丁光濤

安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院， 蕪湖 241000； E-mail: dgt695@sina.com

?

變分法逆問題研究的若干進展

丁光濤

安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院， 蕪湖 241000； E-mail: dgt695@sina.com

概述變分法逆問題的基本內(nèi)容和國內(nèi)在此領(lǐng)域的若干進展。重點闡述由力學(xué)系統(tǒng)第一積分構(gòu)造Lagrange 函數(shù)的新方法， 指出利用此方法能夠得到等價的 Lagrange 函數(shù)和函數(shù)族。舉例說明該方法的理論意義和應(yīng)用價值。最后指出， 應(yīng)當(dāng)重視變分法逆問題的研究。

變分法逆問題； Lagrange函數(shù)； 運動微分方程； 第一積分； Lagrange函數(shù)族

北京大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

傳統(tǒng)的分析動力學(xué)中重要的積分變分原理是Hamilton 原理［1］: 雙面理想完整有勢系統(tǒng)， 在由廣義坐標描述系統(tǒng)位形的事件空間 E［qi， t］中， 從 A點出發(fā)到 B 點的所有約束可能軌道中， 真實的動力學(xué)軌道是使Hamilton作用量泛函

成為駐定值的軌道， 即對此軌道作用量泛函一階變分為零:

存在正問題就有對應(yīng)的逆問題， 變分法逆問題是數(shù)學(xué)、力學(xué)以及物理學(xué)領(lǐng)域中古老而又常新的課題［2-6］。根據(jù)上述變分法正問題， 與之直接對應(yīng)的逆問題應(yīng)是給出系統(tǒng)作用量泛函的駐定軌道， 如何確定系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)［6］。但是， 通常給出的不是系統(tǒng)的駐定軌道， 而是確定系統(tǒng)動力學(xué)軌道的運動微分方程。因此， 實際上變分法逆問題的提法如下。給定系統(tǒng)的運動微分方程

然而， 這樣提出的問題太嚴格， 故常常被推廣， 即研究給定方程能否間接由變分原理導(dǎo)出， 寫成等價的Lagrange方程:

式中矩陣乘子滿足下列條件:

變分法逆問題常常又稱為 Lagrange 力學(xué)逆問題。下面主要討論式（4）形式的二階常微分方程（組）以及由偶數(shù)個一階常微分方程組成的方程組是否能夠表示為 Lagrange 方程的問題。應(yīng)當(dāng)指出， 這種逆問題是一種多層次的問題: 1） 方程應(yīng)該滿足什么樣的條件才能從變分原理導(dǎo)出； 2） 如果存在 Lagrange 函數(shù)， 如何構(gòu)造對應(yīng)的 Lagrange 函數(shù)； 3） 同一個方程可能存在多少 Lagrange 函數(shù)問題。一百多年來的研究使得問題 1 答案明確， 能夠直接或間接表示成 Lagrange 方程形式的方程應(yīng)是自伴隨的或者能夠變換成為自伴隨的， 即應(yīng)滿足 Helmholtz條件， 證實存在沒有 Lagrange 表示的二階常微分方程系統(tǒng)。對于問題 2， 得到若干普遍的和特殊的構(gòu)造 Lagrange 函數(shù)方法， 但是， 幾種普遍的構(gòu)造Lagrange 函數(shù)方法的前提是給定的方程應(yīng)當(dāng)直接是或者變換成自伴隨形式的， 而在一般情況下要將微分方程（組）變換成自伴隨方程（組）是相當(dāng)困難的。因此， 很多關(guān)于逆問題的研究就轉(zhuǎn)向探討構(gòu)造Lagrange 函數(shù)的特殊途徑， 出現(xiàn)若干適用范圍不同和難易程度不一的構(gòu)造 Lagrange 函數(shù)方法。問題3的結(jié)論也很明確， 逆問題的解不是唯一的， 逆問題與等效的Lagrange函數(shù)問題密切相關(guān)。

然而， 在相當(dāng)長的時期內(nèi)， 變分法逆問題的研究并沒有得到較高的關(guān)注度和實際應(yīng)用。近幾十年情況有所改變， 數(shù)學(xué)和物理學(xué)理論發(fā)展的需要， 分析力學(xué)在其他學(xué)科領(lǐng)域中的應(yīng)用， 力學(xué)中的非線性非保守系統(tǒng)分析力學(xué)化， 推動了變分法逆問題的研究， 許多傳統(tǒng)概念被突破， 提出非標準形式的 Lagrange 函數(shù)， 引入分數(shù)階導(dǎo)數(shù)， 發(fā)展新的方法以構(gòu)造出多種系統(tǒng)的不同形式的 Lagrange 函數(shù)和 Hamilton 函數(shù)。這些成果拓展了 Lagrange 系統(tǒng)的范圍，擴大了分析力學(xué)理論和方法的應(yīng)用領(lǐng)域［7-25］。

20世紀80年代末， 國內(nèi)力學(xué)和物理學(xué)界開始關(guān)注變分法逆問題［26-30］。梅鳳翔［26］系統(tǒng)地介紹了逆問題的基本理論和方法， 啟動了國內(nèi)關(guān)于變分法逆問題的研究。20世紀90年代關(guān)于非完整系統(tǒng)力學(xué)的爭論深刻涉及變分原理， 利用分析力學(xué)理論和方法研究微分方程涉及微分方程的分析力學(xué)化， 這些都推動了對逆問題的研究。進入 21 世紀后， 若干研究者提出新的關(guān)于構(gòu)造二階和一階常微分方程（組）的 Lagrange 函數(shù)的方法， 例如， 直接根據(jù)運動微分方程的結(jié)構(gòu)特點來構(gòu)造Lagrange函數(shù)， 利用變量變換構(gòu)造Lagrange函數(shù)， 直接構(gòu)造與加速度相關(guān)的 Lagrange 函數(shù)， 或者將二階微分方程（組）化為一階微分方程組構(gòu)造 Lagrange 函數(shù)， 等等。實際上，關(guān)于 Birkhoff 系統(tǒng)動力學(xué)的研究中提出的構(gòu)造Birkhoff 函數(shù)和函數(shù)組就是構(gòu)造一階常微分方程系統(tǒng)Lagrange函數(shù)。與此同時， 逆問題的理論和方法在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和其他領(lǐng)域得到應(yīng)用［31-54］， 相關(guān)的內(nèi)容也進入部分教材和專著［55-60］。

本文無意對國內(nèi)外關(guān)于逆問題的研究給予比較全面的評論， 文后收錄的參考文獻不系統(tǒng)不全面，只簡要涉及國內(nèi)在該問題研究中的若干進展， 重點介紹從第一積分構(gòu)造 Lagrange 函數(shù)的新方法及由這種方法得到的結(jié)果與等效的 Lagrange 函數(shù)的關(guān)聯(lián)， 特別是證明等效的Lagrange函數(shù)族的存在等。為了說明這些成果的理論意義和實用價值， 文中給出若干實例。最后， 對變分法逆問題的研究提出一些看法和建議。

1　從第一積分直接構(gòu)造Lagrange函數(shù)的方法

系統(tǒng)的 Lagrange 函數(shù)與其第一積分關(guān)系密切，不僅關(guān)于對稱性和守恒量的理論涉及兩者的關(guān)聯(lián)，逆問題研究中的一些構(gòu)造 Lagrange 函數(shù)方法也與第一積分相關(guān)。這里給出的是我們前幾年提出的一種新的從第一積分出發(fā)的構(gòu)造 Lagrange 函數(shù)方法。首先， 證明Lagrange函數(shù)與第一積分存在一種與對稱性理論無關(guān)的新關(guān)系， 據(jù)此提出一種比較普遍的構(gòu)造Lagrange函數(shù)新方法， 說明這種方法的實用性， 證明由此能夠?qū)С龅葍r的Lagrange函數(shù)和函數(shù)族。

1.1第一積分與Lagrange函數(shù)的新關(guān)系和構(gòu)造Lagrange函數(shù)的新方法

考慮二階常微分方程系統(tǒng)

將系統(tǒng)（8）變換成如下運動學(xué)形式:

設(shè)該系統(tǒng)的一個第一積分為

在系統(tǒng)真實運動中I保持不變:

如果第一積分（10）滿足下列條件:

其中因子A（t， q）， Bi（t， q）和0（，）Btq由下列方程確定:

式（13）和方程（14）給出力學(xué)系統(tǒng)第一積分和 Lagrange函數(shù)之間的一種新的關(guān)系［41］， 證明如下。

首先， 證明如果式（13）中L是方程（9）的 Lagrange函數(shù)， 則因子 A， Bi和B0必須滿足方程（14）。將式（13）中L代入Lagrange方程， 沿著系統(tǒng)在位形空間中真實運動展開得到

由于I是第一積分， 滿足條件（11）， 計算式（11）對iq˙的偏導(dǎo)數(shù)得到

由以上兩式直接得到方程（14）。

然后， 證明如果式（13）中L函數(shù)的因子A， Bi和B0滿足方程（14）， 則由對應(yīng)的Lagrange方程必可導(dǎo)出方程（9）。將式（13）中L代入Lagrange方程， 展開得到式（15）， 由于A， Bi和B0滿足方程（14）， 并考慮到式（16）， 則由式（15）得到

因為 I 滿足條件（12）， 所以由方程（17）可得方程（9）。換句話說， 這就證明式（13）中函數(shù) L 是系統(tǒng)（8）（或（9））的Lagrange函數(shù)。

綜上所述， 可以提出一種變分法逆問題的新解法［41］， 即若要構(gòu)造微分方程系統(tǒng)（8）的 Lagrange 函數(shù)， 可將方程變換成運動學(xué)形式（9）， 并得到滿足條件（12）的第一積分， 代入方程（14）， 解出函數(shù)因子 A， Bi和 B0， 代入式（13）， 即得到 Lagrange函數(shù)。這種變分法逆問題新解法的基礎(chǔ)是由式（13）和方程（14）給出的第一積分與 Lagrange 函數(shù)的新關(guān)系， 這種關(guān)系不涉及系統(tǒng)在變量變換下的對稱性。換句話說， 這種新解法與對稱性理論無關(guān)， 對第一積分除了應(yīng)當(dāng)滿足條件（12）外， 沒有其他特別的要求（例如不顯含時間）。此外， 這種方法對運動微分方程的結(jié)構(gòu)也沒有預(yù)先特定的要求， 更不要求將方程變換成為自伴隨的， 因此是一種比較普遍的、實用的構(gòu)造Lagrange函數(shù)的新方法。

1.2新方法與等效的Lagrange函數(shù)

如果對系統(tǒng)（9）某個第一積分 I 方程（14）有解，則解不是唯一的。當(dāng) A（t， q）已確定時， Bi（t， q）和B0（t， q）仍然有任意多組解。例如， 設(shè)Bi和B0是一組解時， 則下列變換得到的iB′和0B′也是方程（14）的解:

其中（，）Gtq是其宗量的任意連續(xù)可微函數(shù)。將iB′和0B′代入式（13）就得到一組規(guī)范等效的 Lagrange函數(shù)［1-2］:

這就是說， 新解法求得的應(yīng)是規(guī)范等效的 Lagrange函數(shù)族?？梢灾赋?， 利用規(guī)范變換可以簡化方程（14）， 方程（14）有 n+2 個待求函數(shù)， 但是只有 n 個方程， 通過規(guī)范變換可以減少一個待求函數(shù)。以下如果沒有特別說明， 將不再考慮Lagrange函數(shù)的規(guī)范變換， 不考慮規(guī)范等效的Lagrange函數(shù)族。

同樣地， 新方法與Lagrange函數(shù)的另一類同位等效函數(shù)相關(guān)［2-3］。由于式（13）構(gòu)成的 Lagrange 函數(shù)與第一積分 I 的選取相關(guān)， 取不同的第一積分導(dǎo)出的Lagrange函數(shù)是不同的， 它們之間不是規(guī)范等效的， 但由它們列出的Lagrange方程都與給定的微分方程（8）或（9）等價， 因此這些 Lagrange 方程之間是同位等效的。設(shè)與第一積分 I 和 I*對應(yīng)的 Lagrange函數(shù)分別為L和L*:

重復(fù)式（17）的推導(dǎo)， 可得

顯然， 由式（20）和（21）可得

其中， 同位變換矩陣元為

即 L 和 L*是給定系統(tǒng)的同位等效的 Lagrange 函數(shù)。換句話說， 這里給出的從第一積分構(gòu)造Lagrange函數(shù)的新方法可以直接導(dǎo)出同位等效的 Lagrange 函數(shù)。

1.3一類同位等效的Lagrange函數(shù)族

在上述同位等效Lagrange函數(shù)中， 可能存在函數(shù)族［42，48］。如果對系統(tǒng)（9）的一個積分 I， 方程（14）有如下特解:

這里 A（t）包括 A 為常數(shù)， 而對Bi和B0不再考慮規(guī)范變換解。將解（24）代入式（13）得到一個Lagrange函數(shù):

下面證明， 存在一個與L同位等效的Lagrange函數(shù)族

F（I）為I的任意連續(xù)可微函數(shù)。對式（25）中L， 方程（14）寫成

I 是第一積分， F（I）也是第一積分， 對式（26）中L，方程（14）寫成

顯然， 式（27）與式（28）等價。

對系統(tǒng)（9）及其第一積分I， 同位等效函數(shù)族（26）的存在條件為

式（24）或（25）中因子A（t）由下式確定:

由條件（29）可得下列推論: 若

則式（25）和（26）中因子A為常數(shù)。

在文獻［27］中， 實際上已經(jīng)導(dǎo)出阻尼運動的Lagrange 函數(shù)族， 國外的研究（如文獻［22］）中也得到某些系統(tǒng)的 Lagrange 函數(shù)族。這里給出的從第一積分直接構(gòu)造Lagrange函數(shù)的新方法， 不僅能夠構(gòu)造規(guī)范等效的和同位等效的Lagrange函數(shù)， 而且能夠在一定條件下直接導(dǎo)出一類同位等效Lagrange函數(shù)族［41-42，48］， 表明Lagrange函數(shù)族的存在并不是孤立的特殊情況， 而是一種相當(dāng)普遍的情況。這是這種新解法帶來的一個新的重要結(jié)論。

2　從諧振子第一積分構(gòu)造Lagrange函數(shù)和函數(shù)族

下面以典型的保守系統(tǒng)——諧振子為例， 說明前面給出的方法的應(yīng)用。簡諧振動是最基本的運動形式之一， 在力學(xué)和工程科學(xué)領(lǐng)域以及經(jīng)典物理和量子物理領(lǐng)域中都得到高度的重視， 也是變分法及其逆問題研究中非常熱門的實例之一。簡諧振動運動微分方程

的兩個基本第一積分［52］為

其他第一積分可由I1和I2構(gòu)成， 如

I1， I2， I3和 I4分別與諧振子的初速度、初位置、振幅（總能量）和初位相相關(guān)。

I3滿足條件（12）， 將I3和Q=-x 代入方程（14），得到方程的一組特解:

代入式（13）， 就得到眾所周知的簡諧振動 Lagrange函數(shù):

應(yīng)當(dāng)指出，4I雖然也滿足條件（12）， 但是代入方程（14）后無解。

I1不滿足條件（12）， 然而由 I1能夠構(gòu)成新的第一積分:

F是其宗量的任意連續(xù)可微函數(shù)。設(shè)新積分滿足條件（12）， 即

將I和Q代入方程（14）得

上述方程的一組特解為

代入式（13）得到

類似地， 由I2構(gòu)成新的第一積分:

可以得到另一個Lagrange函數(shù)族:

L1和L2可以直接導(dǎo)出， 例如對I2滿足判別條件（29），并且代入式（30）得到

研究變系數(shù)非線性非保守動力學(xué)系統(tǒng)［16，20］:

引入變數(shù)變換， 將方程（43）寫成兩個一階方程:

消除時間變量t， 導(dǎo)出一階微分方程:

利用積分因子法， 可得到上述一階微分方程的積分:

變換為原來變數(shù)， 即得到方程（43）的一個第一積分:

式中，

將式（45）第一積分代入式（14）， 得到

上述方程的一個解是

將積分，IAB和代入式（13）， 得到式（43）的Lagrange函數(shù)為

式（48）中函數(shù)（，）Lxx˙可以看做是標準形式的， 即為“動能”與“勢能”之差。容易導(dǎo)出對應(yīng)的Hamilton函數(shù)為

導(dǎo)出 Lagrange 函數(shù)（48）和 Hamilton 函數(shù)（49）后， 發(fā)現(xiàn)像方程（43）這樣的變系數(shù)非線性非保守動力學(xué)系統(tǒng)卻是一個“守恒”的系統(tǒng)， 系統(tǒng)的“廣義能量”（Hamilton函數(shù)）在運動中保持不變。

4若干非保守非線性系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)和函數(shù)族

例1廣義相對論中的Buchduhl方程［22，42］:

Buchduhl方程的兩個第一積分為

引入積分I1的滿足條件（12）的任意函數(shù)F（I1）， 代入方程（14）得到

解得 A=t， 由此得到 Buchduhl 方程的一個 Lagrange函數(shù)族:

實際上， I1滿足條件（29）， 即

由式（30）得At=， 直接得到Lagrange函數(shù)族（53）。

同樣，2I也滿足條件（29）， 故可以導(dǎo)出另一個Lagrange函數(shù)族為

上述結(jié)果比文獻［22］得到的結(jié)果更為普遍， 后者只是前者的特例。

例 2二維非線性變系數(shù)阻尼運動的 Lagrange函數(shù)族［3，41-42］。

以上討論的系統(tǒng)都是一維的， 下面以二維非線性變系數(shù)阻尼運動為例， 討論多維情況。設(shè)系統(tǒng)運動方程為

方程的一個第一積分為

將I和Q1， Q2代入判別條件（31）， 得

因此系統(tǒng)存在Lagrange函數(shù)族:

上式取常數(shù)因子1A=。文獻［3］中只給出系統(tǒng)（55）的一個Lagrange函數(shù):

5　結(jié)論與討論

本文概要地回顧變分法逆問題的內(nèi)容及國內(nèi)外的研究簡況， 主要給出國內(nèi)近年來提出的變分法逆問題的一種新解法以及與之相關(guān)的結(jié)果。這種解法基于力學(xué)系統(tǒng)第一積分與其Lagrange函數(shù)之間存在一種新關(guān)系， 通過對一系列典型的線性和非線性微分方程系統(tǒng)的應(yīng)用， 說明這種方法的理論意義和應(yīng)用價值。這是一種比較普遍的求解變分法逆問題的方法， 可以應(yīng)用于系統(tǒng)， 構(gòu)造得到多種不同形式的 Lagrange 函數(shù)。利用這種方法無需首先將運動方程變換成為自伴隨形式的， 也無需先行假設(shè)Lagrange 函數(shù)的特殊形式。利用這種方法可直接得到等價的 Lagrange 函數(shù)， 特別是同位等價的 Lagrange函數(shù)， 并且在一定條件下能夠?qū)С龅葍r的 Lagrange函數(shù)族。

變分法逆問題是一種基礎(chǔ)理論研究， 有較長的研究歷史， 得到的結(jié)果不僅對數(shù)學(xué)和力學(xué)領(lǐng)域， 而且對理論物理等傳統(tǒng)學(xué)科都有重要的意義。從近幾十年情況來看， 雖然國外在這個領(lǐng)域的研究者并不多， 但是這些研究者中， 有從事傳統(tǒng)的理論物理（如粒子物理和天體物理）研究的學(xué)者， 也有從事新型交叉學(xué)科的學(xué)者， 這是值得重視的現(xiàn)象。與之相比，國內(nèi)從事這個領(lǐng)域研究的隊伍太小， 傳統(tǒng)物理學(xué)科與交叉學(xué)科的學(xué)者很少進入該領(lǐng)域。然而， 逆問題研究不僅在數(shù)學(xué)和力學(xué)領(lǐng)域， 而且在物理學(xué)領(lǐng)域都需要繼續(xù)深入。例如， 關(guān)于Lagrange函數(shù)族仍然有待深入研究； 變分法逆問題如何從有限自由度的離散系統(tǒng)推廣到無限自由度的連續(xù)系統(tǒng)， 即如何推廣到場論； 力學(xué)系統(tǒng) Lagrange 函數(shù)和 Hamilton 函數(shù)的多值性對系統(tǒng)的量子化有怎樣的影響； 等等。

目前對各種系統(tǒng)的研究常常是跨學(xué)科的研究，涉及數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、地球科學(xué)、生命科學(xué)和醫(yī)學(xué)、工程科學(xué)、經(jīng)濟學(xué)以及社會科學(xué)等，這種研究不僅有重大的理論意義， 而且有重要的應(yīng)用價值。通過建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（主要是微分方程模型）來理解和掌握系統(tǒng)的行為特性和演化發(fā)展，已經(jīng)成為當(dāng)今眾多學(xué)科領(lǐng)域中的熱點方法。值得指出的是， 在這種研究中， 分析力學(xué)的理論和方法有著重要的應(yīng)用， 這種應(yīng)用需要實現(xiàn)微分方程系統(tǒng)的分析力學(xué)化， 主要方式是構(gòu)造對應(yīng)的 Lagrange函數(shù)以及 Hamilton 函數(shù)， 顯而易見， 這與變分法逆問題密切相關(guān)。

綜上所述， 變分法逆問題的研究是基礎(chǔ)理論研究， 應(yīng)當(dāng)加強?；A(chǔ)理論研究是知識創(chuàng)新的源頭，科學(xué)史表明， 逆問題的研究常常帶來突破， 因此不能忽視變分法逆問題的研究。這個領(lǐng)域的研究隊伍不需要龐大， 但必須有一定的數(shù)量， 分析力學(xué)學(xué)者應(yīng)當(dāng)是主力， 但必須有多學(xué)科協(xié)作， 科研管理部門對這樣的研究應(yīng)當(dāng)給予支持。

［1］ 陳濱. 分析動力學(xué). 2版. 北京: 北京大學(xué)出版社，2012

［2］ Santilli R M. Foundations of theoretical mechanicsⅠ. New York: Springer-Verlag， 1978

［3］ Santilli R M. Foundations of theoretical mechanicsⅡ. New York: Springer-Verlag， 1983

［4］ Anderson I M， Thompson G. The inverse problem of the calculus of variations for ordinary differential equations. Mem Amer Math Soc， 1992， 98: No.473

［5］ Lopuszanski J. The inverse varitional problem in classical mechanics. Singapore: World Scientific， 1999

［6］ Saunders D J. Thirty years of the inverse problem inthe calculus of variations. Reports on Mathematical Physics， 2010， 66: 43-53

［7］ Currie D F， Saletan E J. Q-equivalent particle Hamiltonians 1. The classical one-dimensional case. J Math Phys， 1966， 7: 967-974

［8］ Sarlet W. Symmetries， first integrals and the inverse problem of Lagrangian mechanics. J Phys A: Math Gen， 1981， 14: 2227-2238

［9］ Hojman S， Urrutia L F. On the inverse problem of the calculus of variations. J Math Phys， 1981， 22: 1896-1903

［10］ Hojman S， Harleston H. Equivalent Lagrangians: multidimensional case. J Math Phys， 1981， 22: 1414-1419

［11］ Sarlet W. The Holmholtz conditions revisited: a new approach to the inverse problem of Lagrangian dynamics. J Phys A: Math Gen， 1982， 15: 1503-1517

［12］ Lop?z G. Hamiltonian and Lagrangian for ndimensional autonomous systems. Ann Phys， 1996，251: 363-371

［13］ Lop?z G. One-dimensional autonomous systems and dissipative systems. Ann Phys， 1996， 251: 372-383

［14］ Riewe F. Nonconservative Lagrangian and Hamiltonian mechanics. Phys Rev， 1996， E53: 1890-1899

［15］ Riewe F. Mechanics with fractional derivatives. Phys Rev， 1997， E55: 3581-3592

［16］ Chandrasekar V K， Pandey S N， Senthilvelan M， et al. A simple and unified approach to identify integrable nonlinear oscillators and systems. J Math Phys， 2006，47: 023508

［17］ Chandrasekar V K， Senthilvelan M， Lakshmanan M. On the Lagrangian and Hamiltonian description of the damped harmonic oscillator. J Math Phys， 2007， 48: 032701

［18］ Nucci M C， Leach P G L. Lagrangians galore. J Math Phys， 2007， 48: 123510

［19］ Musielak Z E. Standard and non-standard Lagrangians for disspative dynamical systems with variable coefficient. J Phys A: Math Theor, 2008， 41: 055205

［20］ Musielak Z E， Roy D， Swift L D. Method to derive Lagrangian and Hamiltonian for a nonlinear dynamical system with variable coefficients. Chaos， Solitons and Fractols， 2008， 38: 894-902

［21］ Pradeep R G， Chandrasekar V K， Senthilvelan M， et al. Non-standard conserved Hamiltonian structures in dissipative/damped systems: nonlinear generalizations of damped harmonic oscillator. J Math Phys， 2009，50: 052901

［22］ Cieslinski J L， Nikiciuk T. A direct approach to the construction of standard and non-standard Lagrangian for dissipative-like dynamical systems with variable coefficients. J Phys A: Math Theor， 2010， 43: 175205

［23］ Nucci M C， Tamizhmani K M. Lagrangians for dissipative nonlinear oscillators: the method of Jacobi last multiplier. J Nonlinear Math Phys， 2010， 17: 167-178

［24］ Saha A， Talukdar B. Inverse variational problem for non-standard Lagrangians. Reports on Mathematical Physics， 2014， 73: 299-309

［25］ Hojman S. Construction of Lagrangian and Hamiltonian structrures starting from one constant of motion. Acta Mech， 2015， 226: 735-744

［26］ 梅鳳翔. 分析力學(xué)專題. 北京: 北京工業(yè)學(xué)院出版社， 1988

［27］ 丁光濤. 處理阻尼運動的分析力學(xué)方法. 黃淮學(xué)刊，1991， 7（2）: 7-10

［28］ 張耀良， 劉錫錄. 關(guān)于 Lagrange 力學(xué)逆問題的探討. 哈爾濱船舶工程學(xué)院學(xué)報， 1993， 14: 102-110

［29］ 梁立孚， 石志飛. 關(guān)于變分學(xué)中逆問題的研究. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)， 1994， 15（9）: 775-788

［30］ 丁光濤. 一種構(gòu)造Lagrange函數(shù)的直接方法. 安徽師范大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版， 1996， 19（4）: 382-386

［31］ 葛偉寬， 梅鳳翔. 作戰(zhàn)微分方程模型的Noether對稱性. 兵工學(xué)報， 2001， 22（2）: 241-243

［32］ 梅鳳翔， 解加芳， 冮鐵強. 求 Emden-Fouler 方程積分的分析力學(xué)方法. 物理學(xué)報， 2007， 56（9）: 5041-5044

［33］ Mei F X， Xie J F， Gang T Q. Analytical mechanics methods for solving Whitaker equations. Chinese Physics， 2007， 16（10）: 2845-2847

［34］ 丁光濤， 陶松濤. 一階 Lagrange 力學(xué)逆問題及其在非力學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用， 科學(xué)通報， 2008， 53（8）: 872-876

［35］ 丁光濤. 兩種構(gòu)造 Birkhoff 表示的新方法. 物理學(xué)報， 2008， 57（12）: 7415-7418

［36］ 丁光濤. 阻尼諧振子的拉格朗日函數(shù)和哈密爾頓函數(shù). 大學(xué)物理， 2009， 28（3）: 13-14

［37］ 丁光濤. 研究經(jīng)濟調(diào)整微分方程的 Lagrange-Noether 方法. 安徽師范大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版，2009， 32（4）: 328-330

［38］ 丁光濤. 經(jīng)典力學(xué)中加速度相關(guān)的 Lagrange 函數(shù).物理學(xué)報， 2009， 58（6）: 3620-3624

［39］ 丁光濤. 計算加速度相關(guān)Lagrange函數(shù)的方法物理學(xué)報， 2009， 58（10）: 6725-6728

［40］ 丁光濤. 從運動方程構(gòu)造 Lagrange 函數(shù)的直接方法. 動力學(xué)與控制學(xué)報， 2010， 8（4）: 305-310

［41］ 丁光濤. 從第一積分構(gòu)造 Lagrange 函數(shù)的直接方法. 動力學(xué)與控制學(xué)報， 2011， 9（2）: 102-106

［42］ 丁光濤. 關(guān)于一類 Lagrange 函數(shù)族的存在條件. 動力學(xué)與控制學(xué)報， 2011， 9（3）: 219-221

［43］ 丁光濤. 一維變系數(shù)耗散系統(tǒng) Lagrange 函數(shù)和Hamilton函數(shù)的新構(gòu)造方法. 物理學(xué)報， 2011， 60（4）: 44503

［44］ 李寬國， 劉廣菊， 陶松濤， 等. 研究 SIR 傳染病數(shù)學(xué)模型 Lagrange-Noether 方法. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2011， 26（3）: 435-440

［45］ 丁光濤. 磁場中帶電粒子阻尼運動的分析力學(xué)表示.物理學(xué)報， 2012， 61（2）: 020204

［46］ 丁光濤. 一類Painleve方程的Lagrange函數(shù)族. 物理學(xué)報， 2012， 61（11）: 110202

［47］ 丁光濤. 一階系統(tǒng)自伴隨條件和Lagrange函數(shù)的構(gòu)造. 動力學(xué)與控制學(xué)報， 2012， 10（1）: 1-4

［48］ 丁光濤. Lagrange 函數(shù)族及其存在條件的再研究.動力學(xué)與控制學(xué)報， 2012， 10（2）: 127-129

［49］ 丁光濤. 利用變量變換構(gòu)造耗散系統(tǒng) Lagrange 函數(shù). 動力學(xué)與控制學(xué)報， 2012， 10（3）: 199-201

［50］ 甘慧蘭， 丁光濤， 鄭賢鋒， 等. 線性三原子分子振動的 Lagrange 函數(shù)和 Hamilton 函數(shù). 原子與分子物理學(xué)報， 2012， 29（1）: 7-11

［51］ 丁光濤， 甘慧蘭， 鄭賢鋒， 等. 阻尼耦合振動的Lagrange 函數(shù)和 Hamilton 函數(shù). 原子與分子物理學(xué)報， 2012， 29（2）: 350-352

［52］ 丁光濤. 關(guān)于諧振子第一積分的研究. 物理學(xué)報，2013， 62（6）: 064502

［53］ 丁光濤. 三種耦合 RLC 電路的 Lagrange 函數(shù)和Hamilton 函數(shù). 動力學(xué)與控制學(xué)報， 2014， 12（4）: 304-308

［54］ 丁光濤. 阻尼運動的動力學(xué)逆問題和變分法逆問題.動力學(xué)與控制學(xué)報， 2015， 13（1）: 68-71

［55］ 梅鳳翔， 吳惠彬. 微分方程的分析力學(xué)方法. 北京:科學(xué)出版社， 2012

［56］ 梅鳳翔， 史榮昌， 張永發(fā)， 等. Birkhoff系統(tǒng)動力學(xué).北京: 北京理工大學(xué)出版社， 1996

［57］ 梅鳳翔. 約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量. 北京:北京理工大學(xué)出版社， 2004

［58］ 梅鳳翔. 廣義 Birkhoff 系統(tǒng)動力學(xué). 北京: 科學(xué)出版社， 2013

［59］ 梅鳳翔. 分析力學(xué)（下冊）. 北京: 北京理工大學(xué)出版社， 2013

［60］ 丁光濤. 理論力學(xué). 合肥: 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社， 2014

Some Progressions in Study of the Inverse Problem of the Calculus of Variations

DING Guangtao

College of Physics and Electronic Information， Anhui Normal University， Wuhu 241000； E-mail: dgt695@sina.com

Several aspects of the inverse problem of the calculus of variations and a short overview of the domestic development of this problem are presented. The main topic is a new method to construct Lagrangians from the first integral of mechanical system， and the equivalent Lagrangians and family of Lagrangians can be obtained by the new method. Some examples are given to illustrate the theoretical significance and the application value of this method. Finally， it is pointed out that great attention should be paid to the study of the inverse problem of the calculus of variations.

the inverse problem of the calculus of variations； Lagrangian； differential equations of motion； first integral； family of Lagrangians

O316

10.13209/j.0479-8023.2016.070

國家自然科學(xué)基金（11472063）資助

2015-10-04；

2016-02-03； 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-14