江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)　(215011)

丁益民

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引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思整理的實(shí)踐與思考

江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(215011)

丁益民

現(xiàn)代學(xué)習(xí)觀指出：學(xué)生的學(xué)習(xí)是一種選擇性學(xué)習(xí)，是一種實(shí)踐性學(xué)習(xí)，是一種創(chuàng)新性學(xué)習(xí).從本質(zhì)上看，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)自主構(gòu)建自我理解數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，即在自己原有的知識(shí)背景、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)，并通過自己的主動(dòng)活動(dòng)，包括獨(dú)立思考、與他人交流和自我反思等，主動(dòng)地去進(jìn)行數(shù)學(xué)的建構(gòu)與理解.在這樣的過程中，獲得經(jīng)驗(yàn)、對(duì)經(jīng)驗(yàn)的分析與理解、對(duì)獲得過程以及活動(dòng)方式的反思至關(guān)重要，但實(shí)際教學(xué)中學(xué)生的“反思”不夠，“整理”不多，原因出在我們教師不敢或不愿給學(xué)生“反思”的機(jī)會(huì)，反而用大量重復(fù)的“題?！庇?xùn)練耗盡了學(xué)生自主反思整理的時(shí)間，殊不知，沒有反思的學(xué)習(xí)過程必定是低效甚或無效的.

在近一年的教學(xué)實(shí)踐中，筆者在任教班級(jí)(我校為江蘇省四星級(jí)高中，學(xué)生為我校高一年級(jí)最好生源，學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)，數(shù)學(xué)水平較高)進(jìn)行“優(yōu)秀生”的反思整理的指導(dǎo)實(shí)踐，根據(jù)學(xué)生自身的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆此颊恚韺W(xué)習(xí)過程中的學(xué)習(xí)心得，反思學(xué)習(xí)過程中的經(jīng)驗(yàn)體會(huì)，一年的嘗試與探索，得到了一些收獲與啟示，本文試借一些案例談?wù)劸唧w的做法與思考.[注：部分作業(yè)的文字表述和篇幅筆者作了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整與完善]

一、反思整理認(rèn)知誤區(qū)，弄清錯(cuò)誤的前因后果

在某一知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)程并非一帆風(fēng)順，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)認(rèn)知錯(cuò)誤，特別是知識(shí)建構(gòu)的初始階段，如不及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，將影響學(xué)生對(duì)知識(shí)的準(zhǔn)確理解，并且這樣的認(rèn)知隱患還可能影響與之相關(guān)問題的處理.通過反思整理，可讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到原有認(rèn)知錯(cuò)誤的根源，同時(shí)整理出正確的理解方式，為今后的“再學(xué)習(xí)”提供有理有據(jù)的學(xué)習(xí)材料.

案例1高一潘智康同學(xué)在學(xué)習(xí)不等式內(nèi)容進(jìn)行了如下整理：

問題已知實(shí)數(shù)-1≤m-n≤1，1≤m+n≤3，求m+2n的范圍.

錯(cuò)解：因?yàn)?1≤m-n≤1，1≤m+n≤3，所以0≤m≤2，0≤n≤2，即0≤2n≤4，故0≤m+2n≤6.

分析：錯(cuò)解在于單純地把m，n進(jìn)行分離重組，沒有意識(shí)到他們的內(nèi)在聯(lián)系，它們是互相牽制的.

圖1

圖2

在學(xué)習(xí)過線性規(guī)劃知識(shí)后，可以作出平面區(qū)域解釋這樣做“范圍擴(kuò)大”了，以圖2為證：

從圖中明顯可見，四邊形DEFG區(qū)域的是它原本表示的區(qū)域，而四邊形OABC區(qū)域則是運(yùn)算后的區(qū)域，顯然“擴(kuò)大”了，值得警惕!

正解：1°、待定系數(shù)法

設(shè)m+2n=x(m-n)+y(m+n)，可得

2°、換元法

3°、線性規(guī)劃法

記S=m+2n，變形為m=S-2n，可知目標(biāo)函數(shù)的兩個(gè)最優(yōu)解為(0，1)，(2，1)，即Smax=1，Smax=5，即1≤m+2n≤5.

圖3

總結(jié)：以上幾種方法有一個(gè)共同點(diǎn)，就是整體化，這樣就不產(chǎn)生多余的運(yùn)算以致擴(kuò)大范圍.

相比來看，待定系數(shù)法與換元法可行性更高，而線性規(guī)劃法要畫圖，比較復(fù)雜，一旦畫不準(zhǔn)還會(huì)影響結(jié)果.

這是一份對(duì)自己認(rèn)知錯(cuò)誤進(jìn)行完整的反思整理作業(yè)，既有錯(cuò)解暴露，又有錯(cuò)因分析，既有正解展示，又有方法比較，將原有認(rèn)知錯(cuò)誤的前因后果總結(jié)得清清楚楚，學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)理解的深度必然不是局限在方法層面了，而是將認(rèn)知的觸角上升至理性分析的高度，這正是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本真之道.

二、反思整理認(rèn)知視角，逐步建立起完備的認(rèn)知觀念

學(xué)生的認(rèn)知過程是一個(gè)循序漸進(jìn)、螺旋上升的過程，而認(rèn)知觀念的建立則更是長期的系統(tǒng)建構(gòu)過程，在不斷的滲透與長期的訓(xùn)練中，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)問題認(rèn)知視角的反思整理，有可能讓學(xué)生建立起完備的認(rèn)知系統(tǒng)．

案例2 高一周明浩同學(xué)在解決以下“平面幾何”問題后，歷時(shí)近半個(gè)月，多次和筆者、同學(xué)探討，經(jīng)過多次的反思后整理而成：

問題在△ABC中，已知AB=AC=6，AD=4，且△ABC的外心在BD上，求BC的長度.

這是一道平面幾何問題，之前在課上學(xué)到：幾何問題可從多個(gè)角度研究.

回憶：在學(xué)習(xí)“正(余)弦定理”時(shí)，老師讓我們從多個(gè)角度研究解三角形問題，主要有：正余弦定理知識(shí)、坐標(biāo)法(解析法)、向量法、純幾何方法.下面也從這四個(gè)角度來解決該問題：

整理1：正(余)弦定理知識(shí)(老師課堂講的方法)

在△ABD與△ABC中分別由余弦定理得

點(diǎn)評(píng)：本法是課本中的基本模型(蘇教版必修5第10頁例2，第16頁例6)，其中蘊(yùn)含的“算二次”數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)得淋漓盡致，值得擁有！關(guān)注課本，重視數(shù)學(xué)思想方法是今后學(xué)習(xí)的重中之重！

整理2：坐標(biāo)法(自己課后的思考方法)

圖4

在Rt△ABO中，由勾股定理得m2+n2=36(2)

點(diǎn)評(píng)：顯而易見，坐標(biāo)法處理本題的優(yōu)勢(shì)是不涉及“角”，容易想到，運(yùn)算不難，關(guān)鍵是要大膽去“設(shè)點(diǎn)”，另外，其中又一次運(yùn)用了“算兩次”的數(shù)學(xué)思想也值得關(guān)注.

整理3：向量法(與老師交流后的想法)

圖5

點(diǎn)評(píng)：向量法的精髓在于“向量關(guān)系數(shù)量化”，其中兩組三點(diǎn)共線又看到了“算兩次”數(shù)學(xué)思想的影子，此法相對(duì)于其他方法似乎運(yùn)算量較大，相對(duì)而言，有點(diǎn)笨重.

整理4：純幾何方法(與同學(xué)相互研討后而得)

圖6

點(diǎn)評(píng)：幾何法難想，尤其是輔助線不容易想到，對(duì)我們的要求比較高，但在和幾位同學(xué)的討論后，還是能夠接受這樣的“挑戰(zhàn)”，可作為上述方法的“錦上添花”之作.

這樣的反思整理，真心為學(xué)生的毅力和鉆研精神點(diǎn)贊，也越發(fā)說明只要我們給學(xué)生充分的反思時(shí)間，給予他們適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥與指導(dǎo)，他們是可以將課堂中的“研究”延續(xù)到課后的“反思”中去.他們?cè)诜此颊碇杏袑?duì)課堂聽課內(nèi)容的“整理”，有自己與同學(xué)、老師交流后的“反思”，加上教師的點(diǎn)評(píng)，學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)識(shí)可上升為知識(shí)框架下的系統(tǒng)認(rèn)識(shí).這樣的反思整理實(shí)為一份學(xué)習(xí)成果匯報(bào)，與老師互動(dòng)，與同學(xué)合作，學(xué)習(xí)的過程是真實(shí)的、互動(dòng)的，更重要的是學(xué)生在此過程中建立了良好的認(rèn)知觀念(幾何問題可從哪些角度去研究)，感受到核心數(shù)學(xué)思想的價(jià)值(“算兩次”思想的多次體會(huì))，而這些都將有利于學(xué)生建立起完備的認(rèn)知觀念.

三、反思整理思維過程，“二次”反思優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)

學(xué)習(xí)的過程也是學(xué)生逐步調(diào)整和優(yōu)化的過程，他們?cè)诮鉀Q一些問題時(shí)，最初的思維線路并非清晰簡潔，甚或是繁雜無章.通過老師的講評(píng)與指導(dǎo)，思維線路有了明顯的改進(jìn)或改變.若在此基礎(chǔ)上再與同學(xué)探究討論，與老師交流(包括書面交流)，查閱相關(guān)資料等，再對(duì)已有的思維線路進(jìn)行改進(jìn)與調(diào)整，直至形成較為清晰順暢的思維結(jié)構(gòu)，這對(duì)學(xué)生的思維訓(xùn)練的個(gè)體性是很有效的.

案例3高一俞婷同學(xué)對(duì)一道試題的思維方式的反思整理

題目設(shè)α∈R，若x>0時(shí)，均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0(①)，則實(shí)數(shù)a=_________.

圖7

最初想法：對(duì)于①式，如果用因式分解會(huì)得到

筆者在批閱該作業(yè)時(shí)評(píng)注：本例可否從其他角度入手？比如函數(shù)的圖像.

幾日后，學(xué)生進(jìn)行了“二次”整理：

換一種思路：用函數(shù)圖像來研究

圖8

老師，本題是否還有其他比較好的解法？盼告知.

筆者思考后慎重地給學(xué)生再次做了引導(dǎo)性的交流批注：

這個(gè)不等式的主變量是哪個(gè)？具有任意性的變量可否從特殊值上思考？試試看.

次日，學(xué)生再次整理道：這是一道關(guān)于變量x的不等式恒成立的問題，而且最后結(jié)果是一個(gè)確定的值，可選用特殊值來逼出a的值：

當(dāng)x=1時(shí)，有(a-2)(0-a)≥0，可得0≤a≤2.

感受：盡管沒有求出a的值，但縮小了范圍，離目標(biāo)近了.

感受：意料之外的結(jié)果，但又是情理之中，特殊值發(fā)揮了很多的作用.

學(xué)生在反思整理作業(yè)中完全真實(shí)地暴露了研究問題的思維過程：從一開始的茫然(思維受阻)到教師點(diǎn)撥后的切換角度研究問題(思維轉(zhuǎn)換)，再主動(dòng)與老師交流后的反思整理，最后根據(jù)問題的特點(diǎn)巧妙迅速解決了問題(思維變通).整個(gè)反思整理的過程中學(xué)生經(jīng)歷的何止是思維過程的優(yōu)化呢？這恰是歷練了做學(xué)問的“三重”境界，由此獲得的情感、態(tài)度和價(jià)值觀層面的深刻體悟是難以磨滅的.

四、反思整理解題經(jīng)驗(yàn)，個(gè)性總結(jié)印象深刻

學(xué)習(xí)需要總結(jié)反思，尤其是解題活動(dòng)中，解題失敗或錯(cuò)誤是普遍現(xiàn)象，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)反思，提取出相關(guān)解題經(jīng)驗(yàn)作為后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).在總結(jié)時(shí)，有時(shí)抽象晦澀的文字語言無法表達(dá)出對(duì)解題經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)體會(huì)，我們可以給學(xué)生充分的自由度，指導(dǎo)學(xué)生自己根據(jù)自身情況選用符合他們認(rèn)知理解的方式進(jìn)行總結(jié)，讓其自由發(fā)揮，進(jìn)行自我表征，印象自然深刻.

案例4高一李康同學(xué)擅長打油詩，在其整理作業(yè)中常見打油詩式的總結(jié)性反思.

案例4.1在訂正不等式恒成立習(xí)題后，他用如下“打油詩”加以總結(jié)：

遇到恒成立,方法要選對(duì);先把函數(shù)看,單調(diào)最好解;若非單調(diào)也無妨,圖像畫出來幫忙;分離變量是通法,再無思路全靠它.

案例4.2在訂正有關(guān)解三角形習(xí)題后，又用如下頗有韻味的“詩”進(jìn)行總結(jié)：

解形需從多角度,邊角互化形伴數(shù).向量坐標(biāo)和定理,焉知"幾何"巧妙處?

學(xué)生運(yùn)用“打油詩”等喜聞樂見且貼近個(gè)性的方式，將解題經(jīng)驗(yàn)總結(jié)得精準(zhǔn)到位，這樣的反思性整理肯定是學(xué)生經(jīng)過切身體會(huì)后的有感而發(fā)，俏皮活潑中不失數(shù)學(xué)方法，富含文采卻不缺數(shù)學(xué)理性，學(xué)生將在自己營造的輕松氛圍中接受了相關(guān)解題經(jīng)驗(yàn)，這樣的經(jīng)驗(yàn)將是深刻牢固的.

在長期的教學(xué)實(shí)踐中，我們?cè)絹碓襟w會(huì)到反思性整理作業(yè)的重要性和可行性，或許我們多給學(xué)生一點(diǎn)自由反思的時(shí)間和機(jī)會(huì)，多給學(xué)生一些反思整理的引導(dǎo)與關(guān)注，他們將獲得的不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，可能獲得的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心與樂趣，將以理性和欣賞的心態(tài)去面對(duì)數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).