曹松峰
4.1 命題和證明 圖形認識初步尺規(guī)作圖 相交線和平行線
重點難點易混易錯點剖析
本節(jié)內(nèi)容涉及余角、(鄰)補角、對頂角、垂直、距離、平行、“三線八角”等基本概念,以及相交線垂直的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)與判定等諸多基本事實及定理.如果我們對一些基本概念缺乏全面深刻的理解,不能迅速準確地識別相交線中的“三線八角”,抑或?qū)ζ叫芯€的性質(zhì)與判定方法等一命題的條件、結(jié)論和適用范罔分辨不清,就會在使用時張冠李戴,使得運算推證的依據(jù)不足、理由不充分或根本錯誤;如果我們還沒有接納推理的思想,缺乏說理的自覺,習慣于想當然辦事,那么思路不周嚴、思維不順暢等現(xiàn)象就還會時有發(fā)生.
重要考點題型方法點撥
一、余角、補角的概念
點撥:解答此題的關(guān)鍵是要正確地理解和運用“等角的補角相等,等角的余角相等”等相關(guān)性質(zhì).
二、平行線的性質(zhì)線八角”的概念和平行線的性質(zhì)小能正確理解可能導(dǎo)致錯誤.
三、原命題與逆命題
其中原命題與逆命題均為真命題的是().
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
解析:先對原命題進行判斷,再根據(jù)互逆命題的定義寫出逆命題,然后判斷逆命題的真假.①②③中的原命題、逆命題均為真命題:而在④中,若|-x|=-x,則-x≥O,解得x≤0,原命題是假命題.故選A.
點撥:主要考查原命題與逆命題的概念.需要注意:原命題與逆命題不一定同真同假,
四、角平分線概念
五、作圖(線段的垂直平分線)
例5 (2015.北京)閱讀下面材料:
在數(shù)學課上,老師提出如下問題:
尺規(guī)作圖:作一條線段的垂直平分線.
已知:線段AB求作:線段AB的垂直平分線,
小蕓的作法如下:
如圖3,分兩步進行:(1)分別以點A和點B為圓心,大于1/2AB的長為半徑作弧,兩弧相交于C,D兩點;(2)作直線CD.直線CD就是所求作的垂直平分線.
老師說:“小蕓的作法正確.”
請回答:小蕓的作圖依據(jù)是____.
解析:依據(jù)是:(1)到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上;(2)兩點確定一條直線,
點撥:本題考查線段垂直平分線的尺規(guī)作圖.本題的作圖依據(jù)是線段垂直平分線的相關(guān)結(jié)論和關(guān)于直線的基本事實.當然,以上所列作圖依據(jù)并不唯一.不少同學失分的原因在于沒有理解題意,只是把作圖的過程重述了一遍,沒有將其中的緣由描述清楚,或者根本就不清楚作圖的理由,
六、平行線的性質(zhì)與其他知識的綜合
4.2 三角形及其全等
重點難點易混易錯點剖析
三角形中的三條邊、三個內(nèi)角、邊與角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系,這是我們處理所有三角形問題時應(yīng)牢記的隱含條件.如果題目沒有給出圖形,抑或未將文字敘述與圖形一一對應(yīng).在畫出圖形或?qū)⒃仃P(guān)系用圖形表示時,不得人為地把問題特殊化,如,不能只想到銳角三角形或直角三角形,而忽略鈍角三角形的情形:不能把一般的三角形畫成等腰三角形、直角三角形等,在判定三角形全等時必須注意對應(yīng)關(guān)系,學會析取“基本圖形”,善于發(fā)掘隱含的元素關(guān)系,靈活運用“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”等判定方法.切忌杜撰“角角角”或“邊邊角”等所謂的判定定理.
重要考點題型方法點撥
一、三角形高的概念
點撥:解法一的實質(zhì)是用同一面積的不同表達形式推求有關(guān)數(shù)式之間的數(shù)量關(guān)系,由此時??梢员荛_繁雜的運算簡便求解.解法二則運用了人教版《數(shù)學》七年級上冊第56頁第12題中的一個十分簡單有用的結(jié)論.
四.全等三角形的判定
點撥:添加條件推斷三角形全等的題目,大多具有開放性,求解時需將已知條件與全等的判定條件比對,增添缺失的邊或角的對應(yīng)關(guān)系.
點撥:本題主要考查正方形、全等三角形的性質(zhì)和判定方法,在第(2)問中也考查了通過全等找出和GE相等的線段,從而證得關(guān)系成立.推證兩條線段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在的三角形全等,這種思想應(yīng)用廣泛,讀者朋友一定要熟練掌握.
7.問題提出:學習了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進行研究.
4.3等腰三角形和直角三角形
重點難點易混易錯點剖析
等腰三角形是軸對稱圖形,等邊對等角,“三線合一”等是其主要特性,在題目沒有明確給出腰和底角的情況下,尤其要考慮周全,實施必要的分類討論.在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,斜邊上的中線等于斜邊的一半,以及勾股定理等都是我們處理相關(guān)問題的重要工具,解題時一定要注意定理的適用條件,厘清一般和特殊、性質(zhì)與判定的聯(lián)系與區(qū)別.
點撥:本題考查了等腰三角形的概念、解一元二次方程、三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用等知識,如果忽略構(gòu)成三角形的條件,或者不分類討論,就可能會錯選D或B.
二、直角三角形的性質(zhì)
點撥:此題主要考查了等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定方法、勾股定理的應(yīng)用等,解決此類問題的著眼點是根據(jù)折疊的性質(zhì)來探求和利用折疊前后的全等圖形.
四、等腰三角形、直角三角形與其他知識酌綜合
點撥:該題直接考查學生數(shù)學基本活動經(jīng)驗的遷移能力,如果能在解決問題(1)(2)時用心體悟思路,就能夠在面對問題(3)時,自覺地以AB為邊,向外作等腰直角三角形,把求線段BE的長轉(zhuǎn)化為求線段CD的長,再結(jié)合所給條件,在Rt△DBC中順利求解.追根溯源,該題是課本上一道經(jīng)典幾何題目(人教版《數(shù)學》八年級上冊第83頁第12題)的改造和延伸.
值得注意的是,這個課本原題的許多變式頻繁地出現(xiàn)在近幾年各地的中考試卷中,如.2013年江西卷的第23題、2014年沈陽卷的第24題.2015年臨沂卷的第25題等,有興趣的同學不妨拿來做一做,這些考題共同反映了中考的一種重要命題動向:全等三角形作為初中數(shù)學的核心內(nèi)容,不但被用于考查學牛的邏輯推理能力,而且在考查學生的類比、歸納等合情推理能力時也可以派上用場.
4.4多邊形和特殊四邊形
重點難點易混易錯點剖析
本節(jié)的重點難點足平行四邊形以及矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形的概念、性質(zhì)和判定方法,關(guān)涉這些圖形的命題之間重疊交錯,容易混淆,應(yīng)下氣力弄清它們的共性、特性及其包含關(guān)系,判定特殊的平行四邊形時,應(yīng)在真正理解題意的基礎(chǔ)上,合理確定一種判定方法,既要避免出現(xiàn)推理沒有根據(jù),理由不充分的邏輯錯誤,也不能思路混亂,重復(fù)使用條件,或者循環(huán)論證,以確保運算推證的精準性、嚴密性、順暢性.
點撥:本題考查多邊形的內(nèi)角和公式及其推淪.
二、平行四邊形的判定
例2 (2015.廣州)下列命題中,真命題有().
①對角線互相平分的四邊彤足平行四邊形;②兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;③一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形.
A.3個 B.2個 C.1個
D.0個
解析:由平行四邊形的判定方法易知①②正確,一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形也可以是等腰梯形,③錯誤,故選B.
點撥:本題考查平行四邊形的判定.熟悉各種基本圖形的本質(zhì)特征,避免以偏概全的錯誤,就可以正確迅速地作出判斷.
三、菱形的性質(zhì)
四、矩形的判定
例4 (2015.資陽)若順次連接四邊形ABCD四邊的中點,得到的圖形是一個矩形,則四邊形ABCD一定是().
A.矩形
B.對角線相等的四邊形
C.菱形
D.對角線互相垂直的四邊形
點撥:本題考查三角形的中位線定理以及矩形的判定.可能會有同學誤選B,造成錯誤的原因:受“判斷平行四邊形、菱形、正方形的各邊中點所連成的四邊形的形狀”問題思維定式的影響;抑或?qū)忣}不細,未能完全理解題意,
五、正方形的性質(zhì)與判定
例5 (2015.甘孜、阿壩)已知E,F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC,CD上的點,AF,DE相交于點G,當E,F(xiàn)分別為邊BC,CD的中點時,
試探究下列問題:
(1)如圖3(1),若點E不是邊BC的中點.F不是邊CD的中點,但CE=DF,上述結(jié)論①②是否仍然成立?(請直接回答“成立”或“不成立”,不需要證明)
(2)如圖3(2),若點E,F(xiàn)分別在CB的延長線和DC的延長線上,且CE=DF,此時,上述結(jié)論①②是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程;若不成立,請說明理由.
點撥:本題主要考查正方形的性質(zhì)與判定和類比推理能力,“題根”是人教版《數(shù)學》八年級下冊第68頁第8題.
應(yīng)當指出,此課本原題的變式較多,并且備受中考命題者的青睞.如,中考試卷中2014年內(nèi)江卷的第18題、衢州卷的第23題、煙臺卷的第25題、2015年廣州卷的第18題等,都可以看作它的拓展和延伸,
另外,正方形與其他知識的綜合問題也是一類重要題型,如2015年綿陽市中考題第25題,它可以看作由人教版《數(shù)學》八年級下冊第69頁第14題的“題根”生發(fā)而成.翻看近幾年的中考試卷,不時可以看到該課本原題圖形的影子,不再一一列舉.
4.5圓
重點難點易混易錯點剖析
本節(jié)知識的重點難點:一是對圓的基本概念、基本性質(zhì)的理解及運用,特別是垂徑定理、圓周角定理及其推論的應(yīng)用;二是直線與圓的位置關(guān)系,重點為切線的判定與性質(zhì).在提及圓中一條弦所對的圓周角時,要考慮到該弦所刈的圓周角有兩種類型.在辨認圓心角、圓周角、弦、弦心距、弧等的關(guān)系時,要注意是否要求在同圓或等圓中,在運用垂徑定理的推論“平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦,并且平分這條弦所對的兩條弧”時,不能忽略括號中的三個字,在求解關(guān)涉垂徑定理、切線性質(zhì)與判定的問題時,往往要添加適當?shù)妮o助線實現(xiàn)思路貫通,在求解網(wǎng)與三角形、平行四邊形的綜合性題目時,積極發(fā)掘和利用圓的特殊性質(zhì)和圓中眾多的不變量是順利求解的關(guān)鍵所在.
重要考點題型方法點撥
一、圓周角的性質(zhì)
解析:要使四邊形為菱形,只需滿足兩條對角線互相垂直平分的條件,題設(shè)中已有OCIAB,由垂徑定理知A D=BD,再添加條件OD=CD即可,故選B.
點撥:本題考查垂徑定理及菱形的判定方法.如果對相關(guān)知識含糊不清,可能會錯選其他選項,
四、求扇形的面積
例4 (2015.廣東)如圖4,某數(shù)學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心,AB為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細),則所得的扇形DAB的面積為().
A.6
B.7
C.8
D.9
解析:根據(jù)圖形觀察可知,扇形DAB的半徑等于正方形ABCD的邊長,扇形DAB的弧長等于正方形的邊長BC與CD的和,易得所求面積為1/2×6×3=9.故選D.
點撥:本題考查扇形的面積計算和正方形性質(zhì)的運用,發(fā)現(xiàn)扇形DAB的弧長等于正方形邊長的2倍是解答本題的關(guān)鍵.
五、切線長定理
例5 (2015.南京)如圖5,在矩形ABCD中,AB=4,
點撥:本題考查正方形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)及勾股定理等知識,解題的基本思路是:先連接圓心和切點,再充分運用切線長定理確定部分線段的長度,然后在關(guān)涉未知量的直角三角形中利用勾股定理求解.