洪昭斌　　 陳　力　　李文望

1. 廈門理工學(xué)院，廈門，361024　　2. 福州大學(xué)，福州，350108

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柔性臂桿、柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂T-S模糊軌跡跟蹤及雙柔振動并行綜合控制

洪昭斌1陳力2李文望1

1. 廈門理工學(xué)院，廈門，3610242. 福州大學(xué)，福州，350108

針對存在參數(shù)不確定和外界干擾的柔性臂桿、柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂追蹤期望運(yùn)動的問題，設(shè)計(jì)了基于T-S模糊模型的滑模魯棒控制方案和雙柔性振動并行控制方案。首先，設(shè)計(jì)了關(guān)節(jié)柔性補(bǔ)償器以提高系統(tǒng)的等效關(guān)節(jié)剛度。其次，利用反饋線性化技術(shù)建立了系統(tǒng)追蹤期望軌跡的誤差動力學(xué)方程，通過對系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性證明來選擇滑?？刂茀?shù)；簡化并改進(jìn)T-S模糊推理規(guī)則，提出了模糊滑模魯棒控制方法，可解決滑?？刂频亩墩駟栴}并具有計(jì)算量少、控制力矩小的優(yōu)點(diǎn)。再次，提出了柔性臂桿振動模態(tài)的直接反饋控制方案，解決了雙柔性并行綜合控制的問題。最后，運(yùn)用逐步仿真的方法，對比仿真結(jié)果，證實(shí)了所設(shè)計(jì)軌跡跟蹤、雙柔性并行綜合控制方案的有效性和穩(wěn)定性。

空間機(jī)械臂；柔性臂桿-柔性關(guān)節(jié)；參數(shù)不確定；T-S模糊滑模控制；雙柔性并行控制

0　引言

空間機(jī)器人[1-3]可代替宇航員進(jìn)行太空試驗(yàn)、探測、操作等活動，對空間機(jī)器人進(jìn)行動力學(xué)分析、控制等研究是各國太空計(jì)劃的重點(diǎn)領(lǐng)域。為了減小空間機(jī)器人的質(zhì)量，其機(jī)械臂桿件大多設(shè)計(jì)為輕質(zhì)的細(xì)長柔性桿[4-6]，這樣的柔性桿通常具有較大的尺寸并產(chǎn)生低頻的大幅值柔性振動，系統(tǒng)剛?cè)狁詈闲?yīng)嚴(yán)重。同時(shí)，在使用電機(jī)驅(qū)動機(jī)械臂桿時(shí)，由于制造技術(shù)、齒輪及減速器的彈性等原因，驅(qū)動關(guān)節(jié)也呈現(xiàn)柔性[7]的性質(zhì)并產(chǎn)生彈性振動。因此，在針對空間機(jī)器人進(jìn)行動力學(xué)分析、控制時(shí)，同時(shí)考慮其關(guān)節(jié)柔性、臂桿柔性對控制性能的影響具有非常重要的意義。然而，以上研究或者僅考慮了柔性關(guān)節(jié)對空間機(jī)器人軌跡跟蹤精度的影響，或者僅解決了柔性桿振動模態(tài)的控制問題，同時(shí)解決關(guān)節(jié)柔性、臂桿柔性(雙柔性)問題的研究也主要針對地面的機(jī)械臂系統(tǒng)[8-9]，或使用奇異攝動法[10]來處理，這與大尺寸柔性空間機(jī)械臂產(chǎn)生高幅低頻振動的實(shí)際情況不符。

在針對機(jī)器人的動力學(xué)控制中，許多學(xué)者提出了如自適應(yīng)[11]、魯棒[12]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]等控制方法來解決參數(shù)不確定系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題，但所構(gòu)建的控制器往往存在計(jì)算量偏大的缺點(diǎn)，實(shí)際應(yīng)用非常困難?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制也可以解決參數(shù)不確定和外部干擾的系統(tǒng)軌跡追蹤控制問題，具有很好的魯棒性且計(jì)算量小，但是滑模變結(jié)構(gòu)控制的最大缺點(diǎn)是系統(tǒng)控制輸出在切換時(shí)有抖動。一般都認(rèn)為，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或模糊控制與滑模變結(jié)構(gòu)控制相結(jié)合可有效解決滑?？刂浦械亩墩駟栴}，基于此思路，很多研究人員也提出了多種控制方法，如文獻(xiàn)[13-14]分別利用模糊理論和自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)較好地消除了滑模變結(jié)構(gòu)控制中力矩的抖振。但是模糊理論中合適的模糊規(guī)則設(shè)計(jì)非常困難，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)學(xué)習(xí)計(jì)算量也非常大，均在實(shí)際應(yīng)用中存在種種限制。

為了解決以上問題，本文利用拉格朗日第二類方程建立了柔性臂桿、柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型；對柔性關(guān)節(jié)剛度進(jìn)行補(bǔ)償以提高系統(tǒng)的等效剛度；利用反饋線性化技術(shù)導(dǎo)出空間機(jī)械臂系統(tǒng)追蹤期望運(yùn)動的誤差動力學(xué)方程，并基于Lyapunov穩(wěn)定性證明來選擇滑?？刂茀?shù)；建立T-S模糊邏輯模型，簡化模糊推理規(guī)則，設(shè)計(jì)系統(tǒng)追蹤期望軌跡的改進(jìn)型T-S模糊滑模魯棒控制方案；對柔性桿的柔性振動模態(tài)設(shè)計(jì)了直接反饋控制方案；最后，針對系統(tǒng)存在建模誤差和外界干擾的情況，對平面二桿空間機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真分析。

1　雙柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)動力學(xué)分析

圖1　 雙柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)

由于該柔性臂桿、柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂處于太空，無外力作用，系統(tǒng)對慣性坐標(biāo)系滿足動量守恒關(guān)系。利用該動量守恒關(guān)系，并結(jié)合系統(tǒng)柔性臂的彈性應(yīng)變能、柔性關(guān)節(jié)的彈性勢能，由拉格朗日第二類方程可得到系統(tǒng)動力學(xué)方程：

(1)

(2)

2　關(guān)節(jié)柔性剛度補(bǔ)償控制輸入設(shè)計(jì)

分析式(1)、式(2)的系統(tǒng)動力學(xué)方程發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的機(jī)械臂關(guān)節(jié)存在柔性問題，這將對機(jī)械臂跟蹤期望運(yùn)動產(chǎn)生影響。本節(jié)針對系統(tǒng)的關(guān)節(jié)柔性補(bǔ)償問題進(jìn)行處理，設(shè)計(jì)關(guān)節(jié)柔性補(bǔ)償器以提高柔性關(guān)節(jié)的等效剛度，最終提高基體及機(jī)械臂跟蹤期望軌跡的精度。

對系統(tǒng)動力學(xué)方程式(2)進(jìn)行改寫，可得關(guān)節(jié)驅(qū)動電機(jī)的力矩動態(tài)方程：

(3)

針對該動態(tài)方程，設(shè)計(jì)總的電機(jī)控制輸入為

τm=Knτn-Kθτθ

(4)

其中，τn為后文待設(shè)計(jì)的系統(tǒng)軌跡跟蹤、柔性模態(tài)控制方案，Kθ為對角正定系數(shù)矩陣，若Kn選擇為

Kn=I+Kθ

(5)

將式(4)代入式(3)，系統(tǒng)關(guān)節(jié)驅(qū)動電機(jī)的力矩動態(tài)方程則變?yōu)?/p>

(6)

對比式(3)和式(6)可知，系統(tǒng)關(guān)節(jié)驅(qū)動電機(jī)的剛度得到了提升，且Kθ選擇得越大，Kn隨之增大，系統(tǒng)的等效剛度也隨之增大。所以，合適地選擇Kθ可對系統(tǒng)關(guān)節(jié)的柔性進(jìn)行補(bǔ)償。

3　系統(tǒng)動力學(xué)反饋線性化

上文解決了系統(tǒng)機(jī)械臂關(guān)節(jié)驅(qū)動電機(jī)的柔性補(bǔ)償問題后，為了設(shè)計(jì)系統(tǒng)基體、關(guān)節(jié)追蹤期望運(yùn)動的控制方案，系統(tǒng)動力學(xué)方程改寫為

(7)

(8)

(9)

進(jìn)一步整理有

(10)

利用此誤差動力學(xué)方程，可進(jìn)行經(jīng)典的滑?？刂圃O(shè)計(jì)。

4　滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

利用雙柔性空間機(jī)械臂的誤差動力學(xué)方程(10)，設(shè)計(jì)滑?？刂泼鏋?/p>

式中，λ為正定常值系數(shù)。

針對以上選定的滑模控制面，本節(jié)對控制向量u進(jìn)行設(shè)計(jì)來保證系統(tǒng)追蹤期望軌跡。在經(jīng)典的滑?？刂飘?dāng)中，可設(shè)計(jì)u為

u=ure+uS

(11)

所以，當(dāng)控制系統(tǒng)處于滑模面上，有

此時(shí)uS=0，將系統(tǒng)誤差動力學(xué)方程式(10)代入上式，ure則可直接設(shè)計(jì)為

(12)

為了進(jìn)一步對切換控制向量uS進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇以下Lyapunov函數(shù)：

將V對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)并利用式(10)～式(12)，可得

(13)

(14)

5　T-S模糊滑模魯棒控制方案改進(jìn)設(shè)計(jì)

利用T-S模糊邏輯來對上節(jié)所設(shè)計(jì)的滑?？刂品桨高M(jìn)行改進(jìn)，解決滑?？刂贫墩竦膯栴}，并減小控制系統(tǒng)的計(jì)算量。一般地，典型多輸入-多輸出T-S系統(tǒng)的模糊邏輯規(guī)則如下[15]：

Rj：IF x1(t) is Mj1and…and xn(t) is Mjn

THEN yj(t)=zj(X(t),t)，j=1,2,…,r

其中，Rj代表第j個(gè)模糊規(guī)則，xk和Mjk(j=1,2,…,r；k=1,2,…,n)分別為系統(tǒng)的前件變量和模糊集，r為系統(tǒng)的模糊規(guī)則數(shù)量。

對于系統(tǒng)的各個(gè)獨(dú)立輸入X(t)，利用中心加權(quán)解模糊化推理，可獲得整個(gè)T-S系統(tǒng)的輸出向量Y(t)：

其中，Y(t)∈Rr，X(t)∈Rn，而利用直積法，適用度函數(shù)wj(X(t))可以定義為

(15)

基于以上T-S模糊模型，針對雙柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)，對系統(tǒng)基體姿態(tài)和關(guān)節(jié)角的三個(gè)控制器設(shè)計(jì)進(jìn)行離散化處理。為了使模糊推理盡可能簡單，設(shè)計(jì)單個(gè)滑模反饋控制的模糊推理規(guī)則庫為

其中，i=1,2,3。同樣為了使控制系統(tǒng)更加簡單，模糊輸入變量Si的三角形隸屬度函數(shù)選擇如圖2所示。

圖2　 三角形隸屬度函數(shù)

利用中心加權(quán)解模糊可得到最終的系統(tǒng)控制輸入：

(16)

由此，可分別得到系統(tǒng)載體姿態(tài)、兩個(gè)關(guān)節(jié)鉸的控制輸入ui(t)(i=1,2,3)，則系統(tǒng)的整體控制輸入為這三個(gè)離散控制ui(t)的合成向量。由于所設(shè)計(jì)的滑模反饋控制的模糊推理規(guī)則僅有兩條，同自適應(yīng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等智能控制方法相比，該系統(tǒng)控制輸入將具有模糊規(guī)則簡單、計(jì)算量小的顯著優(yōu)點(diǎn)。

6　柔性臂振動模態(tài)反饋控制

解決了關(guān)節(jié)柔性的補(bǔ)償和基體姿態(tài)、機(jī)械臂關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤問題后，本節(jié)僅考慮柔性臂振動模態(tài)對系統(tǒng)控制的影響。于是，從系統(tǒng)動力學(xué)方程式(7)中可解出

若不考慮系統(tǒng)參數(shù)不確定的影響，僅考慮系統(tǒng)的可精確建模模型，則有

(17)

更進(jìn)一步地，有

(19)

選擇以下Lyapunov函數(shù)：

將上式對時(shí)間求導(dǎo)并利用式(18)，同時(shí)忽略系統(tǒng)的參數(shù)變動，則有

(20)

τ=τr+τf

(21)

至此，該合成控制器(式(21))加上系統(tǒng)柔性關(guān)節(jié)剛度補(bǔ)償控制可完成系統(tǒng)軌跡跟蹤控制及柔性關(guān)節(jié)剛度補(bǔ)償、柔性模態(tài)主動抑制的并行綜合控制任務(wù)。

7　系統(tǒng)仿真分析

為了檢驗(yàn)本文設(shè)計(jì)的綜合控制器的性能，將所設(shè)計(jì)控制方案應(yīng)用于圖1所示的雙柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)上。該機(jī)械臂系統(tǒng)的參數(shù)見表1。

表1　系統(tǒng)慣性參數(shù)表

基體姿態(tài)及關(guān)節(jié)角的期望運(yùn)動軌跡分別設(shè)置為

(1)為了說明T-S模糊邏輯控制器的優(yōu)勢，不考慮柔性桿和柔性關(guān)節(jié)對控制系統(tǒng)的影響，先利用傳統(tǒng)的滑?？刂破?式(14))來對空間機(jī)械臂追蹤期望運(yùn)動進(jìn)行控制，仿真結(jié)果如圖3所示。圖3顯示了在式(14)控制方案控制時(shí)，系統(tǒng)控制輸入力矩變化情況；若使用本文設(shè)計(jì)的T-S模糊滑模魯棒控制方案，即利用式(16)對系統(tǒng)進(jìn)行控制，系統(tǒng)的控制輸入力矩如圖4所示。通過對比控制輸入力矩(圖3、圖4)，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用T-S模糊滑?？刂坪?，系統(tǒng)控制輸入力矩的抖振情況有所緩解；更為重要的是控制輸入力矩大幅減小，僅為原來的1/10左右，說明該控制方案還可有效解決控制器飽和的問題。因此，從實(shí)用的角度出發(fā)，本文所設(shè)計(jì)的控制方案更接近于工程實(shí)際應(yīng)用。

圖3　 采用滑?？刂茣r(shí)的控制輸入

圖4　 采用T-S模糊滑?？刂茣r(shí)的控制輸入

圖5　 無柔性關(guān)節(jié)剛度補(bǔ)償時(shí)的轉(zhuǎn)角誤差

(2)為了說明柔性關(guān)節(jié)剛度補(bǔ)償?shù)闹匾裕P(guān)閉了系統(tǒng)的柔性關(guān)節(jié)補(bǔ)償控制，圖5所示為兩個(gè)驅(qū)動電機(jī)轉(zhuǎn)角與機(jī)械臂桿實(shí)際轉(zhuǎn)角的誤差；當(dāng)打開柔性關(guān)節(jié)剛度補(bǔ)償時(shí)，圖6所示為電機(jī)轉(zhuǎn)角與臂桿轉(zhuǎn)角的誤差。從圖6可以明顯看出，本文所設(shè)計(jì)的關(guān)節(jié)剛度補(bǔ)償可以很好地解決柔性關(guān)節(jié)存在時(shí)驅(qū)動電機(jī)與機(jī)械臂桿轉(zhuǎn)角誤差的問題，達(dá)到很好的控制精度。

圖6　 有柔性關(guān)節(jié)剛度補(bǔ)償時(shí)的轉(zhuǎn)角誤差

(3)在對系統(tǒng)柔性關(guān)節(jié)剛度進(jìn)行補(bǔ)償后，通過切換柔性桿振動模態(tài)控制的輸入，得到圖7～圖10的仿真結(jié)果。圖7所示為未對柔性桿振動進(jìn)行控制時(shí)的柔性模態(tài)，圖8所示為對柔性桿振動進(jìn)行主動控制時(shí)的柔性模態(tài)，圖9、圖10所示為系統(tǒng)追蹤期望軌跡的最終跟蹤情況。對圖7、圖8進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)本文所設(shè)計(jì)的振動控制方案可有效地抑制柔性桿的振動模態(tài)，2s后柔性模態(tài)基本收斂于0，避免了柔性桿振動對系統(tǒng)控制精度的影響。而圖9、圖10則說明了所設(shè)計(jì)的綜合控制方案可保證系統(tǒng)穩(wěn)定、高精度地追蹤其期望運(yùn)動。

圖7　 無柔性桿振動控制時(shí)的柔性模態(tài)

圖8　 有柔性桿振動控制時(shí)的柔性模態(tài)

圖9　 基體姿態(tài)追蹤情況

圖10　 機(jī)械臂關(guān)節(jié)角追蹤情況

8　結(jié)論

(1)針對柔性臂桿、柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂系統(tǒng)存在外界干擾及系統(tǒng)參數(shù)不確定而導(dǎo)致的建模誤差情況，本文結(jié)合反饋線性化和T-S模糊邏輯推理系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了空間機(jī)械臂追蹤期望運(yùn)動的改進(jìn)型T-S模糊滑?？刂品桨?，大幅緩解了控制器飽和的問題，同時(shí)由于所設(shè)計(jì)的T-S模糊推理規(guī)則僅有兩條，該控制方案不僅能解決參數(shù)不確定的問題，而且具有計(jì)算量小、便于實(shí)際應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)。

(2)針對系統(tǒng)柔性關(guān)節(jié)問題，設(shè)計(jì)了柔性關(guān)節(jié)剛度補(bǔ)償控制方案，有效解決驅(qū)動電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)角與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角之間存在誤差的問題；針對柔性臂桿的振動，設(shè)計(jì)了柔性模態(tài)直接反饋控制方案，對柔性振動模態(tài)進(jìn)行主動控制，實(shí)現(xiàn)了雙柔性并行控制。

(3)為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)綜合控制方案的有效性，逐步對不同工況下的空間機(jī)械臂進(jìn)行仿真分析，仿真結(jié)果表明，該T-S模糊滑模魯棒控制方案可保證系統(tǒng)在同時(shí)存在參數(shù)變動及外界干擾的情況下仍能準(zhǔn)確、穩(wěn)定地追蹤期望運(yùn)動，解決了柔性關(guān)節(jié)和柔性臂桿的振動問題。

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(編輯陳勇)

T-S Fuzzy Trajectory Tracking and Double-flexible Parallel Control of Flexible-link Flexible-joint Space Manipulator

Hong Zhaobin1Chen Li2Li Wenwang1

1.Xiamen University of Technology, Xiamen,Fujian,361024 2.Fuzhou University, Fuzhou, 350108

Aimed at the problems of flexible-link flexible-joint space manipulator with parameter uncertainties and external disturbances to track the desired motion, the T-S fuzzy control and double-flexible vibration parallel control were proposed. Firstly, a joint flexibility compensation controller was introduced to improve the equivalent stiffness of each joint. Secondly, the error dynamic equations were obtained based on feedback linearization in the trajectory tracking procedure, and control parameters of fuzzy control was selected by Lyapunov stability theory.Subsequently, the fuzzy sliding mode control was improved with simple T-S fuzzy rules. The great advantage of proposed control is free of undesirable chattering phenomenon in sliding mode control and light burden of computations. Then, the double-flexible parallel control was presented to suppress the vibration of flexible links. Finally, the simulation results on a space manipulator demonstrate the validity of the proposed control scheme.

space manipulator;flexible-link flexible-joint;parameter uncertainty;T-S fuzzy sliding mode control;double-flexible parallel control

2015-10-10

福建省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2013J05021)；福建省科技計(jì)劃重大重點(diǎn)項(xiàng)目(2012H0041)；福建省教育廳A類項(xiàng)目(JA15382)

TP241

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.15.006

洪昭斌，男， 1982年生。廈門理工學(xué)院機(jī)械與汽車工程學(xué)院講師、博士。主要研究方向?yàn)榭臻g機(jī)器人動力學(xué)及控制。陳力，男， 1961年生。福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。李文望，男， 1966年生。廈門理工學(xué)院機(jī)械與汽車工程學(xué)院教授。