王世軍　楊　超　王詩義　楊慧新　趙金娟　李淑娟　李鵬陽

西安理工大學，西安，710048

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基于真應力-應變關系的粗糙表面法向接觸模型

王世軍楊超王詩義楊慧新趙金娟李淑娟李鵬陽

西安理工大學，西安，710048

提出一種粗糙表面的法向彈塑性接觸分析的建模方法。基于微凸體的彈塑性有限元接觸模型，分別研究了40Cr、45和Q235三種鋼材料的微凸體與剛性平面的法向接觸特性。有限元模型中采用三種材料的真應力-應變關系，考察了不同強化特性對微凸體接觸性質的影響。建立了微凸體在彈性、彈塑性、塑性變形階段統(tǒng)一的接觸變量變化規(guī)律的表達式。在此基礎上應用概率統(tǒng)計理論建立粗糙表面法向彈塑性接觸模型。所建立的接觸模型中微凸體接觸變量的變化規(guī)律完全基于彈塑性有限元模型的計算結果，無需將微凸體的變形過程區(qū)分為不同的變形階段，避免了接觸變量在各階段采用不同函數表達式帶來的連續(xù)性和光滑性問題，以及在彈塑性階段采用插值函數的隨意性問題。通過與其他接觸模型的計算結果相比較，證明了所提出接觸模型的合理性。

粗糙表面；法向；彈塑性變形；接觸模型

0　引言

機械零件的接觸表面在微觀上都是凸凹不平的粗糙表面，零件的接觸在微觀上都是粗糙表面之間的接觸。

文獻[1]基于Hertz接觸理論提出了粗糙表面的法向彈性接觸模型(GW模型)。該模型假設粗糙表面間的接觸變形是彈性變形，接觸表面由半徑相等的彈性微凸體構成，高度分布服從指定的概率分布，各微凸體在接觸變形過程中互不影響。GW模型利用Hertz接觸理論描述各個微凸體與光滑剛性表面的接觸性質，在此基礎上，利用概率統(tǒng)計方法獲得粗糙表面的接觸性質。文獻[2]隨后對該模型進行了改進，計入了微凸體的塑性變形，并提出對于微凸體高度服從高斯分布的兩個粗糙表面，其接觸模型可以簡化為一個粗糙表面與剛性光滑平面的接觸模型(GT模型)。

文獻[3]在GW模型和GT模型的基礎上，基于微凸體塑性變形的體積守恒原理建立了粗糙表面的彈塑性接觸模型(CEB模型)。該模型考慮了微凸體的完全彈性和完全塑性狀態(tài)，沒有考慮兩者之間的彈塑性過渡狀態(tài)，給出的接觸載荷與法向接近量的關系在彈性變形與塑性變形的臨界點處并不連續(xù)，很多基于分形理論的接觸分析模型中也采用這種僅考慮彈性階段和塑性階段的微凸體變形假定[4-7]。微凸體的接觸變形過程中，接觸剛度、接觸載荷、平均接觸壓力、接觸面積等接觸變量連續(xù)、單調變化。接觸剛度變化的連續(xù)性要求接觸載荷、平均接觸壓力、接觸面積等接觸變量的變化必須光滑，即保持一階連續(xù)，但是CEB模型不滿足這種連續(xù)性和光滑性要求。

文獻[8]針對CEB模型存在的問題，提出了包含彈性、彈塑性和塑性三種變形狀態(tài)的表面接觸模型(ZMC模型)，該模型利用插值方法建立微凸體在彈塑性變形階段接觸面積和平均接觸壓力與法向接近量之間的關系，但該模型還存在微凸體接觸壓力在不同變形階段的臨界點處不光滑和完全塑性變形臨界點不確定等問題。文獻[9]進一步對ZMC模型進行改進，采用三次樣條函數對接觸狀態(tài)的變化過程進行插值，建立了一種在臨界點滿足連續(xù)性和光滑性要求的法向接觸模型。文獻[10]采用Hermit多項式對彈塑性變形階段的接觸變化過程進行插值，也獲得了一種滿足光滑性和連續(xù)性條件的接觸分析模型。針對文獻[9-10]中描述平均接觸壓力變化的插值函數存在非單調性問題，文獻[11]提出采用單調的橢圓曲線描述微凸體彈塑性變形階段的平均接觸壓力與法向接近量之間的關系。

上述基于ZMC模型發(fā)展起來的包含彈塑性過渡階段的接觸模型，對于彈塑性過渡階段接觸狀態(tài)的描述都是依賴于選定的插值函數。插值函數的選擇只要滿足連續(xù)性和光滑性要求即可，不同的插值函數在彈塑性過渡階段的取值會有比較大的差異，不能準確反映接觸變量的真實變化規(guī)律。文獻[12]采用有限元法研究微凸體在接觸變形過程中接觸變量的變化規(guī)律，提出了基于有限元結果的接觸分析模型(KE模型)。該模型存在的問題與CEB模型類似，即微凸體接觸過程從彈性階段轉變到塑性階段時接觸變量不連續(xù)，并且微凸體的材料采用無強化的理想彈塑性模型，這與一般金屬材料的性質并不完全一致。文獻[13]中基于分形理論的接觸模型中微凸體的接觸變形規(guī)律就采用KE模型中微凸體的接觸變量表達式。文獻[14]的JG模型在KE模型的基礎上進行了改進，滿足了接觸變量在彈塑性過渡階段的連續(xù)性要求，但是光滑性的要求并沒有完全滿足，平均接觸壓力曲線的斜率在彈性階段的臨界點處相差6.1%，并且仍然采用無強化的彈塑性材料模型。文獻[15]的KS模型采用試驗獲得的工程應力-應變關系，該研究中建立了帶有強化的彈塑性微凸體有限元接觸模型，分析了重載條件下接觸變量的變化規(guī)律。由于該模型的接觸載荷遠超過正常機械連接的壓力范圍，故其接觸過程并不表現(xiàn)出彈性階段和彈塑性過渡階段的接觸性質。

針對上述微凸體接觸建模中存在的不足，本文基于材料的真應力-應變關系，采用有限元方法研究微凸體接觸變量在彈塑性過渡階段的變化規(guī)律，基于GW模型提出一種改進的粗糙表面法向接觸分析模型，避免彈塑性過渡階段插值函數選擇的隨意性，同時保證接觸變量的光滑和連續(xù)。

1　微凸體的接觸分析

本文對微凸體的簡化仍然采用GW模型的假定，即微凸體的頂部是球形并且具有相同的曲率半徑，微凸體的高度隨機分布，微凸體的分布密度和曲率半徑都是常數，接觸變形過程中，假定微凸體之間的變形互不影響，這些假定與CEB模型和ZMC模型一致。

圖1是半球形微凸體的軸對稱模型?？紤]到微凸體的幾何和載荷的對稱性，在模型的左側施加水平位移約束。微凸體的底面與基體相連，考慮到基體對微凸體變形的約束特性，將半球底面的位移全部約束。微凸體的半徑R=30μm，采用四邊形單元，單元總數為20 581個，剛性平面與微凸體之間的接觸單元總數為1372個。文獻[14]中的接觸單元僅100個，而文獻[12]中只有225個四邊形軸對稱單元，接觸單元數量更少。

圖1　微凸體的有限元模型

圖2　三種材料的真應力-應變關系

圖2是通過材料拉伸試驗獲得的三種常用的具有代表性的鋼材真應力-應變曲線，本文利用多線性彈塑性各向同性強化模型將這些數據引入有限元接觸計算中。圖2所示的三種材料除了屈服極限不同外，與理想彈塑性材料相比具有明顯的強化特性。與文獻[3-14]采用的無強化理想彈塑性材料模型和文獻[15]采用的基于工程應力-應變關系的彈塑性材料模型相比，本文的材料模型更符合工程實際。

1.1接觸面積與變形量的關系

通過有限元計算獲得三種不同材料的微凸體在不同的法向變形量h下的接觸面積A后，將計算結果按下式進行量綱一化處理：

(1)

(2)

A1=πRh1

(3)

式中，h*、A*分別為量綱一法向變形量和量綱一接觸面積；h1為微凸體由彈性階段過渡到彈塑性階段的臨界變形量[11]；A1為微凸體由彈性階段過渡到彈塑性階段的臨界接觸面積；k為平均接觸壓力系數[16-17]，k=0.4；H為材料硬度，H=2.8σs；σs為材料的屈服極限；μ為泊松比；E為彈性模量。

根據圖2的試驗數據，Q235的屈服極限σs=240 MPa，45鋼的屈服極限σs=360 MPa，40Cr的屈服極限σs=740 MPa。三種材料的泊松比μ=0.3，彈性模量E=207 GPa。

三種材料有限元計算結果量綱一化后的接觸面積-法向接觸變形關系如圖3所示。作為比較，文獻[9,11]的曲線也顯示在圖中。圖4是圖3在接觸變形比較小時的局部放大。兩圖中三種不同材料的曲線基本重合，表明量綱一化后的面積曲線與材料無關。圖4中量綱一的接觸變形h*<2時，有限元結果與文獻[9,11]中根據Hertz接觸理論獲得的純彈性階段的曲線能夠很好吻合，h*>2之后，有限元結果與文獻[9,11]以及Hertz接觸理論的結果逐漸偏離，這與微凸體中塑性區(qū)逐漸變大有關。圖3和圖4中，文獻[11]在彈塑性過渡階段采用了與文獻[10]相同的Hermit插值函數，在這一區(qū)間里，文獻[10]的結果與文獻[11]相同。圖3中，在50

圖3　量綱一接觸面積-法向變形量關系曲線

圖4　量綱一接觸面積-法向變形量關系曲線(局部放大)

文獻[12]由于接觸單元數量少，故沒有給出h*<1的彈性階段的接觸面積變化的有限元結果，直接采用Hertz接觸理論計算接觸面積，在1≤h*≤6區(qū)間和6110的塑性階段，接觸面積按塑性接觸理論[17]計算，這樣在h*的不同階段和區(qū)間的臨界點處，面積變化規(guī)律并不連續(xù)和光滑。文獻[14]給出了h*≤1.9時的有限元結果，由于在這一階段進入接觸狀態(tài)的單元數量少，數據一致性差，故在該區(qū)間也采用Hertz接觸理論計算接觸面積，在h*>1.9的彈塑性過渡階段采用基于有限元結果的擬合公式，在塑性階段采用塑性接觸理論計算接觸面積，因此不同階段的接觸面積與文獻[12]一樣也存在連續(xù)性和光滑性問題。圖4的結果表明，微凸體接觸面積在彈性階段逐漸偏離Hertz接觸的結果，并不存在一個嚴格的從彈性到彈塑性變形的臨界點，在彈性階段采用Hertz接觸理論計算接觸面積，在彈塑性階段用插值函數[9-11]或者擬合函數[12,14]表達式描述面積變化規(guī)律的方法都存在理論誤差。

對圖3中三種材料的有限元計算結果，本文采用如下兩項形式的冪函數來擬合：

A*=1.91(h*)1.048+1.262(h*)0.8422

(4)

h*<200

該函數擬合了量綱一接觸變形從0到200之間的接觸面積變化規(guī)律，能夠連續(xù)、光滑地反映微凸體接觸面積在彈性階段、彈塑性階段和塑性階段的接觸面積變化規(guī)律。

1.2接觸力與變形量的關系

通過有限元計算獲得接觸面上的法向載荷F與變形量h，經過量綱一處理后得到圖5所示的F*-h*關系曲線，圖6是圖5法向變形量比較小時的局部放大，其中，量綱一接觸力圖5和圖6中三種不同材料的有限元結果有較好的一致性，文獻[9-10]的曲線不單調，與有限元結果差異較大，文獻[11]的曲線由于采用單調的插值函數，與有限元結果最為接近。

(5)

圖5　量綱一接觸力-法向變形量關系曲線

圖6　量綱一接觸力-法向變形量關系曲線(局部放大)

圖6中有限元結果在h*<1時與文獻[9-11]中基于Hertz接觸理論的曲線能較好地吻合，說明有限元計算結果在這個區(qū)間與Hertz理論的結果一致。文獻[12]沒有給出h*<1時的有限元結果，與接觸面積一樣，在這一區(qū)間接觸力直接采用Hertz理論的結果。文獻[14]在h*<1.9的區(qū)間里也采用Hertz理論的結果。文獻[12]在1≤h*≤6和6110時采用塑性理論的計算結果。文獻[14]在彈塑性過渡階段采用統(tǒng)一的擬合函數擬合接觸力，在塑性階段采用塑性理論的結果，其接觸力表達式雖然較文獻[12]在連續(xù)性上有改善，但是在各階段臨界點處仍然不光滑，據此求得的微凸體接觸剛度值仍然有突變。

本文采用下式擬合圖5中量綱一法向力F*與h*之間的關系：

F*=1.967(h*)1.182h*<200

(6)

該式統(tǒng)一反映了三種材料的微凸體從彈性、彈塑性到塑性三個階段的量綱一的載荷-變形規(guī)律，滿足接觸變量的連續(xù)性和光滑性要求。

1.3平均接觸壓力與變形量的關系

通過有限元計算獲得微凸體法向接觸力和接觸面積以后，可以求得法向平均接觸壓力p與法向變形量h之間的關系。圖7是量綱一化后的三種不同材料的平均接觸壓力p*與法向變形量h*之間的關系，這里平均接觸壓力p按下式量綱一化：

(7)

圖7　量綱一平均接觸壓力-法向變形量關系曲線

為了對比，圖7中也給出了文獻[9-11]的曲線。圖7中文獻[11]的曲線與本文的有限元結果較為接近，但是文獻[9-10]的曲線在彈塑性過渡階段都不是單調曲線，有較大的過沖，與本文結果存在較大差異。此外，在h*>110的塑性階段，文獻[9-11]的曲線采用p*=H的水平線，但是本文的有限元結果仍然有逐漸增大的趨勢，這與本文計入了材料強化特性有關。文獻[12]只給出了彈塑性階段量綱一化的平均接觸壓力的有限元結果，在彈性階段采用Hertz接觸理論的結果，塑性階段的變化規(guī)律則與文獻[9-11]相同。這樣，在不同階段的臨界點處，文獻[12]的曲線雖然連續(xù)，但是并不光滑。文獻[14]在p*>50后的曲線則隨材料不同而有明顯差異，并且隨著變形增大，p*的變化規(guī)律也不相同，甚至有逐漸下降的趨勢。本文的結果則是三種材料的平均接觸壓力曲線基本吻合并且在整個接觸變形過程中都是單調上升，這與文獻[15]在重載條件下的計算結果一致。此外，由于文獻[14]中法向力和接觸面積在塑性階段并沒有明顯地與材料性質相關，因此平均接觸壓力也不應與材料性質相關，由此本文認為文獻[14]給出的在p*>50后接觸壓力變化規(guī)律并不準確。

圖8是微凸體量綱一平均接觸壓力p*在接觸變形h*<8時的變化規(guī)律。三種材料的接觸壓力在h*<1時與文獻[9-11]采用Hertz接觸理論得到的壓力曲線一致。文獻[14]雖然給出了彈性變形階段平均接觸壓力的有限元結果，但是數值上與Hertz理論的結果有明顯差異，為此在彈性階段與文獻[12]一樣直接采用Hertz接觸理論求得的平均接觸壓力變化規(guī)律。這樣，在h*=1.9處，文獻[14]中的平均接觸壓力與接觸面積和法向力一樣存在連續(xù)性和光滑性問題。在彈塑性階段與塑性階段的臨界點處，文獻[14]中的平均接觸壓力也存在同樣的問題。

圖8　量綱一接觸壓力-法向變形量關系曲線(局部)

本文采用下述兩項的冪函數擬合圖7中的有限元結果：

p*=1.84(h*)0.3544-1.396(h*)0.3889h*<200

(8)

該函數能夠比較好地反映微凸體彈性、彈塑性、塑性各個變形階段的平均接觸壓力的變化規(guī)律，并能滿足單調、連續(xù)、光滑的要求。

2　粗糙表面的接觸模型

假定名義接觸面積上有N個微凸體，微凸體高度符合高斯分布，則微凸體高度分布的概率密度函數

(9)

式中，σ為微凸體高度分布的方差；z為微凸體的峰高。

粗糙表面間距為d時的真實接觸面積

(10)

這里，A=A1A*，h=h1h*，d=z-h。

類似地可以求得間距為d時粗糙表面間的法向接觸力和平均接觸壓力：

(11)

(12)

由于本文中微凸體接觸變量的變化規(guī)律完全依據有限元計算結果，無需將接觸過程劃分為彈性、彈塑性、塑性三個階段，故反映粗糙表面接觸性質的式(10)～式(12)不需要劃分為若干個積分區(qū)間分別構造積分表達式，形式上比文獻[9-12,14]的表達式簡潔，并且能夠計入材料屈服后的強化特性，滿足曲線連續(xù)性和光滑性要求。

3　模型的驗證

為了將本文模型與其他相關模型進行對比，采用文獻[11]的正則化方法對式(10)～式(12)量綱一化：

(13)

曲線

曲線

曲線圖9　不同粗糙表面模型的比較

4　結語

采用有限元法研究彈塑性微凸體的接觸性質，在接觸區(qū)采用高密度的接觸單元并計入了材料屈服后的真應力-應變關系，得到的量綱一的微凸體接觸變形規(guī)律能夠比較準確地反映微凸體在彈性、彈塑性和塑性變形過程中的接觸性質。雖然量綱一的接觸變形規(guī)律僅僅是基于三種代表性材料得到的，但是三種不同材料的計算結果具有良好的一致性，這一結果表明，擬合得到的量綱一接觸變量表達式對于性能接近的其他鋼材也具有一定通用性。對于性能差別較大的材料以及微凸體更大的接觸變形，可以采用本文的分析方法得到類似的微凸體的接觸變形規(guī)律。

基于有限元的微凸體接觸特性分析雖然是根據特定半徑的微凸體模型進行的，但是經過量綱一處理后得到的接觸變量的變化規(guī)律具有一般性，與具體的微凸體尺度無關，接觸變量表達式的準確性只與有限元模型的準確性和擬合精度有關。微凸體的接觸特性是建立粗糙表面分析模型的基礎之一，利用本文的研究成果，可以進一步提高粗糙表面接觸分析模型的準確性。

只要求連續(xù)、光滑和單調并不能唯一確定描述微凸體在彈塑性過渡階段平均接觸壓力的變化規(guī)律的插值函數。本文在微凸體變形的各階段采用統(tǒng)一的函數擬合有限元的計算結果，建立統(tǒng)一、連續(xù)、光滑的接觸變量表達式，能夠避免文獻[9-11]在彈塑性過渡階段采用插值函數的隨意性帶來的理論誤差。

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(編輯盧湘帆)

NormalContactModelofRoughSurfacesBasedonTrueStress-StrainRelationship

WangShijunYangChaoWangShiyiYangHuixinZhaoJinjuanLiShujuanLiPengyang

Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an，710048

Amodelingmethodfornormalelastic-plasticcontactofroughsurfaceswaspresented.Basedonelastic-plasticfiniteelementcontactmodelofasperity,normalcontactcharacteristicsbetweenasperitiesof40Cr, 45,Q235andrigidplanewerestudiedrespectively.Infiniteelementmodel,thetruestress-strainrelationshipsofthethreematerialswereusedandtheinfluencesofthedifferenthardeningbehaviorsoncontactcharacteristicsofasperitywereinvestigated.Asaresult,unifiedfunctionexpressionsofcontactvariablesofasperitywerebuiltinthreestages:elastic,elastic-plastic,plasticdeformation.Basedonthecontactanalysisofasperity,anormalelastic-plasticcontactmodelofroughsurfaceswasbuiltbyprobabilisticstatisticsmethod.Bythepresentedmethod,thechangesofcontactvariablesofasperityinthecontactmodeldependedentirelyonresultsofelastic-plasticfiniteelementanditwasunnecessarytodividethedeformationprocessofasperityintodifferentdeformationstages,whichavoidednon-continuityandnon-smoothnessofcontactvariablesbetweendifferentstagesandarbitrarinessofchoiceofinterpolationfunctioninelastic-plasticdeformationstage.Comparedwithothercontactmodels,thecalculatedresultsofthemodelareconfirmed.

roughsurface;normal;elastic-plasticdeformation;contactmodel

2015-10-12

國家自然科學基金資助項目(51145720)；陜西省科技廳科技統(tǒng)籌創(chuàng)新工程重點實驗室資助項目(2014SZS10-P05)

O343.3

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.16.004

王世軍，男，1967年生。西安理工大學機械與精密儀器學院副教授。主要研究方向為機械結合部特性。發(fā)表論文40余篇。楊超，男，1988年生。西安理工大學機械與精密儀器學院碩士研究生。王詩義，男，1989年生。西安理工大學機械與精密儀器學院碩士研究生。楊慧新，男，1992年生。西安理工大學機械與精密儀器學院碩士研究生。趙金娟，女，1974年生。西安理工大學印刷包裝工程學院講師。李淑娟，女，1968年生。西安理工大學機械與精密儀器學院教授、博士研究生導師。李鵬陽，男，1972年生。西安理工大學機械與精密儀器學院副教授。