形路徑規(guī)劃等運動規(guī)劃方法；概述了空間機械臂捕獲目標過程的碰撞動力學(xué)建模和控制策略研究。在此基礎(chǔ)上指出了當前空間機械臂在動力學(xué)建模與控制方面存在的問題與不足，并對有待于進一步研究的若干問題進行了展望。

空間機械臂；動力學(xué)建模；捕獲目標；接觸碰撞

1　漂浮基空間機械臂簡介

空間機械臂作為航天器上一種重要的在軌服務(wù)工具，可以完成釋放/回收衛(wèi)星、在軌監(jiān)測和空間站的在軌裝配、維修等各種任務(wù)，大大提高了宇航員的艙外工作能力及在軌操作的安全性，因此具有強大的實用性和廣闊的應(yīng)用前景[1]。自20世紀80年代以來，以美國為首，加、俄、德、日等國都相繼掌握了空間機械臂技術(shù)，如加拿大和NASA聯(lián)合研制的移動服務(wù)系統(tǒng)(MSS)、加拿大機械臂Canadarm以及Canadarm2、歐洲機械臂(ERA)、日本工程試驗衛(wèi)星-VII(ETS-VII)等。我國也在空間機械臂的基礎(chǔ)研究和演示項目方面展開了大量的研究[2]。

圖1　自由漂浮空間機械臂的結(jié)構(gòu)圖

自由漂浮空間機械臂(圖1)包含機械臂載體(衛(wèi)星等航天器)、搭載于載體上的若干機械臂及末端執(zhí)行器，其載體的位置和姿態(tài)不受主動控制，系統(tǒng)處于自由漂浮狀態(tài)，有效降低了空間控制燃料的消耗，延長了衛(wèi)星的使用壽命[3]，因此在目前空間機械臂研究領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注。但是，自由漂浮空間機械臂與載體之間存在動力學(xué)耦合，即在微重力的環(huán)境下，當空間機械臂運動時，會對載體的位置和姿態(tài)產(chǎn)生干擾，導(dǎo)致載體的位置和姿態(tài)發(fā)生變化，而載體位置和姿態(tài)的改變反過來又影響機械臂的位置和姿態(tài)。由此可知，空間機械臂是一個多輸入多輸出非線性系統(tǒng)，具有時變、強耦合和非線性等動力學(xué)特性[4]。同時，空間機械臂系統(tǒng)中存在很多不確定的系統(tǒng)參數(shù)，如系統(tǒng)構(gòu)件的質(zhì)量、質(zhì)心位置及慣性矩，載體燃料的消耗和外部干擾等，導(dǎo)致無法獲得精確、完整的動力學(xué)模型，而精確的空間機械臂動力學(xué)模型是實現(xiàn)軌跡精確控制的前提，對基于模型控制策略的研究尤為重要[5-6]。因此，建立精細完整的動力學(xué)模型是空間機械臂研究的關(guān)鍵。

空間機械臂在完成空間操作任務(wù)的過程中，機械臂末端將不可避免地與被捕獲目標接觸，在捕獲的過程中會與目標產(chǎn)生碰撞沖擊，使空間機械臂系統(tǒng)發(fā)生翻轉(zhuǎn)、位置漂移和關(guān)節(jié)角劇烈變化等，甚至導(dǎo)致操作任務(wù)失敗[7]。雖然目前許多國內(nèi)外學(xué)者在空間機械臂的運動規(guī)劃和軌跡跟蹤控制方面進行了大量的研究[8-9]，但是這些控制策略主要針對的是空間機械臂由于不確定參數(shù)和外部干擾等導(dǎo)致的軌跡誤差，并未涉及接觸碰撞問題，而關(guān)于空間機械臂捕獲過程中接觸碰撞方面的控制研究較少。通過分析碰撞沖擊對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，可以為空間機械臂捕獲目標衛(wèi)星的操作提供一定參考，因此，研究空間機械臂捕獲目標衛(wèi)星過程的接觸碰撞問題具有重要意義。

2　空間機械臂動力學(xué)建模研究

建立精確的動力學(xué)模型是空間機械臂分析、控制及設(shè)計的關(guān)鍵，而空間機械臂工作在微重力環(huán)境下，整個系統(tǒng)處于漂浮狀態(tài)，導(dǎo)致其具有運動學(xué)與動力學(xué)耦合、非完整約束、奇異性等特性，使動力學(xué)建模比較困難。另外，由于燃料消耗的限制，空間機械臂的剛度比要比地面固定基座機械臂的剛度比小得多，整個系統(tǒng)的柔性特點更為明顯，進一步增加了建模的難度。

2.1空間機械臂動力學(xué)建模方法

國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對機械臂的動力學(xué)建模進行了比較深入的研究，但是重點集中于地面固定基座機械臂，主要建模方法有牛頓-歐拉矢量力學(xué)法、Lagrange方程分析力學(xué)法及兼具矢量力學(xué)法與分析力學(xué)法的Kane方法[10]，這些方法可以擴展應(yīng)用到空間機械臂系統(tǒng)。隨后，針對空間機械臂系統(tǒng)出現(xiàn)了虛擬機械臂(virtual manipulator, VM)法和等價機械臂(dynamically equivalent manipulator, DEM)法。

2.1.1經(jīng)典動力學(xué)建模方法

Papadopoulos等[11]已經(jīng)證明在知道慣性參數(shù)的條件下，地面固定基座機械臂系統(tǒng)的分析方法幾乎都適用于空間機械臂系統(tǒng)，因此很多學(xué)者基于牛頓-歐拉法、Lagrange方法、Kane方法等經(jīng)典動力學(xué)方法對自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)進行動力學(xué)建模[12]。牛頓-歐拉法通過推導(dǎo)單個物體的動力學(xué)平衡方程而得到整體系統(tǒng)的動力學(xué)方程，方程之間存在內(nèi)力項，對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的系統(tǒng)，求解難度較大。Lagrange方法主要計算整個系統(tǒng)的動能和勢能，再通過Lagrange方程得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程，計算比較復(fù)雜。Kane方法以廣義速率代替廣義坐標作為獨立變量來描述運動，結(jié)合虛功率形式的普遍動力學(xué)方程求出整個系統(tǒng)的動力學(xué)方程，無需計算偏導(dǎo)數(shù)，具有計算量上的優(yōu)勢。

Lagrange方法的Lagrange方程為

(1)

式中，L、T、V、Qj分別為拉格朗日函數(shù)、系統(tǒng)總動能、系統(tǒng)總勢能、非有勢力;q為廣義坐標向量。

與地面機械臂相比，空間機械臂在應(yīng)用上述方法建模的過程中需要考慮線動量守恒的完整約束及角動量守恒的非完整約束，對于Lagrange方法，在忽略重力的影響下，其勢能V為零。Santini等[13]對空間環(huán)境下牛頓-歐拉方法和Lagrange方法進行了對比，牛頓-歐拉法可以更好地理解物理意義，而Lagrange方法便于后續(xù)控制系統(tǒng)的設(shè)計。

2.1.2虛擬機械臂建模方法

雖然經(jīng)典動力學(xué)建模方法可以對空間機械臂系統(tǒng)進行動力學(xué)建模，但空間機械臂系統(tǒng)的自由度往往較多，而牛頓-歐拉法和Lagrange方法的運算量隨著系統(tǒng)自由度數(shù)的增大呈3次方增大，Kane方法的運算量隨系統(tǒng)自由度數(shù)的增大呈2次方增大[14]，計算難度較大。Vafa等[15]提出的虛擬機械臂概念有效簡化了空間機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)分析，同時減少了載體與機械臂之間的干擾。

虛擬機械臂(VM)基于空間機械臂系統(tǒng)的線動量和角動量守恒，根據(jù)系統(tǒng)的總質(zhì)心在機械臂任意運動過程中始終保持不變來建立動力學(xué)模型。虛擬機械臂(圖2)是一個包含虛擬基座和實際機械臂上任意一點的無質(zhì)量理想運動鏈，虛擬基座位于整個系統(tǒng)的質(zhì)心，在不受外力的條件下其位置保持不變，而且虛擬機械臂關(guān)節(jié)的運動方向與真實機械臂保持一致，這樣就可以將自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)用基座固定的機械臂系統(tǒng)來代替，由此，地面機械臂系統(tǒng)的分析方法和控制算法都可以應(yīng)用到空間機械臂系統(tǒng)[15]。Vafa等[15-16]采用VM對單臂、多臂、開鏈及閉鏈自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)建立了動力學(xué)模型，雖然簡化了運動學(xué)的計算，但不能確定載體和實際機械臂上各部分的運動情況。

圖2　虛擬機械臂

2.1.3等價機械臂建模方法

在虛擬機械臂的基礎(chǔ)上，Liang等[17-18]提出了等價機械臂方法,對自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)進行動力學(xué)建模，且確定了載體和機械臂上各部分的運動情況。等價機械臂(DEM)(圖3)將空間機械臂系統(tǒng)等價成一個實際可以建造出來的地面固定基座機械臂，其關(guān)節(jié)用一個被動的球形關(guān)節(jié)來代替，其動力學(xué)行為和實際關(guān)節(jié)是等價的[16]。Parlaktuna等[19]基于DEM方法建立了自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)動力學(xué)模型，并采用自適應(yīng)控制方法跟蹤關(guān)節(jié)軌跡，仿真結(jié)果表明軌跡誤差為零。

利用DEM建模時，同樣可以將地面固定基座的機械臂系統(tǒng)的分析方法和控制策略應(yīng)用到空間機械臂系統(tǒng)中。DEM方法繼承了虛擬機械臂的優(yōu)點，但是它需要進行大量的前期處理，計算量大大增加。

圖3　等價機械臂

另外，Umetani等[20]基于線動量和角動量守恒方程，提出了反映FFSR工作空間與關(guān)節(jié)空間運動速度關(guān)系的廣義雅可比矩陣GJM。GJM以質(zhì)心為參考來建立，不具有通用性，且與空間機械臂系統(tǒng)的幾何參數(shù)和各部分質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量等慣性參數(shù)均有關(guān)，而空間機械臂在工作過程中，載荷變換及燃料的消耗導(dǎo)致上述參數(shù)發(fā)生變化，因此需要實時辨識這些參數(shù)，這也是GJM的應(yīng)用受到限制的主要原因。

2.2空間機械臂精細動力學(xué)建模研究

與地面固定基座機械臂相比，空間機械臂質(zhì)量較小、結(jié)構(gòu)尺寸較大、負載比較大，其臂桿柔性更為明顯，而且機械臂與電機之間也不是絕對剛性連接，即關(guān)節(jié)也具有柔性。另外，機械臂關(guān)節(jié)中還存在摩擦、阻尼、間隙等非線性因素，都會影響機械臂的動力學(xué)行為，也增加了動力學(xué)建模的難度[21]，即使針對地面固定基座的機械臂，考慮上述全部因素的動力學(xué)模型也很少，所以，對于自由漂浮空間機械臂的精細動力學(xué)建模還有待于進一步研究。

2.2.1基于柔性臂桿的動力學(xué)建模研究

早期為了簡化動力學(xué)建模，研究者假定空間機械臂的載體及臂桿都為剛體[22]。隨著對機械臂高精度的要求，機械臂大范圍的剛性運動與柔性臂桿的小位移彈性變形之間的耦合已不容忽視。在考慮臂桿柔性時，就需要對臂桿進行變形描述，目前主要有有限元法、假設(shè)模態(tài)法、有限段法、集中質(zhì)量法，王樹新等[23]對上述方法進行了詳細的總結(jié)。對于地面固定基座機械臂，考慮臂桿柔性的動力學(xué)模型已趨于成熟，將變形描述方法與牛頓-歐拉、Lagrange方程、Kane方法結(jié)合，出現(xiàn)了多種動力學(xué)建模方法，但其所表征的系統(tǒng)特征和分析結(jié)果都是等價的[24]。

雖然自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)分析遠比地面基座固定機械臂系統(tǒng)復(fù)雜，但基于柔性臂桿的動力學(xué)建模也取得了一定的進展。Yang等[25]采用假設(shè)模態(tài)法和Lagrange方程建立了自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并采用復(fù)合滑?？刂品椒ㄒ种普駝蛹斑M行軌跡跟蹤。Pisculli等[26]將有限元法與Newton-Euler法和Euler-Lagrange法相結(jié)合建立空間柔性體的動力學(xué)模型，然后采用雅可比轉(zhuǎn)置控制策略控制整個系統(tǒng)。我國學(xué)者陳力及其科研團隊對自由漂浮柔性空間機械臂的動力學(xué)建模進行了大量的研究，主要采用假設(shè)模態(tài)法和Lagrange方程結(jié)合，然后采用奇異攝動、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制、自適應(yīng)控制及魯棒控制等方法抑制振動及進行軌跡跟蹤[27-28]。2.2.2基于柔性關(guān)節(jié)的動力學(xué)建模研究

關(guān)節(jié)是空間機械臂的核心部件，Kircanski等[29]指出機械臂系統(tǒng)諧振主要來源于關(guān)節(jié)柔性，導(dǎo)致軌跡產(chǎn)生偏差。早期在研究地面固定基座機械臂系統(tǒng)時，為了突出臂桿柔性，將關(guān)節(jié)簡化為理想鉸鏈，忽略關(guān)節(jié)的影響，隨著對機械臂性能要求的不斷提高，研究者將關(guān)節(jié)簡化為線性扭轉(zhuǎn)彈簧、彈簧-阻尼器、柔性轉(zhuǎn)子梁模型，但是這些簡化模型都是基于關(guān)節(jié)小變形假設(shè)的，也不能全面反映動力學(xué)特性[21]。

為了細化關(guān)節(jié)動力學(xué)模型，許多學(xué)者分別針對諧波齒輪傳動和行星齒輪傳動的關(guān)節(jié)進行了分析，研究摩擦、非線性剛度、間隙等對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，建立了較為精細的機械臂系統(tǒng)動力學(xué)模型[30]。于登云等[21]針對基座固定的機械臂系統(tǒng)，對簡化關(guān)節(jié)動力學(xué)模型及細化關(guān)節(jié)動力學(xué)模型的特點和研究進展作了詳細分析，對自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)的建模具有重要的借鑒價值。

關(guān)于自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)的柔性關(guān)節(jié)動力學(xué)建模研究較少，考慮摩擦、阻尼、間隙的精細動力學(xué)模型更少，目前的關(guān)節(jié)動力學(xué)建模主要將關(guān)節(jié)簡化為線性扭轉(zhuǎn)彈簧，如圖4所示。Yu等[31]基于這種關(guān)節(jié)簡化模型，采用假設(shè)模態(tài)法和Lagrange方程建立了自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)動力學(xué)模型，并設(shè)計了觀測器型增廣自適應(yīng)控制器來抑制關(guān)節(jié)和臂桿的振動并跟蹤軌跡。謝立敏等[32]也利用這種關(guān)節(jié)模型，并用系統(tǒng)動量、動量矩守恒和Lagrange方程建立漂浮基空間機械臂系統(tǒng)動力學(xué)模型，最后基于奇異攝動法控制算法對振動進行主動抑制。Yu等[33]直接采用Lagrange方程對含柔性臂桿和柔性關(guān)節(jié)的漂浮基空間機械臂系統(tǒng)進行建模，考慮了關(guān)節(jié)的剛度，其分析原理與上述模型相同。

圖4　關(guān)節(jié)簡化模型

與地面固定基座機械臂類似，上述簡化模型無法全面反映關(guān)節(jié)的動力學(xué)特性，Nanos等[34]在上述模型的基礎(chǔ)上又考慮了關(guān)節(jié)阻尼、減速比，用Lagrange方程建立了系統(tǒng)的動力學(xué)方程，并分析了關(guān)節(jié)對角動量的影響，最后通過靜態(tài)反饋控制器實現(xiàn)了末端軌跡的高精度跟蹤。Zhao等[35]在ADMAS仿真軟件的基礎(chǔ)上，用非線性等效彈簧阻尼模型代替關(guān)節(jié)間隙接觸動力學(xué)模型并考慮庫侖摩擦力，對自由漂浮空間機械臂進行了動力學(xué)仿真，但未建立理論模型。因此，為了真實反映機械臂關(guān)節(jié)的動力學(xué)特性，細化關(guān)節(jié)動力學(xué)模型，對自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型還需要深入研究。

3　空間機械臂的運動規(guī)劃研究

空間機械臂因工作在特殊的環(huán)境中，其運動學(xué)與動力學(xué)耦合引起載體和機械臂之間位置與姿態(tài)的干擾，影響機械臂末端軌跡的精度，角動量守恒方程不可積性導(dǎo)致整個系統(tǒng)呈現(xiàn)非完整特性，且在動力學(xué)奇異點處可能無法實現(xiàn)某些運動，因此需要對上述問題進行運動規(guī)劃以實現(xiàn)期望軌跡的運動。

3.1姿態(tài)調(diào)整運動規(guī)劃研究

空間機械臂與地面機械臂最重要的區(qū)別在于其載體不是固定的，比地面機械臂增加了6個自由度，且機械臂的運動會引起載體的運動，而載體的運動又反過來干擾機械臂的運動，即空間機械臂與載體之間存在著運動學(xué)和動力學(xué)耦合，導(dǎo)致機械臂的工作空間減小[36]。另外，為了保證機械臂載體上的通信裝置能夠正常工作，通常要求機械臂在運動過程中對載體的姿態(tài)干擾最小。

針對自由漂浮空間機械臂載體位置和姿態(tài)的不同要求，整個系統(tǒng)包含四種工作模式：①基座位姿固定模式；②自由飛行模式；③基座姿態(tài)受控模式；④自由漂浮模式。Dubowsky等[37]對上述四種工作模式作了詳細介紹，其中基座位姿固定模式通過補償器補償機械臂對載體的干擾，在這種工作模式下，地面機械臂的控制方法都適用于空間機械臂，但是大量燃料的消耗大大縮短了系統(tǒng)的壽命。Dubowsky等[38]提出的增強擾動圖(EDM)路徑規(guī)劃方法可以獲取擾動小的最優(yōu)路徑，有效減少了燃料的消耗，延長了空間機械臂系統(tǒng)的使用壽命。自由飛行模式通過火箭推進器主動控制載體的位置實現(xiàn)期望的軌跡運動，而不主動控制載體的姿態(tài)。這種工作模式增加了系統(tǒng)的自由度，擴大了工作空間，在一定程度上降低了燃料的消耗。Jiang等[39]針對自由飛行空間機械臂，提出了一種自適應(yīng)雅可比矩陣力/位置跟蹤控制方法，該方法保證了最大穩(wěn)定誤差及最小收斂速率等性能指標。基座姿態(tài)受控模式主要通過安裝在載體與關(guān)節(jié)上的噴氣裝置或反作用輪來主動控制載體的姿態(tài)，而不控制其位置，在控制過程中也需要消耗一定的控制燃料。該模式比其他工作模式更為常用，Longman等[40]針對這種模式，通過計算安裝于載體上的反應(yīng)輪所需的力矩實現(xiàn)載體姿態(tài)的控制。自由漂浮模式對空間機械臂載體的位置和姿態(tài)都不進行主動控制，最大程度地降低了燃料的消耗，但載體與機械臂之間存在動力學(xué)耦合，其動力學(xué)控制比地面機械臂復(fù)雜得多，而Papadopoulos等[11]證明了在已知載體方位及避免動力學(xué)奇異性的條件下，地面機械臂的控制方法也適用于空間機械臂。

目前，關(guān)于地面機械臂的動力學(xué)控制方法研究已取得顯著成果，有以PID、計算力矩控制為代表的經(jīng)典控制方法，以魯棒控制、自適應(yīng)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制等為代表的現(xiàn)代控制方法，以模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、遺傳算法為代表的智能控制算法[41-42]。PID控制結(jié)構(gòu)簡單，屬于線性控制，且易與其他控制方法結(jié)合構(gòu)成復(fù)合控制系統(tǒng)以改善PID控制的性能，如自適應(yīng)PID控制、模糊PID控制及神經(jīng)PID控制等[43]。計算力矩控制方法利用機械臂的動力學(xué)模型，在控制回路中引入非線性補償，實現(xiàn)整個系統(tǒng)的近似線性化，但其控制性能依賴于動力學(xué)模型的精確程度[38]。由于受到建模誤差和外界干擾等的影響，空間機械臂的系統(tǒng)參數(shù)往往存在不確定性，許多學(xué)者采用魯棒控制、自適應(yīng)控制等方法解決上述問題。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能控制方法因具有一定的容錯性及較強的學(xué)習(xí)能力而成為目前研究的重點[41]。Zhang等[44]針對自由漂浮空間機械臂的模型不確定性及外部干擾，提出了基于自適應(yīng)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出反饋控制方法，有效提高了控制精度。Shi等[45]采用一種非線性直接自適應(yīng)輸出控制方法對航天器的姿態(tài)進行控制，無需未知慣性矩的在線估計。陳力團隊針對上述問題也作了大量的研究[46-47]。

3.2非完整路徑規(guī)劃研究

自由漂浮空間機械臂的載體自由浮動，整個系統(tǒng)的動量及動量矩守恒，且因動量矩守恒方程具有不可積性，故系統(tǒng)呈現(xiàn)非完整動力學(xué)特性[48]。假設(shè)空間機械臂系統(tǒng)包含衛(wèi)星載體和n個自由度的機械臂，在不受外力和外力矩的條件下，由動量守恒定律可得自由漂浮空間機械臂運動學(xué)方程為[49]

(2)

式中，p、lb分別為載體質(zhì)心的線動量和角動量；vb、ωb分別為載體的線速度和角速度；θ為關(guān)節(jié)坐標向量；Mv、Mω、Mvω為組合剛體的慣性子矩陣；Mvm、Mωm為載體與機械臂之間的動力學(xué)耦合慣性子矩陣。

假定系統(tǒng)的初始動量為零，則角動量守恒可以表示為

(3)

式(3)中右邊的第一項為載體旋轉(zhuǎn)引起的部分角動量，第二項除了包含載體旋轉(zhuǎn)引起的部分角動量外，還包含機械臂運動引起的角動量。由式(3)可得載體質(zhì)心角速度與關(guān)節(jié)角速度的關(guān)系:

(4)

若采用Z-Y-X歐拉角表示載體姿態(tài)角，則載體姿態(tài)角速度與歐拉角速度的關(guān)系為[50]

(5)

式中，α，β，γ為關(guān)于Z-Y-X的姿態(tài)歐拉角；JE、Ψ分別為變換矩陣、姿態(tài)歐拉角向量。

當JE非奇異時，由式(4)和式(5)可得歐拉角速度與關(guān)節(jié)角速度之間的關(guān)系：

(6)

由式(6)可得載體姿態(tài)角微分量與關(guān)節(jié)角微分量之間的關(guān)系：

(7)

含有n個自由度機械臂的自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)需要n+6個變量進行描述，通過消除線動量守恒的完整約束，則整個系統(tǒng)成為可用n+3個變量對運動特征進行描述的非完整系統(tǒng)，盡管只有n個變量為獨立變量，但通過合適的路徑規(guī)劃，可以使n+3個變量收斂到期望值[50]。

根據(jù)式(7)，機械臂對載體姿態(tài)角的擾動僅與關(guān)節(jié)運動軌跡相關(guān)，因此通過對關(guān)節(jié)運動軌跡相關(guān)的n個變量進行合理規(guī)劃可使整個系統(tǒng)的n+3個變量收斂到期望值，即可利用自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)的非完整特性進行非完整路徑規(guī)劃。Nakamura等[51]利用自由飛行空間機械臂系統(tǒng)的非完整冗余特性，通過引入分層李雅普諾夫函數(shù)的概念，對末端執(zhí)行器的軌跡進行了規(guī)劃。

Xu等[52]利用自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)的非完整特性來規(guī)劃關(guān)節(jié)軌跡，先采用正弦函數(shù)對關(guān)節(jié)軌跡參數(shù)化，再用遺傳算法尋找最優(yōu)參數(shù)，仿真結(jié)果驗證了方法的有效性。Liu等[53]分析了七自由度自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)的非完整特性，并采用粒子群優(yōu)化結(jié)合微分進化算法實現(xiàn)了末端執(zhí)行器期望的位置和方向。

目前，基于自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)的非完整特性進行路徑規(guī)劃的方法已取得顯著成果，徐文福等[54]對各種非完整路徑規(guī)劃方法進行了詳細的總結(jié)。

3.3避奇異位形路徑規(guī)劃研究

基于動量守恒方程的約束，自由漂浮空間機械臂的速度級運動學(xué)方程可表示為[54]

(8)

其中，ve、ωe分別為機械臂末端的線速度和角速度；Jg(Ψ,θ,mi,Ii)為空間機械臂系統(tǒng)的廣義雅可比矩陣，它是載體姿態(tài)Ψ、關(guān)節(jié)坐標向量θ、各剛體質(zhì)量mi、慣量Ii的函數(shù)。當Jg不可逆時，空間機械臂系統(tǒng)在某些點處就不能獲得某些方向上的瞬時運動，與地面固定機械臂不同，這些點不僅與系統(tǒng)的運動學(xué)參數(shù)有關(guān)，還與系統(tǒng)的動力學(xué)慣性參數(shù)有關(guān)，因此稱為動力學(xué)奇異點。空間機械臂系統(tǒng)的內(nèi)部工作空間不是固定的，動力學(xué)奇異性依賴于工作路徑，不僅與機械臂的當前關(guān)節(jié)角有關(guān)，還與關(guān)節(jié)角的運動歷史有關(guān)[55]。為了分析空間機械臂系統(tǒng)的奇異位形分布，Papadopoulos等[56]將工作空間分為路徑相關(guān)工作空間(PDW)和路徑無關(guān)工作空間(PIW)(圖5)，當機械臂的末端位于PIW中時，不存在奇異性問題，但位于PDW中時，可能存在動力學(xué)奇異點。為了確保空間機械臂的工作路徑，需要避免動力學(xué)奇異點或增大PIW的比例。徐文福等[57]對空間機器人的工作空間進行了分析，指出增大載體與機械臂的慣量比或機械臂盡可能靠近載體質(zhì)心安裝都可以增大PIW。

圖5　空間機械臂的工作空間

避奇異位形需要提前預(yù)測奇異點的分布。針對地面固定機械臂系統(tǒng)的奇異回避問題，已取得大量研究成果。Gosselin等[58]最早研究了閉環(huán)運動鏈的奇異性，基于擴展的雅可比矩陣，提出了三種奇異性問題。之后Park等[59]利用微分幾何工具研究了并聯(lián)機構(gòu)的奇異性，并將奇異性分成了關(guān)節(jié)空間奇異性、執(zhí)行機構(gòu)奇異性及末端執(zhí)行器奇異性三種類型。最初解決速度控制方法主要基于雅可比矩陣的逆或轉(zhuǎn)置，但是在奇異點附近會產(chǎn)生較大的軌跡誤差，為了解決這個問題，Nakamura等[60]和Wampler[61]提出的阻尼最小方差法(DLS)有效增加了奇異點附近的魯棒性，但軌跡精度降低。Lin等[62]在上述方法的基礎(chǔ)上提出了最小阻尼二乘法，其阻尼因子的選擇是一維問題，計算量較小。Buss等[63]又在Lin等的基礎(chǔ)上提出了選擇性阻尼最小二乘法，減小了迭代次數(shù)且無需特別的阻尼常數(shù)，軌跡精度也明顯提高。

與地面固定機械臂系統(tǒng)相比，空間機械臂系統(tǒng)的避奇異位形問題同時與運動學(xué)參數(shù)和運動學(xué)慣性參數(shù)有關(guān)，因此要復(fù)雜得多，目前針對這方面的研究還比較少。最初對于點到點的路徑規(guī)劃問題，Papadopoulos[64]提出了點到點笛卡爾空間規(guī)劃方法，有效避免了可達工作空間的奇異位形。對于連續(xù)路徑的情況，出現(xiàn)了阻尼倒數(shù)的方法，但跟蹤誤差較大。吳戈等[65]提出了一種改進阻尼倒數(shù)的避奇異算法，有效提高了奇異點附近的連續(xù)性，保證了軌跡精度。Rybus等[66]采用貝塞爾曲線規(guī)劃空間機械臂系統(tǒng)的路徑，通過適當修改曲線的形狀可避免奇異位形，實驗驗證了方法的有效性。徐文福等[54]對空間機器人系統(tǒng)的動力學(xué)避奇異問題進行了詳細總結(jié)。由此可知，正因為空間機械臂系統(tǒng)具有運動學(xué)與動力學(xué)耦合、非完整特性及動力學(xué)奇異性等特點，其運動學(xué)、動力學(xué)及路徑規(guī)劃要比地面機械臂復(fù)雜得多。

4　空間機械臂捕獲目標過程的碰撞問題研究

空間機械臂在執(zhí)行空間操作任務(wù)的過程中會與捕獲目標發(fā)生接觸碰撞，產(chǎn)生的碰撞力使系統(tǒng)的動量發(fā)生改變，尤其是角動量的改變，導(dǎo)致整個系統(tǒng)翻轉(zhuǎn)，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，甚至導(dǎo)致捕獲任務(wù)失敗[67]。目前，關(guān)于地面基座固定機械臂與目標的碰撞問題的研究已取得一定成果，但主要集中于接觸點處的碰撞問題。自由漂浮空間機械臂由于機械臂與載體之間存在運動學(xué)與動力學(xué)耦合特性，接觸問題比較復(fù)雜，針對這方面的研究也比較少，但地面基座固定機械臂的控制策略經(jīng)過擴展后可以應(yīng)用到空間機械臂系統(tǒng)。

4.1空間機械臂捕獲目標過程的碰撞動力學(xué)建模研究

空間機械臂捕獲衛(wèi)星的過程一般包括追蹤目標、抓取目標、抓取目標后三個方面動力學(xué)與控制問題的研究，針對追蹤目標和抓取目標后的動力學(xué)與控制方面已經(jīng)進行了大量的研究，針對抓取目標方面研究較少。抓取目標階段的碰撞沖擊問題屬于高速現(xiàn)象，在抓取之前沖擊力與速度幅值及方向的估計對抓取目標后系統(tǒng)失穩(wěn)的控制具有重要意義[68]。Yoshida等[68]給出了上述三個階段中典型沖擊力與速度的變化過程，如圖6所示，從圖6中可知，抓取目標階段的沖擊力難以確定，抓取前后的速度發(fā)生突變。

圖6　接觸過程中沖擊力與速度變化

目前,空間機械臂系統(tǒng)捕獲目標的碰撞問題假設(shè)為理想的單點接觸碰撞，接觸過程發(fā)生動量交換，碰撞產(chǎn)生的沖擊力使兩者的運動狀態(tài)發(fā)生改變。根據(jù)動量守恒原理和動力學(xué)建模方法，可以得到碰撞后空間剛性機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)方程為[66]

(9)

剛性目標系統(tǒng)的動力學(xué)方程為[67]

(10)

針對兩物體在碰撞過程中的接觸情況不同，出現(xiàn)了不同的接觸模型，得到F的表達式也會有所不同，對于空間機械臂系統(tǒng)而言，大多數(shù)還是針對理想的單點剛體接觸，如Yoshida等[68]將空間機械臂系統(tǒng)與捕獲目標的接觸視為單點剛體接觸，利用擴展的廣義慣性張量得到了非線性沖擊力的表達式。有少數(shù)學(xué)者對空間機械臂系統(tǒng)捕獲目標的接觸進行了細化，如Liu等[69]基于Hertz接觸模型，采用單一方向遞歸構(gòu)造法和Jourdain速度變分原理建立了空間機械臂系統(tǒng)捕獲目標衛(wèi)星過程的動力學(xué)模型。另外，空間機械臂系統(tǒng)一般呈現(xiàn)柔性的特點，這時捕獲目標過程的接觸碰撞問題不再是理想的單點剛體接觸，而變得更為復(fù)雜，此時碰撞后空間柔性機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型可表示為[70]

(11)

式中，K為考慮臂桿柔性的彈性變形剛度矩陣。

董楸煌等[70]利用假設(shè)模態(tài)法、Lagrange方程和牛頓-歐拉方程建立了柔性空間機械臂系統(tǒng)捕獲目標接觸碰撞的動力學(xué)模型，并對受載荷沖擊后的系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)進行了評估。

隨著對捕獲目標過程的高效化、精確化要求，接觸碰撞過程中不僅要考慮接觸變形，還需要考慮摩擦、阻尼等影響，從而建立精確完整的接觸碰撞模型，這對于后續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性控制具有重要意義。

4.2空間機械臂捕獲目標過程的控制策略研究

空間機械臂在捕獲目標過程中的接觸碰撞會引起系統(tǒng)失穩(wěn)，還可能將目標彈開，因此需要對捕獲過程進行控制，而空間機械臂系統(tǒng)的載體與機械臂之間存在強耦合干擾作用，增加了控制設(shè)計的難度。

圖7　含阻抗控制的抓取模型[72]

Yoshida等[68]對空間機械臂系統(tǒng)在捕獲目標時的接觸碰撞問題進行了大量的研究，首先提出了擴展的廣義慣性張量和虛擬質(zhì)量的概念，并建立了空間機械臂系統(tǒng)的碰撞動力學(xué)模型，仿真分析了碰撞過程的動力學(xué)行為；之后又提出了廣義逆慣性張量，分析了碰撞沖量大小和機械臂位姿的關(guān)系并實現(xiàn)了沖量的最小化[71]。為了捕捉非協(xié)同目標，Yoshida等[72]建立了包含阻抗控制的抓取模型，如圖7所示，從圖7中可以看出，接觸模型不再是單點剛體接觸，而是包含了接觸變形和阻尼，他們通過這個模型提出了碰撞后目標不被彈走的條件。Yoshikawa等[73]提出了另一種包含伺服剛度和阻尼的關(guān)節(jié)阻抗模型，通過拉普拉斯變換對碰撞后的沖擊進行了頻域估計，分析得出關(guān)節(jié)剛度會導(dǎo)致沖擊力增大，但這種方法只適用于目標速度可控的條件下。在上述模型的基礎(chǔ)上，Matunaga等[74]建立了含墊式阻尼器的分析模型，并提出contact/push-based控制方法，將目標的角動量轉(zhuǎn)移到機械臂上，有效減小了目標的角動量，該方法適用于目標旋轉(zhuǎn)速度較大的場合。Nenchev等[75]根據(jù)碰撞后的反作用零空間，采用一種姿態(tài)控制方法將碰撞后載體的角動量轉(zhuǎn)移到機械臂上，保持載體姿態(tài)平穩(wěn)，且這種方法考慮了碰撞后姿態(tài)控制系統(tǒng)無法回應(yīng)的情況。針對柔性空間機械臂捕獲目標后碰撞沖擊的緩沖和抑制，一些學(xué)者也進行了研究，如Xu等[76]提出了緩和振動橢球法，Wee等[77]提出了梯度投影法，使規(guī)劃后接觸產(chǎn)生的沖量最小化。

我國學(xué)者針對空間機械臂系統(tǒng)在捕獲目標中的接觸碰撞問題也進行了深入研究，Huang等[78-79]基于動力學(xué)平衡控制方法，通過兩個機械臂的協(xié)同控制來實現(xiàn)抓取目標過程中基座姿態(tài)的穩(wěn)定，他們針對空間機械臂動力學(xué)參數(shù)不確定問題對抓取目標過程的影響，建立了目標函數(shù)，并將魯棒控制轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化控制問題，實現(xiàn)了抓取目標過程的魯棒控制。近幾年，陳力科研團隊對空間機械臂捕獲目標碰撞失穩(wěn)問題進行了大量研究，首先基于動量守恒方程、Lagrange方程及牛頓-歐拉方程建立捕獲過程的動力學(xué)模型，然后提出了不同的控制算法來抑制碰撞沖擊導(dǎo)致的失穩(wěn)，如魯棒自適應(yīng)混合控制[80]、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[81]、非線性濾波器的輸出反饋控制[67]等，對考慮空間機械臂系統(tǒng)柔性的碰撞控制問題也作了初步研究[82]。

當前，關(guān)于空間機械臂捕獲目標過程的接觸碰撞控制問題是一個研究熱點，不僅需要建立精確的接觸碰撞過程的動力學(xué)模型，還需要對考慮變形、摩擦、阻尼等接觸模型的控制策略進行進一步研究。

5　結(jié)論與展望

本文首先對空間機械臂的動力學(xué)建模方法及精細動力學(xué)建模進行了綜述，然后總結(jié)了姿態(tài)調(diào)整運動規(guī)劃、非完整路徑規(guī)劃及避奇異位形路徑規(guī)劃等運動規(guī)劃方法，最后闡述了空間機械臂捕獲目標過程的碰撞動力學(xué)模型和控制策略研究。雖然上述領(lǐng)域已取得初步成果，但以下幾個方面仍有待于進一步完善。

(1)空間機械臂關(guān)節(jié)動力學(xué)模型的精細化。關(guān)節(jié)一般包含電機、諧波/行星齒輪減速器及控制電路等，在運動過程中存在摩擦、阻尼、間隙及變形等，而且間隙和摩擦等非線性因素的影響復(fù)雜且不確定，降低了整個系統(tǒng)的傳動精度與運動平穩(wěn)性。當前，空間機械臂關(guān)節(jié)的模型還基于小變形假設(shè)的條件下，不足以反映關(guān)節(jié)的動力學(xué)特性，因此，建立較為精確的關(guān)節(jié)動力學(xué)模型是目前空間機械臂研究的重點與難點。

(2)空間機械臂捕獲目標過程的接觸碰撞模型精細化。目前，空間機械臂捕獲目標過程的接觸模型大多是理想的單點剛體接觸或只考慮變形和阻尼的接觸模型，實際上空間機械臂與目標物體都不是純剛體，而應(yīng)考慮為彈性體碰撞，且碰撞過程中存在摩擦，這對碰撞過程中沖擊力及碰撞后運動狀態(tài)的估計影響較大，從而影響碰撞后失穩(wěn)控制的品質(zhì)，所以對空間機械臂捕獲目標過程的接觸碰撞模型精細化是一個亟待解決的問題。

(3)考慮關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的有限性?？臻g機械臂的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩是機電轉(zhuǎn)換的橋梁，它為整個系統(tǒng)的運動提供動力。目前在研究空間機械臂系統(tǒng)時幾乎都假定驅(qū)動器可以產(chǎn)生無限大的控制力矩，但實際上受到驅(qū)動器自身條件的限制，產(chǎn)生的輸出力矩是有限的，這嚴重影響系統(tǒng)的控制品質(zhì)。因此，在研究空間機械臂系統(tǒng)的控制方法時必須考慮關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的有限性。

(4)考慮載體彈性的控制策略研究。通?？臻g機械臂安裝于與桁架連接的導(dǎo)軌上，與桁架相比，空間機械臂的負載質(zhì)量非常大，在運動過程中必然導(dǎo)致載體的彈性振動，嚴重影響控制系統(tǒng)的精度，因此，在進行空間機械臂的控制系統(tǒng)設(shè)計時考慮載體彈性具有重要意義。

(5)容錯控制策略的研究。空間機械臂由于長期工作在高真空、超低溫、強輻射等惡劣環(huán)境下，很容易出現(xiàn)故障，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，甚至導(dǎo)致整個系統(tǒng)癱瘓，且空間機械臂系統(tǒng)存在參數(shù)不確定性以及外部擾動的影響，嚴重降低了系統(tǒng)的可靠性和安全性，而容錯控制在系統(tǒng)發(fā)生故障時可以持續(xù)保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，具有較高的實際應(yīng)用價值，而當前關(guān)于這方面的研究極少。因此，對容錯控制策略進行研究是目前空間機械臂控制方面的研究重點與熱點。

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(編輯蘇衛(wèi)國)

Advances in Researches of Dynamics Problems for Free-floating Manipulator

Gu Yongxia1Zhang Yuling1Zhao Jieliang2Yan Shaoze2

1. Beijing Technology and Business University, Beijing, 100048;2. State Key Laboratory of Tribology, Tsinghua University, Beijing, 100084

The base of space manipulator kept in a free-floating state, which caused the kinematics and dynamics coupling between the base and manipulator and made that it was more complicated than the ground manipulator for the analyses of kinematics and dynamics as well as control, and it was a difficult and hot spot to establish accurate dynamics model and control strategies for space manipulator. The dynamics modeling methods as well as fine dynamics modeling were reviewed in detail herein, and the path planning methods such as attitude adjustment, nonholonomic path planning, singularities avoidance were summarized. Then the impact dynamics modeling as well as control in capturing a target for space manipulator were summarized. Based on the studies mentioned above, the problems of present dynamics modeling were pointed out, and some topics to be further studied were predicted.

space manipulator; dynamics modeling; capturing a target; contact collision

2016-05-25

高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助項目(20120002110070)；國家自然科學(xué)基金資助項目(11272171)

TH24

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.15.023

谷勇霞，女，1968年生。北京工商大學(xué)材料與機械工程學(xué)院副教授。主要研究方向為機械設(shè)計及機械系統(tǒng)動力學(xué)。發(fā)表論文30余篇。張玉玲，女，1989年生。北京工商大學(xué)材料與機械工程學(xué)院碩士研究生。趙杰亮，男，1989年生。清華大學(xué)摩擦學(xué)國家重點實驗室博士研究生。閻紹澤，男，1964年生。清華大學(xué)摩擦學(xué)國家重點實驗室教授、博士研究生導(dǎo)師。