張子振，謝偉杰，江 月，李佳倩，趙 濤

(安徽財經(jīng)大學 管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233030)

一類時滯SIRS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的周期解

張子振，謝偉杰，江 月，李佳倩，趙 濤

(安徽財經(jīng)大學 管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233030)

本文研究了一類時滯SIRS計算機網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型。首先確定了模型產(chǎn)生Hopf分支的時滯臨界點。然后利用中心流形定理和規(guī)范型理論得到了確定Hopf分支的方向、穩(wěn)定性和分支周期解周期大小的顯性計算公式。最后，利用仿真示例驗證了所得結(jié)果的正確性。

SIRS模型；網(wǎng)絡(luò)病毒；周期解

1 引言

近年來，互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展為人們的日常工作和日常生活的各個方面都帶來了諸多便利。與此同時，隨著互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用的不斷發(fā)展，以及計算機網(wǎng)絡(luò)復雜性的不斷增長，計算機網(wǎng)絡(luò)安全問題日益顯著。受傳染病學領(lǐng)域研究工作的啟發(fā)，并考慮到網(wǎng)絡(luò)病毒在網(wǎng)絡(luò)中計算機之間的傳播與生物病毒在社會中個體之間的傳播相似性，不少傳染病模型被借助于研究網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播規(guī)律[1-4]。但是，以上對網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的研究均未考慮網(wǎng)絡(luò)病毒在計算機網(wǎng)絡(luò)傳播過程中的延遲時滯因素。因此，研究具有時滯的計算機網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型[5-7]，對于有效控制計算機網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播，更加具有現(xiàn)實意義。考慮到清除已感染計算機中的病毒需要一個時間周期，以及處于恢復狀態(tài)的計算機具有一定的臨時免疫期，文獻[7]研究了如下具有直接免疫的時滯SIRS計算機網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的Hopf分支的存在性：

(1)

其中，S(t)表示處于易感染狀態(tài)的計算機在時刻t的數(shù)量,I(t)和R(t)分別表示已感染的計算機和處于恢復狀態(tài)的計算機在時刻t的數(shù)量。A,p,α,β,γ,δ和μ為系統(tǒng)(1)的參數(shù)，均具有和文獻[5]相同的含義。τ是因清除網(wǎng)絡(luò)病毒而需要的時間周期以及恢復狀態(tài)的計算機具有的臨時免疫期而存在的時滯。文獻[5]討論了系統(tǒng)(1)Hopf分支的存在性，但是并沒有研究Hopf分支的性質(zhì)?；诖?，本文在文獻[5]的基礎(chǔ)上，進一步討論系統(tǒng)Hopf分支的穩(wěn)定性。

2 Hopf分支的存在性

進而，文獻[5]得到系統(tǒng)(1)在E(S*,I*,R*)處的特征方程。在此基礎(chǔ)上得到系統(tǒng)(1)局部漸近穩(wěn)定和產(chǎn)生Hopf分支的充分性條件。并確定得到產(chǎn)生Hopf分支的時滯臨界點τ0的表達式：

(2)

其中，g0,g2,g4,h0,h2,h4的表達式可由系統(tǒng)(1)中的各參數(shù)得到。即，當τ=τ0時，系統(tǒng)(1)在E(S*,I*,R*)處的特征方程具有一對共軛純虛根±iω0(ω0>0).

3 分支周期解的穩(wěn)定性

做轉(zhuǎn)換t→(t/τ),u1(t)=S(t)-S*,u2(t)=I(t)-I*,u3(t)=R(t)-R*,τ=τ0+μ,μ∈R. 則μ=0是系統(tǒng)(1)產(chǎn)生Hopf分支的臨界點，并且系統(tǒng)(1)可以轉(zhuǎn)化為下列形式

(3)

其中，

ut=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈

C=C([-1,0],R3)

(4)

(5)

根據(jù)Riesz表示定理可知，存在有界變差函數(shù)η(θ,μ),θ∈[-1,0]使得

(6)

可以選取

(7)

對于φ∈C([-1,0]),R3)，定義

(8)

和

(9)

則系統(tǒng)(3)可以轉(zhuǎn)化為下列算子方程形式

(10)

對于φ∈C1([-1,0]),(R3)*)，定義A(0)的伴隨算子A*

(11)

以及雙線性內(nèi)積

(12)

其中η(θ)=η(θ,0).

根據(jù)A(0)和A*的定義，可以計算得到A(0)的對應(yīng)于+iω0τ0的特征向量ρ(θ)和A*的對應(yīng)于-iω0τ0的特征向量ρ*(θ),

其中，

進而，利用文獻[8]中的算法可以得到下列參數(shù)表達式：

其中，

+E1e2iτ0ω0θ,

(13)

(14)

E1和E2的表達式可以由下列方程得到

(15)

(16)

其中，

最后，可以得到下列表達式：

β2=2Re{C1(0)},

(17)

對于系統(tǒng) (1), 如果μ2>0(μ2<0) , 則Hopf分岔是超臨界(次臨界)的；如果β2<0(β2>0),則分岔周期解是穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的；如果T2>0(T2<0), 則分岔周期解的周期是遞增(遞減)的。

4 數(shù)值仿真

取文獻[7]中相同的參數(shù)，得到如下系統(tǒng)(1)的示例模型：

(18)

經(jīng)過計算得到系統(tǒng)(18)的正平衡點E(0.75,1.794,0.7885).進而得到ω0=0.6545,τ0=1.8672。當我們?nèi)ˇ?1.25∈[0,τ0)時，系統(tǒng)(18)是漸近穩(wěn)定的。而當τ=1.965>τ0時，系統(tǒng)(18)失去穩(wěn)定性，產(chǎn)生Hopf分支。仿真效果如圖1-2所示。另外，根據(jù)公式(17)經(jīng)過計算，可得μ2=0.6589>0，β2=-0.7686<0,T2=1.0126>0.因此，可知，系統(tǒng)(18)在τ0=1.8672處產(chǎn)生的Hopf分支是超臨界的，分支周期解是穩(wěn)定的并且周期是遞增的。

圖1 當τ=1.25<τ0時，系統(tǒng)(18)漸近穩(wěn)定Fig.1 System (18) is asymptotically stability when τ=1.25<τ0

圖2 當τ=1.98>τ0時，系統(tǒng)(18)不穩(wěn)定并 發(fā)生Hopf分支Fig.2 System (18) lose stability and a Hopf bifurcation occurs when τ=1.98>τ0

5 結(jié)論

本文在文獻[7]的基礎(chǔ)上，進一步研究了時滯SIRS計算機網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的動力學性質(zhì)。主要結(jié)果如下：利用中心流形定理和規(guī)范型理論，得到了確定Hopf分支的方向、穩(wěn)定性和分支周期解周期大小的顯性計算公式。從仿真結(jié)果來看，在一定條件下，模型(1)中三種狀態(tài)的計算機數(shù)量會以周期震蕩形式共存。因此，應(yīng)該盡可能地延遲或控制Hopf分支的產(chǎn)生。本文所得結(jié)果是對文獻[7]的重要補充。

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[8]Hassard B D, Kazarinoff N D, Wan Y H, Theory and Applications of Hopf Bifurcation [M]. Cambridge University Press, Cambridge, 1981.

Periodic solutions of a delayed model for computer virus in network

ZHANG Zi-zhen ,XIE Wei-jie, JIANG Yue, LI Jia-qian, ZHAO Tao

(School of Management Science and Engineering, Anhui University of Finance and Economics, Anhui Bengbu 233030，China)

A delayed model for computer virus in network is investigated in this paper. The critical value when a Hopf bifurcation occurs is determined. Then, explicit formulas for direction and stability of the Hopf bifurcation and period of the periodic solution are obtained by using the center manifold theorem and the normal form theory. Finally, numerical simulations are presented in order to verify the obtained results.

SIRS model; Computer virus in network; Periodic solutions

2016-09-04

2016年度安徽省自然科學基金青年項目：“基于網(wǎng)絡(luò)層析成像的Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)測量模型與方法研究”(項目編號：1608085QF145)；“具有分級感染率的時滯網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型動力學性質(zhì)研究”(項目編號 ：1608085QF151)。

張子振(1982-)，男，山東聊城人,講師、博士。主要研究方向：信息安全。

TP391.4

A

1673-6125(2016)04-0017-04