吳錦武，趙飛，王縣委，李根

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層合板頻率響應(yīng)與聲功率雙目標優(yōu)化設(shè)計

吳錦武1，趙飛2，王縣委1，李根1

(1. 南昌航空大學飛行器工程學院，江西南昌 330063；2. 中航航空服務(wù)保障(天津)有限公司，天津 300301)

利用遺傳算法對復合材料層合板結(jié)構(gòu)的固有頻率間隔和輻射聲功率進行雙目標優(yōu)化設(shè)計。利用分層理論結(jié)合有限元模型求解層合板的固有頻率和振速分布。通過聲輻射模態(tài)理論，計算層合板結(jié)構(gòu)輻射聲功率。以鋪設(shè)角度作為設(shè)計變量，第一階與第二階固有頻率間隔和輻射聲功率作為雙目標優(yōu)化目標函數(shù)，以某4層的層合板結(jié)構(gòu)為例，采用目標加權(quán)法優(yōu)化目標函數(shù)。研究了不同權(quán)重系數(shù)、不同頻率時固有頻率間隔最大化和聲功率最小化對應(yīng)的優(yōu)化鋪設(shè)角度。由數(shù)值分析結(jié)果可知：不同的權(quán)重系數(shù)比下獲得的Pareto最優(yōu)解不同；在同一權(quán)重系數(shù)下，兩個優(yōu)化目標所起的作用不盡相同；隨著頻率的增加，選擇相對較大的權(quán)重系數(shù)可使Pareto最優(yōu)解較好地兼顧兩個優(yōu)化目標。

鋪設(shè)角度；固有頻率；聲功率；遺傳算法

0 引言

由于復合材料結(jié)構(gòu)具有比強度大、比剛度高、材料性能可設(shè)計等特點，近年來針對復合材料層合板結(jié)構(gòu)減振降噪的優(yōu)化設(shè)計，越來越引起人們的關(guān)注[1-8]。隨著纖維板聲學特性研究的深入，纖維鋪設(shè)角度是層合板結(jié)構(gòu)中一個重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)，以其作為設(shè)計變量的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計也越來越多[9]。如在減振優(yōu)化設(shè)計方面，Topal等[1]通過一階剪切理論計算層合板固有頻率，并以固有頻率最大化為目標函數(shù)，以鋪層順序為設(shè)計變量，將改進的可行方向法(Modified feasible direction method)和有限元相結(jié)合，對層合板的鋪層順序進行了優(yōu)化設(shè)計。其次，當外激勵頻率越高時，可將增大相鄰兩階固有頻率之間的間隔作為優(yōu)化目標，如Adali等[2]以最大基頻和最高頻率間隔作為設(shè)計變量在自由振動下確定了對稱層合板的最佳鋪層順序。另外Kayikci等[3]以固有頻率及固有頻率間隔作為目標函數(shù)，以鋪設(shè)角度作為設(shè)計變量進行層合板結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析。

在聲優(yōu)化設(shè)計方面，以層合板在外激勵作用下的聲輻射功率最小作為設(shè)計變量，優(yōu)化復合材料鋪層順序[4-6]。其中陳爐云等[6]利用遺傳算法以聲輻射功率最小化為目標函數(shù)，對層合板鋪設(shè)層數(shù)、厚度以及鋪層順序等進行集成優(yōu)化設(shè)計。以上研究一般基于等效單層板理論分析其動力學特性。

上述研究大多數(shù)針對單一目標進行優(yōu)化設(shè)計。針對實際需要，層合板結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化設(shè)計的研究越來越多[7-8]。但是大多數(shù)目標函數(shù)集中在結(jié)構(gòu)強度、剛度、質(zhì)量、重量等。本文擬通過分層理論結(jié)合有限元模型得到層合板結(jié)構(gòu)的固有頻率?；诼曒椛淠B(tài)得到結(jié)構(gòu)輻射聲功率，通過遺傳算法以結(jié)構(gòu)固有頻率間隔與聲功率同時作為優(yōu)化目標函數(shù)，以鋪設(shè)角度作為設(shè)計變量，對層合板結(jié)構(gòu)的減振與降噪進行優(yōu)化設(shè)計研究。

1 結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)

基于分層理論，在沿板厚方向采用分層插值，層合板結(jié)構(gòu)物理模型如圖1所示。

層合板結(jié)構(gòu)的位移場可表示為[10]

(2)

式(3)中：表示層合板的第個鋪設(shè)層的厚度；為板厚的局部坐標。根據(jù)有限元理論，式(1)中，、、可表示為:

(4)

其中:

(6)

其中矩陣元素見參考文獻[11]。

根據(jù)有限元理論，層合板結(jié)構(gòu)的動力學方程為

其中：為單元質(zhì)量矩陣;為單元剛度矩陣;為阻尼矩陣；為單元等效節(jié)點力矩陣。由式(8)可求得結(jié)構(gòu)表面法向位移、法向速度向量()。層合板的各階固有頻率可由行列式求得。

2 固有頻率間隔優(yōu)化

研究結(jié)構(gòu)的固有頻率是避免結(jié)構(gòu)共振的一個重要內(nèi)容。由參考文獻[3]可知，為了避免結(jié)構(gòu)共振，可定義固有頻率間隔作為優(yōu)化目標函數(shù)。頻率參數(shù)[3]為:

(10)

針對層合板的固有頻率，取最大相鄰階固有頻率間隔作為優(yōu)化變量。結(jié)構(gòu)-頻率優(yōu)化模型[11]為

3 結(jié)構(gòu)頻率間隔-聲輻射雙目標優(yōu)化模型

本文主要采用基于目標加權(quán)的遺傳算法來優(yōu)化目標函數(shù)：其核心思想是對目標中每一個目標向量分配一個權(quán)重，將多目標分量乘以各自的權(quán)重系數(shù)后再相加，構(gòu)成一個新的目標函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化成一個單目標優(yōu)化問題求解。在對每個個體取不同的權(quán)重函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用遺傳算法求解得到多目標優(yōu)化問題的多個Pareto最優(yōu)解，即為多目標規(guī)劃問題的有效解。

式(12)中：1表示層合板的第一階固有頻率(基頻)，通過取合適的1、2，使1+2=1，這樣可把多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成為單目標優(yōu)化問題。權(quán)重系數(shù)=[1,2,…,]可反映每個目標函數(shù)的重要性。通過選取不同的權(quán)重系數(shù)，可以獲得不同的Pareto最優(yōu)解。

4 數(shù)值分析

以某四層碳纖維/環(huán)氧復合材料層合板為例，層合板性能參數(shù)為：長=0.3480 m，寬=0.3048 m，厚度=0.002 m，楊氏模量，，剪切模量，，阻尼比=0.05；固定激勵頻率=200 Hz和=500 Hz，板中心激勵力大小為1，初始角度為[0o]4，利用遺傳算法對復合材料層合板鋪層順序進行單目標和雙目標優(yōu)化設(shè)計。

4.1 固有頻率間隔優(yōu)化

鋪設(shè)角度采用離散形式，相鄰兩角度之間的步長分別為90o、45o、30o、15o，初始角度為[0o]4即為[0o/0o/0o/0o]，取前兩階無量綱固有頻率間隔為優(yōu)化變量，優(yōu)化層合板鋪層順序。表1為四層層合板的優(yōu)化結(jié)果。

表1 不同角度步長時層合板的鋪設(shè)角度優(yōu)化結(jié)果

由表1可見，隨著相鄰兩角度之間的步長減小，即角度遞增量的增加，目標函數(shù)逐漸增大，從而說明角度遞增量越小，優(yōu)化效果越好；但隨著角度遞增量的減小，計算量成倍的增加，尋找全局最優(yōu)解將變得越來越困難，因此在實際應(yīng)用過程中目標函數(shù)的角度遞增量要根據(jù)實際情況靈活選取。

4.2 聲功率最小化優(yōu)化

仍以上述結(jié)構(gòu)為例，以結(jié)構(gòu)輻射聲功率最小作為目標，采用遺傳算法優(yōu)化層合板鋪層順序，初始角度分別為[0o]4、[0o]8。表2為激勵頻率和時層合板鋪層順序優(yōu)化結(jié)果。

表2 激勵頻率wp=200 Hz和wp=500 Hz層合板鋪層順序優(yōu)化

由表2可見，通過對層合板鋪層順序的優(yōu)化，其聲輻射功率級在激勵頻率為200 Hz時降低了1.9 dB，激勵頻率為500 Hz時降低了6.2 dB。說明通過鋪設(shè)角度優(yōu)化可使層合板結(jié)構(gòu)具有良好的降噪效果。這與復合材料的各向異性有關(guān)。

4.3 雙目標優(yōu)化

對于固有頻率間隔與聲功率雙目標優(yōu)化，主要的是選擇合適的權(quán)重系數(shù)1、2。本文選取如表3和表4中的12個權(quán)重系數(shù)比計算上述層合板的鋪層順序雙目標優(yōu)化的Pareto最優(yōu)解，由于實際層合板結(jié)構(gòu)45o鋪設(shè)角度偏多，同時為了減少計算工作量，故層合板的鋪層角度選擇區(qū)間為[-45o，0o，45o，90o]四個離散值。

表3 不同權(quán)重系數(shù)比的雙目標優(yōu)化Pareto最優(yōu)解(200 Hz)

由表3、4可見：不同的權(quán)重系數(shù)比下獲得的Pareto最優(yōu)解不同，因此本文分別選取權(quán)重系數(shù)比1:2分別為1:1、1:10，1:20做詳細討論。

從表3和表4可知：在相同頻率下，權(quán)重系數(shù)從小于1:10開始，隨著權(quán)重系數(shù)的變小，優(yōu)化后的目標函數(shù)和()數(shù)值隨之大幅度變小。當權(quán)重系數(shù)在10:1到1:5之間，優(yōu)化后的目標函數(shù)和()結(jié)果相同，相應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計變量（即鋪設(shè)角度）也一致。當權(quán)重系數(shù)大于1:10時，優(yōu)化后的目標函數(shù)數(shù)值相差較大。

表4 不同權(quán)重系數(shù)比的雙目標優(yōu)化Pareto最優(yōu)解(500 Hz)

表5~7分別表示權(quán)重系數(shù)取1:2=1:1、1:10，1: 20時，激勵頻率=200 Hz時層合板鋪層順序多目標優(yōu)化結(jié)果。

表5 激勵頻率wp=200 Hz多目標鋪設(shè)角度優(yōu)化(l1:l2=1:1)

表6 激勵頻率wp=200 Hz多目標鋪設(shè)角度優(yōu)化(l1:l2=1:10)

表7 激勵頻率wp=200 Hz多目標鋪設(shè)角度優(yōu)化(l1:l2=1:20)

從表5~7可知：隨著1:2的增大，相同角度步長時的聲功率數(shù)值也逐漸減小。

由表5～10可知，當權(quán)重系數(shù)比1:2=1:1時，兩個優(yōu)化目標中所起的作用明顯遠遠大于聲輻射功率，以至于最終優(yōu)化結(jié)果與頻率間隔單目標優(yōu)化時的結(jié)果基本一致，導致聲輻射功率過大，激勵頻率為500 Hz時尤其明顯。當權(quán)重系數(shù)比增大到1:2=1:10甚至是1:20時，兩個優(yōu)化目標對最終結(jié)果的貢獻趨近于相等。因此在200 Hz外激勵下，選擇權(quán)重系數(shù)比1:2=1:20，而在500 Hz外激勵下，權(quán)重系數(shù)比1:2選擇1:10比較合適。

表8 激勵頻率wp=500 Hz多目標鋪設(shè)角度優(yōu)化(l1:l2=1:1)

表9 激勵頻率wp=500 Hz多目標鋪設(shè)角度優(yōu)化(l1:l2=1:10)

表10 激勵頻率wp=500 Hz多目標鋪設(shè)角度優(yōu)化(l1:l2=1:20)

層合板在200 Hz外激勵下，權(quán)重系數(shù)比1:2=1:20時的遺傳算法迭代過程如圖2所示。在500 Hz外激勵下，權(quán)重系數(shù)比1:2選擇1:10時的遺傳算法迭代過程如圖3所示。從圖2、3可知：

在角度步長一致的情況下，外激勵頻率越高，同一參數(shù)優(yōu)化計算需要的迭代次數(shù)越多。另外，角度步長越小，種群均值收斂速度越慢，其中角度步長為90°時，種群均值收斂速度最快。

(a) 90°

(b) 45°

(c) 30°

(d) 15°

圖2. 不同遞增角度的層合板多目標優(yōu)化迭代過程(=200 Hz、1:2=1:20)

Fig.2 Iteration process of double objective optimization(=200 Hz、1:2=1:20)

(a) 90°

(b) 45°

(c) 30°

(d) 15°

圖3 不同角度步長的層合板多目標遺傳算法迭代過程(=500 Hz、1:2=1:10)

Fig.3 Iteration process of double objective optimization(=500 Hz、1:2=1:10)

在200 Hz外激勵下，權(quán)重系數(shù)比1:2=1:20時的Pareto最優(yōu)解較好地兼顧了兩個優(yōu)化目標，即對應(yīng)優(yōu)化角度分別為：[90o/90o/0o/0o]、[90o/0o/-45o/0o]、[90o/0o/-60o/0o]以及[90o/15o/-45o/0o]。在以上四種優(yōu)化角度下，層合板結(jié)構(gòu)在全頻段內(nèi)的聲功率如圖4所示。為了對比，圖4中增加了[0o]4鋪設(shè)角度下對應(yīng)的聲功率。

由圖4可知：四種鋪設(shè)角度的對應(yīng)的聲功率最大值基本相同。另外對照表5所示內(nèi)容，由圖4也可知，[90o/15o/-45o/0o]鋪設(shè)角度下的基頻最小為82 Hz，同時頻率間隔最大。而[90o/90o/0o/0o]鋪設(shè)角度下的基頻最大為100.6 Hz，同時頻率間隔最小。

在500 Hz外激勵下，權(quán)重系數(shù)比1:2=1:10時對應(yīng)的優(yōu)化角度分別為[0o]4、[90o/0o/90o/0o]以及[-30o/90o/90o/-30o]。根據(jù)上述三種優(yōu)化鋪設(shè)角度，計算可得到層合板結(jié)構(gòu)前10階固有頻率，如表11所示。

表11 激勵頻率wp=500 Hz層合板前10階固有頻率(l1:l2=1:10)

另外，500 Hz三種優(yōu)化角度下結(jié)構(gòu)在全頻段內(nèi)的聲功率如圖5所示。

由圖5可知：三種鋪設(shè)角度的對應(yīng)的聲功率最大值基本相同。[0o]4鋪設(shè)角度下的基頻最小為82 Hz，而且頻率間隔最小。[90o/90o/0o/0o]鋪設(shè)角度下的基頻最大，為100.6 Hz，頻率間隔也最大。同時當頻率超過700 Hz時，隨著頻率的增高，三種鋪設(shè)角度下的層合板聲功率基本一致。

綜上所示，選擇適當鋪設(shè)角度以及權(quán)重比，可使層合板結(jié)構(gòu)在減振和降噪方面同時得到優(yōu)化。

5 結(jié)論

(1) 通過分層有限元模型可計算得到層合板結(jié)構(gòu)的固有頻率。

(2) 通過遺傳算法，選擇合適的鋪設(shè)角度可進行復合材料層合板結(jié)構(gòu)聲功率的最小化設(shè)計。

(3) 選擇合適的權(quán)重系數(shù)，可實現(xiàn)層合板結(jié)構(gòu)的減振和降噪雙目標優(yōu)先，改善層合板的聲振特性，為實際復合材料的設(shè)計與應(yīng)用提供參考。

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Double objective optimization of frequency response and acoustic power for laminated composite plates

WU Jin-wu1, ZHAO Fei2, WANG Xian-wei1, LI Gen1

(1.School of Aircraft Engineering, Nanchang Hang Kong University, Nanchang330063,Jiangxi,China;2. Aviation Service Assurance Ltd, Aviation Industry Corporation of China, Tianjin300301, China)

Both the separation between two adjacent natural frequencies and the sound power of laminated composite plate are optimized by use of genetic algorithm in this paper. The layer-wise finite element model is imposed to determine the natural frequencies and the velocity distributions of laminated composite plates. Based on the acoustic radiation model, sound power is calculated. The fiber laying angles are chosen as design variables and the design objective is to minimize the sound power and to maximize the separation of two adjacent natural frequencies. A four-layer laminated plate are used as examples, the objective weighting method is used to optimize the objective function. And the optimal laying angles with sound power minimization and frequency separation maximization are discussed under different frequencies and different weight coefficients. The numerical simulations show that there are different Pareto optimal solutions under different weight coefficients. With frequency increasing, a relatively large weighting coefficient can be chosen for the Pareto optimal solution to balance the two optimization objectives.

the laying angle; natural frequency; sound power; genetic algorithm

TB332 TH113.1

A

1000-3630(2016)-02-0155-07

10.16300/j.cnki.1000-3630.2016.02.0013

2015-04-03;

2015-07-14

國家自然科學基金資助項目(51265038)

吳錦武(1976－), 男, 江西高安人, 博士, 教授, 研究方向為機械振動與聲控制。

吳錦武, E-mail: jinwu.w@hotmail.com