浙江省衢州第二中學(xué)　(324000)

傅建紅

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是命題巧合，還是命題者的刻意凸顯？
——對(duì)連續(xù)四年浙江高考“同類”試題的解析與思考

浙江省衢州第二中學(xué)(324000)

傅建紅

筆者在研究含參絕對(duì)值函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)，浙江省從2012年至今，連續(xù)四年的高考解答題中都出現(xiàn)了含參絕對(duì)值函數(shù)的身影.這一現(xiàn)象讓筆者大感震驚！是命題人不約而同的巧合，還是情有獨(dú)鐘的凸顯？為何這類問(wèn)題能引起命題人如此頻繁的關(guān)注？它們究竟有何“亮點(diǎn)”和奧秘？帶著上述疑問(wèn)，筆者決定一探究竟.

一、考題再現(xiàn)

題1(2015年浙江(理)第18題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)，記M(a，b)是函數(shù)

|f(x)|在區(qū)間[-1，1]上的最大值.

(1)證明：當(dāng)時(shí)|a|≥2時(shí)，M(a，b)≥2；

(2)當(dāng)a，b滿足M(a，b)≤2時(shí)，求|a|+|b|的最大值.

題2(2014年浙江(理)第22題)已知函數(shù)f(x)=x3+3|x-a|(a∈R).

(1)若f(x)在[-1，1]上的最大值和最小值分別記為M(a)，m(a)，求M(a)-m(a)；

(2)設(shè)b∈R，若[f(x)+b]2≤4對(duì)x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

題3(2013年浙江(理)第22題) 已知a∈R，函數(shù)f(x)=x3-3x3+3ax2-3a+3.

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(x))處的切線方程；

(2)當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求|f(x)|的最大值.

題4(2012年浙江(理)第22題) 已知a>0，b∈R，函數(shù)f(x)=4ax3-2bx-a+b.

(1)證明：當(dāng)0≤x≤1，①函數(shù)f(x)的最大值為|2a-b|+a；②f(x)+|2a-b|+a≥0；

(2)若|f(x)|≤1對(duì)x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范圍.

二、試題特征

不難看出，上述四題中的函數(shù)及其研究對(duì)象都帶有一定的同型特征：(1)四題都涉及函數(shù)y=|f(x)|在閉區(qū)間內(nèi)的最大值問(wèn)題(題2中的[f(x)+b]2≤4恒成立即|f(x)+b|max≤2；(2)題2還涉及另一類帶局部絕對(duì)值的函數(shù)y=f(x)+(kx+b)|x-a|；(3)函數(shù)中都帶有參數(shù)；(4)題1、2、4中函數(shù)都涉及兩個(gè)參數(shù)a，b，且都考查z=h(a，b)的最值或范圍問(wèn)題；(5)題1、2、4還都涉及不等式恒成立問(wèn)題.以上諸多的雷同，足以體現(xiàn)命題人對(duì)此類問(wèn)題的格外“垂青”.那么這類問(wèn)題究竟有何玄機(jī)？它到底想考查學(xué)生些什么？

我們知道，含參函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題大多需要進(jìn)行分類討論，而被“植入”絕對(duì)值之后的函數(shù)(單調(diào)性驟然變得復(fù)雜)就更是如此，因此“分類討論思想”是這類試題承載的考查功能之一；分類討論通常針對(duì)參數(shù)a，b展開(kāi)，這樣就會(huì)得到關(guān)于a，b的一些不等式，這些不等式顯然就是關(guān)于參數(shù)a，b的約束條件，在直角坐標(biāo)系aOb下，畫(huà)出動(dòng)點(diǎn)(a，b)的可行域，如此即可用線性規(guī)劃求出參數(shù)函數(shù)z=h(a,b)的最值或范圍.因此“數(shù)形結(jié)合思想”是這類試題承擔(dān)的考查功能之二；恒成立不等式中的參數(shù)范圍問(wèn)題，通常將轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，但函數(shù)的最值是必須明確求出，還是只要知道可能出現(xiàn)在哪幾個(gè)中就可以了？因此“化歸與轉(zhuǎn)化思想”是此類試題擔(dān)負(fù)的考查功能之三.由此可見(jiàn)，這類試題能較好的考查學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)中重要數(shù)學(xué)思想的理解和應(yīng)用，是甄別學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的良好載體，這也許就是它備受矚目的原因之一吧.當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想本身也是解決問(wèn)題的方法，而高考題對(duì)方法的考查向來(lái)入口較寬，很少有“自古華山一條道”現(xiàn)象.那么，對(duì)于上述兩類含參絕對(duì)值函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題，除了分類討論，是否還有其它途徑？

三、試題解析

浙江省自2015年開(kāi)始，導(dǎo)數(shù)內(nèi)容退出了150分的考查范圍(僅在模塊中出現(xiàn))，因此筆者下面僅以銜接年份的題2和題1為例進(jìn)行解析，限于篇幅僅考慮其第一問(wèn).為展示不同方法，題2用分類討論法，題1用回避討論策略.

(1)當(dāng)a≤-1時(shí)，易知f(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增，所以M(a)=f(1)=4-3a，m(a)=f(-1)=-4-3a，故M(a)-m(a)=8；

(2)當(dāng)-1

M(a)=max{f(1)，f(-1)}=

評(píng)注：對(duì)局部絕對(duì)值函數(shù)y=f(x)+(kx+b)·|x-a|而言，分段求導(dǎo)之后的分類討論往往會(huì)讓多數(shù)學(xué)生感到困惑甚至難以下手，原因是：(1)雖然上下兩段各自的單調(diào)性容易看出，但兩段的“界點(diǎn)”a與下段函數(shù)的極值點(diǎn)±1的大小關(guān)系未知；(2)雖然函數(shù)的自然定義域?yàn)镽，但其求最值的實(shí)際定義區(qū)間為[-1，1]，因此最終要考慮函數(shù)在[-1，1]內(nèi)的單調(diào)性(好在定義區(qū)間的端點(diǎn)恰好為極值點(diǎn)，這降低了討論的難度).那么該如何劃分討論段？其實(shí)影響函數(shù)最值的是單調(diào)性，而影響單調(diào)性的是極值點(diǎn)，因此只要考慮極值點(diǎn)是否在其定義區(qū)間之內(nèi).1與-1是確定的極值點(diǎn)，而“界點(diǎn)”a是可能的極值點(diǎn)，因此，我們只需將極值點(diǎn)、“界點(diǎn)”a、區(qū)間端點(diǎn)±1進(jìn)行大小排序，如此即可快速理清分類討論的線索(即a≤-1、-11)，然后分別作圖，觀察其在[-1，1]內(nèi)圖像，即可求其最值.

因?yàn)閨f(1)|=|1+b+a|，|f(-1)|=|1+b-a|，所以

M(a，b)=max{|1+b+a|，|1+b-a|}=

由題意b∈R，所以|1+b|≥0，又|a|≥2，所以|1+b|+|a|≥0+2=2，即M(a，b)≥2得證.

評(píng)注:對(duì)整體型絕對(duì)值函數(shù)g(x)=|cx2+ax+b|(c>0，a，b∈R)而言，它在對(duì)稱區(qū)間[-m，m](m>0)內(nèi)的最大值，通常是要像題1那樣進(jìn)行分類討論，而上述解法之所以可以回避討論，緣于有如下性質(zhì)的支撐：性質(zhì)1：“V型”函數(shù)(左減右增)在閉區(qū)間內(nèi)的最大值僅在區(qū)間端點(diǎn)處取得；“W型”函數(shù)(減增交替2次)在閉區(qū)間內(nèi)的最大值在區(qū)間端點(diǎn)或極大值點(diǎn)處取得；性質(zhì)2：max{|a+b|，|a-b|}=|a|+|b|(a，b∈R).而這些性質(zhì)的正確性都是顯而易見(jiàn)的.事實(shí)上，題1是一道很有“背景”的試題，通過(guò)它可以引申出更為一般的最值性質(zhì)，從而徹底解決此類二次絕對(duì)值函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值(當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，同理可解決其最小值)問(wèn)題，并且無(wú)需進(jìn)行分類討論.

四、題1引申

若將函數(shù)一般化，還可得到如下引申：

引申2已知函數(shù)f(x)=s(x)+t(x)(其中s(x)為偶函數(shù)，t(x)為奇函數(shù))，記M為|f(x)|在區(qū)間[-m，m](m>0)上的最大值，則當(dāng)|f(x)|為“V型”函數(shù)時(shí)，M=|s(m)|+|t(m)|；當(dāng)|f(x)|為“W型”函數(shù)時(shí)，M=max{|s(m)|+|t(m)|，|f(x0)|}(其中x0為|f(x)|的極大值點(diǎn)).

證明:當(dāng)|f(x)|為“V型”函數(shù)時(shí)，由性質(zhì)1知，M=max{|f(m)|，|f(-m)|}，因?yàn)閨f(m)|=

|s(m)+t(m)|，|f(-m)|=|s(-m)+t(-m)|=|s(m)-t(m)|，所以由性質(zhì)2知M=|s(m)+t(m)|得證；當(dāng)|f(x)|為“W型”函數(shù)時(shí)，由性質(zhì)1知，M=max{max{|f(m)|，|f(-m)|}，|f(x0)|}，由于{max{|f(m)|，|f(-m)|}=

|s(m)|+|t(m)|已然獲證，∴M=max{|s(m)|+|t(m)|，|f(x0)|}得證.

說(shuō)明：引申2告訴我們，函數(shù)y=|f(x)|在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題，已不再局限于f(x)為二次函數(shù)情形，只要構(gòu)成f(x)的函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)(不能非奇非偶)，且y=|f(x)|為“V型”、“W型”函數(shù)，均可使性質(zhì)成立.然而美中不足的是引申1、2、3只能解決函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題，倘若不是對(duì)稱區(qū)間，則它們都將難有作為.可有變通之策？

上述引申在題1基礎(chǔ)上步步為營(yíng)、不斷“升級(jí)”：先將二次型推廣到任意的“V”型、“W”型，再將對(duì)稱區(qū)間拓廣到任意的閉區(qū)間，從而徹底解決此類絕對(duì)值函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，并從此擺脫分類討論的桎梏.由此可見(jiàn)題1的“非同尋?！?，而這也許是這類問(wèn)題備受矚目的另一原因吧.

五、命題啟示

浙江省連續(xù)四年高考出現(xiàn)絕對(duì)值函數(shù)試題(壓軸)，這一現(xiàn)象雖然罕見(jiàn)，但也并非不合情理(歷年各省的高考題中都有不同程度的呈現(xiàn))：(1)此類問(wèn)題借絕對(duì)值函數(shù)為載體，充分考查函數(shù)的性質(zhì)、圖像及導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，考查靈活運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問(wèn)題的能力；(2)此類問(wèn)題充分展示了“動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)”的魅力——圖像、單調(diào)性變化不定，考查學(xué)生在陌生情境中自我探索、獨(dú)立分析以及當(dāng)問(wèn)題變化不定時(shí)分層出擊、化難為易、化整為零、各個(gè)擊破的能力——.如此看來(lái)，這是一類考查學(xué)生思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的絕好素材，它能頻受命題人的“青睞”似乎也就不足為奇.況且浙江省高考隨著導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的退出，函數(shù)題想“出彩”已實(shí)屬不易，這時(shí)絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)運(yùn)而生可謂適逢其時(shí).

作為一線教師，研究高考試題，不僅要弄清問(wèn)題的來(lái)龍去脈，還需預(yù)測(cè)命題的可能趨勢(shì)，不僅要了解“命什么”，還要揣摩“為什么”，這樣的研究才有意義，才能“悟其必然，品其真味”.因此，無(wú)論是巧合還是必然，這種揮不去的絕對(duì)值情結(jié)才是我們真正需要關(guān)注的.

[1]馬文杰，羅增儒.2010年高考數(shù)學(xué)“絕對(duì)值函數(shù)問(wèn)題”深度解析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011(3).