韓青青，陳濤，康彤，王然

(中國傳媒大學信息工程學院，北京100024)

?

I型超導(dǎo)體全離散T-ψ有限元法的誤差估計

韓青青，陳濤，康彤，王然

(中國傳媒大學信息工程學院，北京100024)

采用將磁場H進行T-ψ有限元分解的方法來解決I型超導(dǎo)的問題，其中帶有奇異核的卷積項是誤差估計的關(guān)鍵.首先我們要給出T-ψ具體形式，以及變分形式和相關(guān)的函數(shù)空間；其次，給出全離散格式，并證明其變分問題解的存在唯一性；最后，進行穩(wěn)定性研究和誤差估計。

I型超導(dǎo)體；奇異；全離散T-ψ方法；誤差估計

1　引言

為了給出本文要研究的數(shù)學模型，先從簡化的麥克斯韋方程組入手

(1)

其中B表示磁通量，E表示電場，H表示磁場，J表示電流密度。

.接下來定義Hilbert空間

H(curl，c)：={v∈L2(c)：▽×v∈L2(c)}

H0(curl，c)：={v∈H(curl，c)：v×n=0on?c}

((P，φ)，(Q，φ))v：=(P，Q)H1(c)+(▽φ，▽φ)Lz()

在本節(jié)我們將給出幾個重要的估計式.

(1.2)

(k0★h1，▽×h2)≤Cε‖h1‖2+ε‖▽×h2‖2，?h1∈L2()，h2∈H0(curl，)

(1.3)

定義1.1對于所有的(Q，φ)∈V存在(T，ψ)∈H1((0，T)，V)，使得下式成立

(1.4)

2　全離散

設(shè)Th是標準四面體剖分，下面我們定義有限元空間

全離散解的存在唯一性用Lax-Milgram定理容易得到.下面定義分片插值函數(shù)

因此(2.1)式的弱形式如下

=0?(Qh，φh)∈Vh

(2.2)

3　穩(wěn)定性和誤差估計

定理 3.1對于j=1，2，…，n，存在兩個常數(shù)τ0和C，使對于任意的0<τ<τ0，有

定理3.2設(shè)(1.4)的弱解(T，ψ)和初值(T0，ψ0)滿足

(T，ψ)∈L2((0，T)，H2(C)×H2())，(T0，ψ0)∈H1(C)×H2()

則全離散問題滿足如下的誤差估計

合并整理，運用Gronwall不等式，定理得證。

4　結(jié)論

本文通過將磁場H進行T-φ有限元分解，以及之后的誤差估計和穩(wěn)定性研究，從理論上證明了T-φ有限元方法解決Ⅰ型超導(dǎo)問題的可行性。

[1]Odeh F M.On the integrodifferential equations of the nonlocal theory of superconductivity[J].J Math Phys，1964，(8)：1168-1182.

[2]Lin T，Rogers R C. Accurate computation of the field in Pippard’s nonlocal superconductivitymodel[J].Integral Equations Appl，1995，7(2)：167-192.

[3]Zienkiewicz O C.Finite element-the basic concepts and the application to 3D magnetostatic problems[M].London：John Wiley & Sons INC，1980.

[4]Slodicka M.Nonlinear diffusion in type-II superconductors[J].J Computational & Applied Mathematics，2008，215(2)：568-576.

[5]Monk P.Finite Element Methods for Maxwelll’s Equations[M].UK：Oxford Seience Publications，2003.

(責任編輯：王謙)

Error Estimate of A Fully DiscreteT-ψfinite Element Method for Type-superconductor

HAN Qing-qing，CHEN Tao，KANG Tong，WANG Ran

(School of Sciences，Communication University of China，Beijing 100024，China)

This paper is devoted to the study of a fully discreteT-ψfinite element method based on H-decomposition to solve a nonlocal parabolic model for Type-I super-conductors. We first design a nonlocal scheme for approximation in suitablefunction spaces. Then，we suggest a fully discrete scheme and prove the convergence of the nonlocal scheme. Finally，derive itserror estimate.

type-I superconductor；singular；fully discreteT-ψfinite element method；error estimates

2015-07-14

韓青青(1990-)，女(漢族)，山西晉中人，中國傳媒大學碩士研究生.E-mail：1244919106@qq.com

O241.82

A

1673-4793(2016)01-0056-05