李海洋,尹社會(huì)

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南 南陽　473000)

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新混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析及計(jì)算機(jī)仿真

李海洋,尹社會(huì)

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南 南陽473000)

構(gòu)造了一類新的含有包含絕對(duì)值的非線性項(xiàng)的三維二次自治混沌系統(tǒng),根據(jù)穩(wěn)定性理論分析了系統(tǒng)的定性行為,并借助Matlab軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬,得到了系統(tǒng)的部分動(dòng)力學(xué)特性。通過Lyapunov指數(shù)譜討論了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)混沌特性的影響,結(jié)果表明隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為也發(fā)生了變化。進(jìn)一步通過分岔圖、Poincare截面圖以及相圖驗(yàn)證了上述結(jié)論。

混沌系統(tǒng);動(dòng)力學(xué)行為;分岔;Poincare映射

Lorenz混沌吸引子是最著名的混沌吸引子,被認(rèn)為是第一個(gè)被發(fā)現(xiàn)的耗散系統(tǒng)混沌的實(shí)例。在發(fā)現(xiàn)了Lorenz混沌吸引子之后,又不斷有新的混沌吸引子被發(fā)現(xiàn),這些混沌系統(tǒng)的混沌特性被許多研究者所認(rèn)識(shí)和研究。按照三維自治方程組的動(dòng)力學(xué)行為由其線性部分決定的觀點(diǎn),除了著名的Lorenz系統(tǒng)族(包括Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)、Bao系統(tǒng)、T系統(tǒng)等)[1-6],還有很多超混沌系統(tǒng)也不斷被發(fā)現(xiàn)和研究[7-11]。這些新系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)一般是利用混沌反控制思想來實(shí)現(xiàn)的,也有一些利用計(jì)算機(jī)模擬來隨機(jī)構(gòu)造。

在上述研究的基礎(chǔ)上,提出了一個(gè)新的混沌系統(tǒng),利用非線性動(dòng)力學(xué)的方法,不僅通過常用的方法如理論推導(dǎo)、相圖、時(shí)序波形圖,還利用Lyapunov指數(shù)譜、Poincare截面圖、分岔圖和功率譜數(shù)值模擬研究了該系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性,并分析了系統(tǒng)在不同參數(shù)時(shí)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,結(jié)果表明,系統(tǒng)在不同參數(shù)情況下具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為。

1　數(shù)學(xué)模型及主要結(jié)果

一個(gè)新構(gòu)造的三維非線性自治混沌系統(tǒng)的方程為

(1)

其中:(x,y,z)T∈R3為狀態(tài)變量,a、b、c、d為系統(tǒng)實(shí)參數(shù)。系統(tǒng)(1)除包含1個(gè)二次非線性項(xiàng)xz和1個(gè)三次非線性項(xiàng)yz2外,還有1個(gè)絕對(duì)值非線性項(xiàng)|xy|。這明顯區(qū)別于Lorenz系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)、Bao系統(tǒng)、T系統(tǒng)等,經(jīng)過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn),當(dāng)a=4,b=10,c=3,d=6時(shí)系統(tǒng)存在混沌吸引子。

1.1對(duì)稱性和不變性

在變換P∶(x,y,z)→(-x,-y,-z)下所有的參數(shù)具有不變性,即系統(tǒng)(1)關(guān)于z軸是對(duì)稱的。

1.2耗散性和吸引子的存在性

系統(tǒng)(1)的向量場(chǎng)散度為

(2)

根據(jù)劉維爾定理,當(dāng)a-b-c<0時(shí),系統(tǒng)(1)是耗散的,即系統(tǒng)(1)會(huì)以指數(shù)形式收斂,當(dāng)t→∞時(shí),包含系統(tǒng)(1)軌線的每個(gè)體積元都以指數(shù)速率a-b-c收縮到0,所以系統(tǒng)(1)的所有軌線最終都會(huì)被限制在一個(gè)體積為0的點(diǎn)集上,并且漸進(jìn)動(dòng)力學(xué)行為被固定在一個(gè)吸引子上。當(dāng)a=4,b=10,c=3,d=6時(shí),系統(tǒng)(1)的軌線的相圖如圖1所示。

圖1　系統(tǒng)(1)在參數(shù)a=4,b=10,c=3,d=6下的軌線相圖Fig.1　Rajectory phase diagram of system (1) at constant a=4,b=10,c=3 and d=6

從時(shí)序波形圖(見圖2)也能看出,沒有出現(xiàn)周期現(xiàn)象,如果初始條件發(fā)生微小的擾動(dòng),系統(tǒng)的時(shí)序波形圖將會(huì)發(fā)生很大的改變,為了清楚表現(xiàn)這一特征,我們采用兩個(gè)具有微小差別的初始值(只有0.000 01),讓兩個(gè)時(shí)間序列相減,得到初始敏感性時(shí)序波形圖,如圖3所示。

1.3平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

圖2　系統(tǒng)(1)在a=4,b=10,c=3,d=6下的時(shí)序波形圖Fig.2　Time-domain waveform of system (1) of each variable at the above parameters a=4,b=10,c=3 and d=6

圖3　系統(tǒng)(1)在a=4,b=10,c=3,d=6下的初值敏感性Fig.3　Initial value sensitivity of system (1) in the above parameters a=4,b=10,c=3 and d=6

當(dāng)a=4,b=10,c=3,d=6時(shí),這3個(gè)平衡點(diǎn)分別為E1(0,0,0)、E+(2.236,2.525,1.882)、E-(-2.236,-2.525,1.882)。系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)E1(0,0,0)處線性化后的Jacobi矩陣為

(3)

其對(duì)應(yīng)的特征值為λ1=4,λ2=-10,λ3=-3,其中2個(gè)負(fù)根表示在這2個(gè)方向收縮,1個(gè)正根表示在這1個(gè)方向擴(kuò)張。因此平衡點(diǎn)E0(0,0,0)為不穩(wěn)定鞍點(diǎn)。

由于系統(tǒng)(1)關(guān)于z軸是對(duì)稱的,E+和E-的穩(wěn)定性相同,這里只討論E+的情況。系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)E+(2.236,2.525,1.882)處的線性化后的Jacobi矩陣為

(4)

其對(duì)應(yīng)的特征值為λ1=-12.257 7,λ2=1.628 8+7.912 8i,λ3=1.628 8-7.912 8i,其中1個(gè)負(fù)根表示在這1個(gè)方向收縮,1對(duì)共軛負(fù)根且實(shí)部為正表示在這2個(gè)方向螺旋擴(kuò)張,負(fù)根的實(shí)部小于實(shí)根的絕對(duì)值,因此平衡點(diǎn)E+為不穩(wěn)定指標(biāo)2的鞍點(diǎn)。同理,平衡點(diǎn)E-也為不穩(wěn)定指標(biāo)2的鞍點(diǎn)。

1.4功率譜與Poincare截面

系統(tǒng)(1)在參數(shù)a=4,b=10,c=3,d=6下的功率譜表現(xiàn)出連續(xù)譜,并且有大量間斷峰值出現(xiàn),說明系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài),如圖4所示。Poincare截面是一種通過降低維數(shù)來研究問題的有效手段。系統(tǒng)(1)在參數(shù)a=4,b=10,c=3,d=6下的Poincare截面如圖5所示。由圖5可以看出,截面上具有明顯的分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn),說明系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài)。

2　參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響

在計(jì)算Lyapunov指數(shù)譜時(shí)采用Wolf方法,其中數(shù)值模擬計(jì)算微分方程采用Runge-Kutta方法,通過設(shè)置合適的初始值和計(jì)算步長(zhǎng),可以得到系統(tǒng)(1)關(guān)于系統(tǒng)參數(shù)改變時(shí)的豐富動(dòng)力學(xué)行為。

2.1參數(shù)a對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響

固定參數(shù)b=10,c=3,d=6不變,改變參數(shù)a,a∈[0,7]。當(dāng)參數(shù)a在區(qū)間[0,7]內(nèi)變化時(shí),系統(tǒng)隨參數(shù)a的Lyapunov指數(shù)譜以及對(duì)應(yīng)情況的分岔行為如圖6所示。從圖6上可以清楚的看出,隨著參數(shù)a的從小到大a∈[0,4]的變化,系統(tǒng)(1)出現(xiàn)穩(wěn)定平衡,經(jīng)周期窗口過渡到混沌狀態(tài);從大到小a∈[4,7]由周期窗口反倍周期分岔到混沌狀態(tài)。其中具體參數(shù)區(qū)間分布如下:穩(wěn)定平衡態(tài)a∈[0,0.03);周期態(tài)a∈[0.03,0.5]∪[6.25,7];混沌態(tài)a∈[0.5,6.25]。

圖4　系統(tǒng)(1)在參數(shù)a=4,b=10,c=3,d=6下的功率譜圖Fig.4　Power spectrum chart of system (1) at the constant a=4,b=10,c=3, and d=6

圖5　系統(tǒng)(1)在參數(shù)a=4,b=10,c=3,d=6下的Poincare截面Fig.5　Poincare cross-section of system (1) at constant a=4,b=10,c=3 and d=6

2.2參數(shù)b對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響

固定參數(shù)a=4,,c=3,d=6不變,改變參數(shù)b,b∈[5,50]。當(dāng)參數(shù)b在區(qū)間[7,50]內(nèi)變化時(shí),系統(tǒng)隨參數(shù)b的Lyapunov指數(shù)譜以及對(duì)應(yīng)情況的分岔行為如圖7所示。從圖7可以很清楚的看出,隨著參數(shù)b的改變,系統(tǒng)(1)出現(xiàn)混沌窗口和周期窗口交替出現(xiàn)的現(xiàn)象。

圖6　系統(tǒng)(1)在參數(shù)b=10,c=3,d=6下的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖Fig.6　Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagrams of system (1) in the parameter of b=10,c=3,d=6

圖7　系統(tǒng)(1)在參數(shù)a=4,c=3,d=6下的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖Fig.7　Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagrams of system (1) in the parameter of a=4,c=3,d=6

2.3參數(shù)c對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響

固定參數(shù)a=4,b=10,d=6不變,改變參數(shù)c,當(dāng)c∈[0,6]時(shí),系統(tǒng)隨參數(shù)c的Lyapunov指數(shù)譜以及對(duì)應(yīng)情況的分岔行為如圖8所示。由圖8可以看出參數(shù)c和參數(shù)a對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響非常相似。

圖8　系統(tǒng)(1)在參數(shù)a=4,b=10,d=6下的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖Fig.8　Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagrams of system (1) in the parameter of a=4,b=10,d=6

2.4參數(shù)d對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響

固定參數(shù)a=4,b=10,c=3不變,改變參數(shù)d,當(dāng)d∈[0.1,6]時(shí),系統(tǒng)隨參數(shù)d的Lyapunov指數(shù)譜以及對(duì)應(yīng)情況的分岔行為如圖9所示。

圖9　系統(tǒng)(1)在參數(shù)a=4,b=10,c=3下的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖Fig.9　Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagrams of system (1) in the parameter of a=4,b=10,c=3

從圖9可以明顯地看出,參數(shù)d對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)幾乎沒有影響,在所選取參數(shù)區(qū)間范圍內(nèi),系統(tǒng)(1)所對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)恒定。其原因是,參數(shù)d在平衡點(diǎn)的Jacobi矩陣對(duì)應(yīng)的特征方程中沒有出現(xiàn),即對(duì)特征值沒有影響,所以相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)不變。

從上述討論可以看出,系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)混沌行為的影響程度不同,其中參數(shù)d對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響最小,這里從相圖的角度給出幾組具體參數(shù)對(duì)應(yīng)的情況,如圖10所示。

圖10　系統(tǒng)(1)在不同參數(shù)下的相圖Fig.10　Phase diagram of system (1) in the different parameters

3　結(jié)論

利用非線性動(dòng)力學(xué)的方法并結(jié)合相應(yīng)的計(jì)算機(jī)仿真,對(duì)新構(gòu)造的三維自治混沌系統(tǒng)在參數(shù)變化時(shí)的部分動(dòng)力學(xué)行為的變化進(jìn)行研究。主要利用相圖、Lyapunov指數(shù)譜圖、分岔圖、Poincare截面和功率譜等研究了系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng),通過改變系統(tǒng)參數(shù),發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)在不同參數(shù)下具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為,可以處于穩(wěn)定態(tài)、周期運(yùn)動(dòng)以及混沌狀態(tài)。由于該系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為,其中復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性仍待進(jìn)一步研究和探索。

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Dynamic Analysis of New Chaotic System and Its Computer Simulation

Li Haiyang,Yin Shehui

(Henan Polytechnic Institute,Nanyang 473000,China)

This paper constructs a new nonlinear term three-dimensional quadratic autonomous chaotic system that includes absolute value.And it analyzes the qualitative behavior of the system by stability theory analysis,and uses the Matlab software to make numerical simulation,obtaining the part of the dynamic characteristic of the system.It uses the Lyapunov spectrum to discuss the influence of system parameters on chaotic characteristics,and the results show that the dynamic behavior of the system also changes with the changes of system parameters.

Chaotic system;Dynamic behavior;Bifurcation;Poincare mapping

10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.04.005.

2015-06-15;

2015-08-04.

南陽市科學(xué)技術(shù)發(fā)展規(guī)劃項(xiàng)目(2013GG048).

李海洋(1982-),男,河南南陽人,講師,研究方向?yàn)槲⒎址匠?E-mail:boblee82@163.com.

O241.84;O29

A

1004-0366(2016)04-0017-06

引用格式:Li Haiyang,Yin Shehui.Dynamic Analysis of New Chaotic System and Its Computer Simulation[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(4):17-22.[李海洋,尹社會(huì).新混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析及計(jì)算機(jī)仿真[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2016,28(4):17-22.]