福建省泉州市第七中學(xué)　(362000)

吳寶樹

福建省泉州市第五中學(xué)　(362000)

楊蒼洲

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一類具有部分周期性質(zhì)的函數(shù)試題探究

福建省泉州市第七中學(xué)(362000)

吳寶樹

福建省泉州市第五中學(xué)(362000)

楊蒼洲

2014年9月4日，國務(wù)院頒布《關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》明確提出要深化高考考試內(nèi)容改革，2015年起增加使用全國統(tǒng)一命題試卷的省份.2014年，使用全國統(tǒng)一命題試卷的省份包括：河南,河北,山西,貴州,甘肅,青海,西藏,黑龍江,吉林,寧夏,內(nèi)蒙古,新疆,云南,遼寧,廣西等15個省(區(qū)).教育部經(jīng)和有關(guān)省份協(xié)商以后，決定2015年增加江西,遼寧和山東3個省，2016年增加湖北,廣東,陜西,四川,重慶,福建和安徽7個省.隨著加入全國統(tǒng)一命題試卷的省份逐漸增多，各地掀起了対全國卷的研究高潮，而各地的質(zhì)檢卷無疑是這一研究成果的很好的體現(xiàn).在各地的質(zhì)檢卷中總能發(fā)現(xiàn)一些精彩的試題，対這些試題加以研究和推廣，對于更好地復(fù)習(xí)迎接全國卷的高考將起到很大的幫助.本文將就福建省泉州市2016年的一道市質(zhì)檢題展開探究.

1.試題呈現(xiàn)

若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)0≤x<2時，f(x)=2x-x2，當(dāng)2k≤x<2k+2(k∈N*)時，f(x)=2f(x-2)，則函數(shù)F(x)=lnx-f(x)在區(qū)間(0，6)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為_________ .

圖1

解析:本題作為填空壓軸題，有一定的難度，思維跳躍大，學(xué)生完成起來較為困難.由當(dāng)0≤x<2時，f(x)=2x-x2和當(dāng)2k≤x<2k+2(k∈N*)時，f(x)=2f(x-2)，可得當(dāng)2k≤x<2k+2時，0≤x-2k<2，此時f(x)=2k(2(x-2k)-(x-2k)2)，據(jù)此畫出y=lnx的圖像和函數(shù)f(x)在(0，16)內(nèi)的部分圖像如圖1，觀察可得，除在第一個區(qū)間(0，2)上只有一個交點(diǎn)外，在其他區(qū)間上各有兩個交點(diǎn)，因此函數(shù)F(x)=lnx-f(x)在區(qū)間(0，16)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為15.

2.課本溯源

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修4》在《1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》一節(jié)中，対周期函數(shù)給出了如下定義：對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.即當(dāng)點(diǎn)(x0，y0)在函數(shù)的圖像上時，點(diǎn)(x0+T，y0)也在函數(shù)的圖像上.

理解和掌握周期性質(zhì)對于解決本題有很大的幫助，本題的難點(diǎn)在于準(zhǔn)確把握f(x)=2f(x-2)這一條件，其實(shí)質(zhì)是由f(x)=2f(x-2)作周期變換的同時，函數(shù)y在軸方向上進(jìn)行伸縮變換，從而可得當(dāng)(x0，y0)在函數(shù)的圖像上時，點(diǎn)(x0+2，2y0)也在函數(shù)的圖像上，即橫坐標(biāo)每向右平移兩個單位，縱坐標(biāo)伸長為原來的兩倍.此時橫坐標(biāo)具有周期變換的特點(diǎn)，而縱坐標(biāo)同時又有伸縮變換，使得周期性不嚴(yán)格，我們不妨將這一性質(zhì)稱為部分周期性.

3.性質(zhì)推廣

一般地，我們可以得到以下幾種類型的具有部分周期性的函數(shù)：

(2)若函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+m)+n，當(dāng)點(diǎn)(x0，y0)在函數(shù)的圖像上時，點(diǎn)(x0+m，y0-n)也在函數(shù)的圖像上.

4.鏈接高考

高考試題中，出現(xiàn)了很多基于部分周期性命制的精彩試題，以下列舉一二.

(2010年高考福建卷)已知定義域?yàn)?0，+∞)的函數(shù)f(x)滿足：(1)對任意x∈(0，+∞)，恒有f(2x)=2f(x)成立；(2)當(dāng)x∈(1，2]時，f(x)=2-x.

給出如下結(jié)論：

①對任意m∈Z，有f(2m)=0；

②函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，+∞)；

③存在n∈Z，使得f(2n+1)=9；

④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減”的充要條件是 “存在k∈Z，使得(a，b)?(2k，2k+1)”.

其中所有正確結(jié)論的序號是_________.

圖2

由解析式和圖像可知，當(dāng)x≥2時，f(2n)=0(n∈Z)，因此①正確；函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞)，②正確；因?yàn)?n+1∈(2n，2n+1]，而在區(qū)間(2n，2n+1]上f(x)的解析式為f(x)=2n+1-x，則2n+1-2n-1=9，即2n=10，顯然不存在這樣的整數(shù)n，因此③錯誤；當(dāng)x∈(2n，2n+1]且n∈Z時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以④正確.故正確答案為①②④.

(2013年高考安徽卷)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=2f(x).若當(dāng)0≤x≤1時.f(x)=x(1-x)，則當(dāng)-1≤x≤0時，f(x)=_________.

限于篇幅，本題解析略，答案為f(x)=

[1]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(A版)：數(shù)學(xué)必修4[M].北京:人民教育出版社,2007.

[2]楊蒼洲. 善用習(xí)題變式教學(xué) 促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展[J].數(shù)學(xué)通訊，2012(11)：7-10.

[3]許麗.2011年高考上海卷兩道同型題的探源[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012(6)：36-37.

[4]吳寶樹. 一道質(zhì)檢試題命題思路的剖析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西),2016(3):10-12.