內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬中學(xué)(010020)

王洪軍

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簡化函數(shù)結(jié)構(gòu)破解復(fù)雜問題

內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬中學(xué)(010020)

王洪軍

函數(shù)內(nèi)容貫穿整個高中數(shù)學(xué)，尤其借助導(dǎo)數(shù)工具來研究函數(shù)問題，使得設(shè)計題目更加靈活，難度也更大，每當(dāng)學(xué)生遇到此類問題，往往盲目進(jìn)行嘗試，徒勞無功. 其實好多函數(shù)問題在處理時都需要仔細(xì)觀察其結(jié)構(gòu)的，不妨將函數(shù)中復(fù)雜的部分記為f(x)×g(x)，按處理問題的難易程度依次分為如下幾種：①f(x)為指數(shù)型且g(x)為對數(shù)型；②f(x)為指數(shù)型(或?qū)?shù)型)且g(x)為分式型；③f(x)為指數(shù)型(或?qū)?shù)型)且g(x)為多項式型；④f(x)和g(x)均為分式型；⑤f(x)和g(x)均為多項式型. 對于復(fù)雜的函數(shù)問題，好多情況都是因為函數(shù)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，有時我們只需將結(jié)構(gòu)簡化，問題便會迎刃而解.下面我們通過具體實例來體會其中意義.

例1(2014年新課標(biāo)全國Ⅰ卷理科21題)

(1)求a，b； (2)證明：f(x)>1.

評注：通過將待證式轉(zhuǎn)化為上述(*)式，使得復(fù)雜的函數(shù)結(jié)構(gòu)變得相對簡單，再通過常用的一個不等式(當(dāng)x>0時，有ex>x+1)進(jìn)一步簡化函數(shù)的結(jié)構(gòu)，問題便迎刃而解了.

下面再給出兩種利用常用不等式簡化函數(shù)結(jié)構(gòu)的證法.

例2(2011年新課標(biāo)全國卷文科21題)

(1)求a，b的值；

通過前面論述，我們能看到簡化函數(shù)結(jié)構(gòu)對解題的幫助，數(shù)學(xué)解題本身是一門實踐性技術(shù)，經(jīng)歷實踐、認(rèn)識、再實踐、再認(rèn)識的過程，高考卷中的典型問題是值得反復(fù)推敲的.本文從這些函數(shù)實例中通過簡化函數(shù)結(jié)構(gòu)尋求處理問題的一般方法. 對于復(fù)雜的問題，智者見智，希望能對讀者有所啟發(fā).