江西省萍鄉(xiāng)市上栗中學(xué)　(337009)

肖　鋒

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三角形內(nèi)外角平分線定理在數(shù)學(xué)解題中的妙用

江西省萍鄉(xiāng)市上栗中學(xué)(337009)

肖鋒

三角形內(nèi)外角平分線性質(zhì)定理：

三角形的內(nèi)外角平分線內(nèi)、外分對(duì)邊與其延長(zhǎng)線所得的兩條線段與夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.

圖1

從上述推證過(guò)程，我們不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)定理的逆定理也是成立的，而且AD⊥AD′，不知出于何種原因，這一十分有趣的定理在現(xiàn)行教材中已蹤影全無(wú)，然而本定理所產(chǎn)生的重要結(jié)論，對(duì)于目前高中數(shù)學(xué)解題實(shí)踐，有著十分重要的作用.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1,PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m，0)，求m的取值范圍.

(3)略.

(2)命題組提供的標(biāo)準(zhǔn)答案，計(jì)算十分復(fù)雜，現(xiàn)引錄如下：

下面我們將其推廣到一般情形.

圖3

e|PF2|?e(a-ex0)=c-m?m=e2x0，由x0∈(-a，a)，知m∈(-ae2，ae2)，這里的e表示橢圓的離心率.

循著這個(gè)思路，我們來(lái)探討一下雙曲線的類(lèi)似情形.

圖4

圖5

(1) 求實(shí)數(shù)a的值，并證明PQ與OQ連線的斜率之積是定值；

對(duì)于本題的第2問(wèn)，我們先欣賞一下原創(chuàng)題的標(biāo)準(zhǔn)解法：

由①×③，②×④得

從上述解法可以看到，構(gòu)思之精巧，運(yùn)算之難對(duì)于一個(gè)過(guò)分依賴(lài)于計(jì)算器的當(dāng)代高中生來(lái)說(shuō)，只能是望而興嘆.下面筆者介紹一種解法，運(yùn)用三角形內(nèi)外角平分線性質(zhì)定理及逆定理，將此題輕松拿下.

上述結(jié)論還可以推廣到雙曲線的一般情形.

值得我們注意的是此類(lèi)問(wèn)題對(duì)于其它圓錐曲線同樣適用.

圖6

圖7

三角形內(nèi)外角平分線性質(zhì)定理，雖然現(xiàn)在初高中教材都不將其列于其中，但由于此定理形式美觀，可廣泛應(yīng)用于“折直”比例置換，顯然在高中數(shù)學(xué)解題中有著重要作用，望讀者切勿輕視.