何萍

[摘 要] 2015年10月，浙江省溫州市開(kāi)展了每年一次的初三教學(xué)研討會(huì). 本次研討會(huì)主要研討單元復(fù)習(xí)課教學(xué)如何梳理知識(shí)，鞏固提升，從而發(fā)展學(xué)生的思維. 現(xiàn)以一節(jié)“二次函數(shù)復(fù)習(xí)”為例，與同仁交流.

[關(guān)鍵詞] 思維；過(guò)程

教學(xué)片段呈現(xiàn)

環(huán)節(jié)1：回顧復(fù)習(xí)，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想

活動(dòng)1：已知二次函數(shù)y=x2+bx-3的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）.

（1）這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是______；

（2）這個(gè)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_____，對(duì)稱(chēng)軸為_(kāi)_____；

（3）當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，y的取值范圍為_(kāi)_____.

（教師依次呈現(xiàn)（1）、（2）、（3）問(wèn)，請(qǐng)學(xué)生個(gè)別回答. 回答第（3）問(wèn)時(shí)，教師進(jìn)行了提問(wèn)）

問(wèn)題1：你是怎么求得y的取值范圍的？（學(xué)生說(shuō)代入x的臨界值求得）

問(wèn)題2：y的值會(huì)變，那么y的值會(huì)怎么變？（啟發(fā)學(xué)生利用函數(shù)增減性求解）

（教師將第（3）問(wèn)進(jìn)行了變式）

變式：當(dāng)-1≤x≤4時(shí)，y的取值范圍為_(kāi)_____.

（教師通過(guò)下列問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考）

問(wèn)題1：你是怎么求的？（學(xué)生說(shuō)代入x的臨界值求得）

問(wèn)題2：y的值怎么變？（學(xué)生畫(huà)圖說(shuō)明函數(shù)增減性）

問(wèn)題3：你是怎么畫(huà)出草圖的？（復(fù)習(xí)用五點(diǎn)法畫(huà)草圖）

教師小結(jié)：求取值范圍，不僅僅代入臨界值求值，更要關(guān)注函數(shù)的增減性，所以，我們解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)要用好圖像這個(gè)工具.

環(huán)節(jié)2：先猜想后驗(yàn)算，感悟數(shù)形結(jié)合思想

活動(dòng)2：如圖1，拋物線y=x2-2x-3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)記為A，B，C，連接AB，BC，AC，得到△ABC，在拋物線上再找一點(diǎn)D，使得S=S，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.

（教師沒(méi)有直接讓學(xué)生求值，而是先提出幾個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)思考）

問(wèn)題1：這個(gè)D點(diǎn)的位置在哪里？這樣的D點(diǎn)你能找到幾個(gè)？（學(xué)生說(shuō)找到了3個(gè)）

問(wèn)題2：你覺(jué)得哪個(gè)點(diǎn)的位置最好求？坐標(biāo)是多少？你是怎么求的？（學(xué)生利用同底等高直接求出點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)）

問(wèn)題3：那么另外兩個(gè)D點(diǎn)的大概位置在哪兒？（學(xué)生畫(huà)出大致位置）

接著，教師讓學(xué)生進(jìn)行求解驗(yàn)證. 在學(xué)生求解后，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出將二次函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解.

環(huán)節(jié)3：綜合運(yùn)用，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

活動(dòng)3：二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像如圖2所示.

（1）P為線段BC上的任意一點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，請(qǐng)你寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)：______.

（2）過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)F，是否存在點(diǎn)F，使得線段PF的長(zhǎng)度有最大值？若存在，求出線段PF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）M是對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，G是對(duì)稱(chēng)軸與線段BC的交點(diǎn)，在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形MGFP是平行四邊形？若存在，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（教師先呈現(xiàn)（1）問(wèn)，在學(xué)生解決（1）問(wèn)后歸納）

教師歸納：P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以它的橫、縱坐標(biāo)都是變量，但不管怎么變，它們始終有不變的關(guān)系，那就是y=x-3.

（在呈現(xiàn)（2）問(wèn)之前，教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形）

問(wèn)題1：點(diǎn)P從B到C的過(guò)程中，PF的長(zhǎng)度怎么變？（引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形PF的變化）

問(wèn)題2：什么時(shí)候PF最大？（引發(fā)學(xué)生觀察圖形猜想，有學(xué)生猜想PF與GQ重合時(shí)PF最大，也有學(xué)生猜想在x=時(shí)PF最大）

教師接著呈現(xiàn)（2）問(wèn)，讓學(xué)生求解驗(yàn)證猜想.

（解決（2）問(wèn)之后，在呈現(xiàn)（3）問(wèn)之前，教師以下列問(wèn)題繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形）

問(wèn)題1：連接M，G，F(xiàn)，P，在點(diǎn)P從B到C的過(guò)程中，四邊形MGFP的形狀會(huì)發(fā)生變化嗎？

問(wèn)題2：有沒(méi)有可能是特殊四邊形？如果有，是什么圖形？

問(wèn)題3：四邊形MGFP什么時(shí)候是平行四邊形？你是怎么判斷的？（學(xué)生回答當(dāng)PF=MG時(shí)）

問(wèn)題4：觀察圖形，P從B到C的過(guò)程中，由于PF的長(zhǎng)度變化是從小到大再到小，此時(shí)有幾種PF=MG的情況？（繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)想象圖形）

學(xué)生畫(huà)出兩個(gè)可能的平行四邊形，教師繼續(xù)追問(wèn).

問(wèn)題5：你是怎么畫(huà)出這兩種情況的？（啟發(fā)學(xué)生從PF最大值的角度觀察PF的左右兩邊出現(xiàn)PF=MG的情況）

問(wèn)題6：點(diǎn)P從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，始終有PF∥MG，那么在PF∥MG條件下，你還有其他方法判定四邊形MGFP是平行四邊形嗎？（激發(fā)學(xué)生思維，復(fù)習(xí)回憶平行四邊形的判定）

問(wèn)題7：PF=MG和MP∥GF，你覺(jué)得你能求哪個(gè)？（學(xué)生回答目前能求PF=MG）

接著教師呈現(xiàn)（3）問(wèn)讓學(xué)生求解驗(yàn)證，并對(duì)（3）問(wèn)進(jìn)行追問(wèn).

問(wèn)題8：如果P點(diǎn)沿著射線BC繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，還能得到以M，G，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的平行四邊形嗎？什么時(shí)候是平行四邊形？（繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出圖形）

接著，教師呈現(xiàn)問(wèn)題變式，讓學(xué)生求解.

變式：在射線BC上是否存在一點(diǎn)P，使得以M，G，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

環(huán)節(jié)4：概括小結(jié)，提煉函數(shù)思想

教師呈現(xiàn)本節(jié)課的復(fù)習(xí)框圖（圖3），總結(jié)：解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，首先觀察圖形的變化，如果需要確定圖形變量之間的關(guān)系時(shí)，通常建立函數(shù)模型求解；如果已經(jīng)確定了圖形之間的特殊位置或者一些特殊值時(shí)，可以建立方程模型求解. 其中，變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)知識(shí)的核心，我們?cè)诮鉀Q函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要學(xué)會(huì)觀察圖形的變化，關(guān)注變量的變化規(guī)律，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

單元復(fù)習(xí)課的視角在哪兒

單元復(fù)習(xí)課是以復(fù)習(xí)鞏固某一單元知識(shí)為主要任務(wù)的一種數(shù)學(xué)課型. 通過(guò)單元復(fù)習(xí)，使得學(xué)生對(duì)知識(shí)建立結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和關(guān)系化，又通過(guò)查漏補(bǔ)缺，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力. 所以，單元復(fù)習(xí)課要把學(xué)生擺在主體地位，給學(xué)生以充分的思考空間，讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的全過(guò)程，建立平等、和諧的課堂氣氛. 單元復(fù)習(xí)課的目標(biāo)視角不宜過(guò)大，應(yīng)注重核心問(wèn)題、課標(biāo)要求.

1. 課標(biāo)的視角：重視過(guò)程體驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累

《課標(biāo)》（2011年版）指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程……學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程……使學(xué)生體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). ”抓住“過(guò)程教學(xué)”和“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累”，讓單元復(fù)習(xí)課擺脫“題海戰(zhàn)術(shù)”的舊模式，上出新意.

本節(jié)課圍繞著一條拋物線y=x2-2x-3，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了二次函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)過(guò)程；讓學(xué)生經(jīng)歷“想圖形、畫(huà)圖形、算圖形”的全過(guò)程，層層遞進(jìn)，促進(jìn)思考自變量在不同取值范圍下的函數(shù)增減性，體驗(yàn)“形”的重要性；借助故事敘述的方式引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)由動(dòng)點(diǎn)引起圖形變化的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生先猜想，再求解驗(yàn)證的思考過(guò)程，并通過(guò)自己的思考積累思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而掌握解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的一般方法.

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志. “數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是在“做”中積累起來(lái)的. 教師要設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，對(duì)數(shù)學(xué)在實(shí)際中應(yīng)用的理解.

2. 系統(tǒng)的視角：抓住數(shù)學(xué)的核心概念和思想方法

章建躍教授指出：“構(gòu)建反映數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展邏輯、符合學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律的中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系，并使核心概念、思想方法在數(shù)學(xué)課堂中得到落實(shí)，是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量和效益的突破口，同時(shí)也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的抓手. ”單元復(fù)習(xí)課也要站在系統(tǒng)的角度，重新審視核心知識(shí)的地位和作用，主動(dòng)構(gòu)架，提高單元復(fù)習(xí)課的效率.

縱觀中學(xué)數(shù)學(xué)教材，二次函數(shù)占有極為重要的地位. 其中，有關(guān)二次函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)和應(yīng)用的討論和研究是相當(dāng)充分的. 本例中，選取動(dòng)點(diǎn)為載體，圍繞著二次函數(shù)的核心知識(shí)和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題展開(kāi)教學(xué)，注重圖像在解決問(wèn)題中的輔助作用，既使學(xué)生所學(xué)的分散知識(shí)系統(tǒng)化，又讓學(xué)生在經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想，突出了本章的核心知識(shí)和核心思想. 同時(shí)，研究函數(shù)所提供的動(dòng)態(tài)的方法、數(shù)形結(jié)合思想有利于拓展學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí).

3. 學(xué)生的視角：發(fā)展思維

從學(xué)生的視角來(lái)看，提升復(fù)習(xí)課的思維含量才能讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望. 單元復(fù)習(xí)課，應(yīng)該從關(guān)注考試轉(zhuǎn)變到關(guān)注學(xué)生，注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

比如，環(huán)節(jié)2，先讓學(xué)生猜D點(diǎn)的位置，然后再求解；環(huán)節(jié)3，由一個(gè)點(diǎn)的位置的變化，引起線段長(zhǎng)度、圖形形狀的變化的過(guò)程，讓學(xué)生先通過(guò)觀察圖形猜線段的最大值，猜平行四邊形的個(gè)數(shù)，目的是為了引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)去猜測(cè)，猜測(cè)是為了激發(fā)學(xué)生的思維，先猜再求解驗(yàn)證，這是動(dòng)點(diǎn)教學(xué)的一般方法. 然后將“點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)”變化到“點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)”，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類(lèi)討論解決問(wèn)題，體會(huì)分類(lèi)思想. 這樣設(shè)計(jì)，不僅讓學(xué)生直觀感知了數(shù)形結(jié)合意識(shí)，也突出了解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的一般方法的思考途徑，同時(shí)在解決問(wèn)題中，滲透了函數(shù)思想和化歸思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，從而發(fā)展數(shù)學(xué)思維.