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1.安徽工程大學，蕪湖，2410002.蕪湖安普機器人產業(yè)技術研究院有限公司，蕪湖，241000

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六自由度柔性關節(jié)機械臂的動力學分析

王海1付邦晨1,2薛彬1楊春來1

1.安徽工程大學，蕪湖，2410002.蕪湖安普機器人產業(yè)技術研究院有限公司，蕪湖，241000

大多數的機器人都是在剛體動力學假設的基礎上進行運動控制設計的，因此其在實際操作中的精度和效率受到一定的限制，而柔性機械臂可以很好地解決此類問題。首先給出了六自由度的柔性關節(jié)機械臂的簡化模型，利用拉格朗日方法建立其動力學方程；然后以單自由度柔性關節(jié)機械臂為例，基于神經網絡反演法對其控制率進行了設計；最后基于Simulink驗證了控制器設計的有效性。

六自由度；柔性關節(jié)；動力學；拉格朗日方程；神經網絡反演法

0　引言

柔性關節(jié)機械臂相比于剛性機械臂具有高度非線性、強耦合的特點[1]。隨著機器人技術的快速發(fā)展，Lagrange法(功能平衡法)、Newton-Euler法(動態(tài)平衡法)和Kane法等已用于對機械臂動力學的研究[2]。有學者采用Kane方法對柔性機械臂動力學進行研究，但計算過程較為繁瑣，且多自由度系統(tǒng)的建模太為復雜[3]。本文主要基于Lagrange法，以能量的方式搭建柔性關節(jié)機械臂動力學模型[4]，避免了計算復雜的約束力。

1　六自由度柔性關節(jié)機械臂動力學建模

柔性機械臂主要分為柔性桿機械臂和柔性關節(jié)機械臂兩類[5]。由于柔性桿機械臂的模型建立較為復雜，且其柔性對運動性能影響較小[6]，因此忽略桿的柔性，將研究對象簡化為柔性關節(jié)機械臂。柔性關節(jié)機械臂的柔性主要由諧波減速器和力矩傳感器產生，可以利用Spong提出的假設采用線性彈簧來描述柔性關節(jié)特性[7]。

運用Lagrange法推導柔性機械臂的動力學方程前，需先得到各個電機轉子、連桿及關節(jié)的動能和勢能表達式。n關節(jié)柔性機械臂的總能量由連桿和電機轉子的動能以及連桿、電機(包含減速器)重力勢能和柔性關節(jié)勢能構成[8]。簡化為線性彈簧的柔性關節(jié)的彈性勢能可表示為

式中，Ki為關節(jié)i的剛度；θi為電機i端的角位移；qi為關節(jié)i的連桿端角位移。

為了便于模型推導，建立六自由度柔性關節(jié)機械臂的簡化模型，如圖1所示。定義相關符號的含義：N為傳動比，即輸入速度與輸出速度之比；Jmi為第i個電機轉子的轉動慣量，i=1，2，…，6；Ili為第i個連桿的轉動慣量；mli為第i個連桿的質量；mri為第i個電機轉子的質量；θmi為電機經過減速前的角度，θmi= Nθi； di、li分別為第i個連桿的質心距離和連桿長。

圖1　6-DOF柔性關節(jié)機械臂簡化模型

利用Lagrange法對圖1所示的簡化模型進行動力學方程推導，依次得到6個電機轉子和連桿的動能：

(1)電機1轉子動能

(1)

(2)連桿1的動能

(2)

(3)電機2轉子動能

(3)

(4)連桿2的動能

(4)

s2=sinq2

(5)電機3轉子的動能

(5)

(6)連桿3的動能

(6)

(7)電機4轉子動能

(7)

(8)連桿4的動能

(8)

c3-4=cos(q3+q4)

(9)電機5轉子動能

(9)

c4=cosq4

(10)連桿5的動能

(10)

c3-5=cos(q3+q4+q5)c4-5=cos(q4+q5)

c5=cosq5

(11)電機6轉子動能

(11)

(12)連桿6的動能

Tl6={ml6[(l2s2+l3s2-3+l4s2-4+l5s2-5+

(12)

s2-6=sin(q2+q3+q4+q5+q6)

s3-6=sin(q3+q4+q5+q6)

c4-6=cos(q4+q5+q6)

c5-6=cos(q5+q6)c6=cosq6

因此機械臂系統(tǒng)的總動能為

(13)

機械臂總的彈性勢能為

(14)

機械臂總的重力勢能為

Pg=g[ml2d2c2+mr3l2c2+ml3(l2c2+d3c2-3)+

mr4(l2c2+l3c2-3)+ml4(l2c2+l3c2-3+d4c2-4)+

mr5(l2c2+l3c2-3+l4c2-4)+ml5(l2c2+l3c2-3+

l4c2-4+d5c2-5)+mr6(l2c2+l3c2-3+l4c2-4+l5c2-5)+

ml6(l2c2+l3c2-3+l4c2-4+l5c2-5+d6c2-6)]

(15)

將上面得到的各個能量方程代入Lagrange方程，忽略阻尼影響時，可認為阻尼矩陣為零矩陣，因此得到簡化的柔性機械臂模型：

(16)

2　數值仿真

選取單連桿柔性關節(jié)機械臂為研究對象，如圖2所示，其動力學方程為[9]

(17)

其中，q為連桿轉動角度；θ為電機的轉動角度；I、J分別為連桿和電機的轉動慣量；mglsinq為連桿的重力矩；l為連桿長度；K為關節(jié)剛度；τm為控制輸入。

圖2　單連桿柔性關節(jié)機械臂示意圖

(18)

為了達成不需要建立模型的柔性機械臂反演控制的目標，將式(18)改寫為

(19)

g(x)=-x3-[mglsinx1+K(x1-x3)]/I

f(x)=K(x1-x3)/Jm=1/J

式中，x為系統(tǒng)的狀態(tài)，x=[x1x2x3x4]T。

2.1基本反演控制器的設計

利用反步法逐步設計位置控制器，主要分以下幾個步驟進行：

(1)定義e1=x1-x1d，取x1d=yd為位置指令，則e1對時間求導可得：

(20)

定義e2=x2-x2d，其中，x2d為虛擬控制量，取

(21)

則由式(20)、式(21)得：

-k1e1+e2

(22)

(2)e2對時間求導得

(23)

取e3=x3-x3d，則虛擬控制量為

(24)

(25)

由式(23)、式(24)得

(26)

設計Lyapunov函數為

(27)

則

(3)e3對時間求導得

(28)

由式(23)～式(25)、式(27)得

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

設計Lyapunov函數為

(35)

(36)

(4)將控制輸入信號引入設計中，實現控制系統(tǒng)的穩(wěn)定。由已知得：

(37)

則由式(28)、式(30)、式(31)、式(33)得

(38)

(39)

控制律設計為

(40)

將式(40)代入式(39)得

(41)

設計Lyapunov函數為

則

(42)

2.2神經網絡反演控制器的設計

(43)

其中，Wi為理想權值，i=1，2，3；φi為高斯基函數，‖ξ‖=‖[ξ1ξ2ξ3]T‖ <ξN，‖Wi‖≤WM，ξN為網絡訓練時設定的權值范圍，WM為網絡訓練時設定的閾值。定義

(44)

定義

‖Z‖F≤ZM

(45)

(46)

設計Lyapunov函數

V4=ξTξ/2η>0

神經網絡權值的自適應律設計為

(47)

Φ=[0φ1φ2φ3]T

(48)

2.3基于Simulink的神經網絡反演控制器的仿真

為了檢驗上述算法的合理性，我們以單連桿柔性關節(jié)機械臂為例，在Simulink中對其進行仿真，其動力學方程為式(17)，實際參數為mgl=6.9 N·m，I=2.1×10-3kg·m2，J=3.26×10-1kg·m2，K=8 N·m。位置指令yd=sint，初始位置x(0)=0，控制器參數為k1=k2=k3=k4=5。采用BRF神經網絡逼近g、d和f，控制律為式(40)，自適應律為式(47)、式(48)，神經網絡的輸入x=[x1x2x3x4]T。在自適應律中，取n=0.01，Γ2=Γ3=Γ4=250，即Q=diag(0，0.004，0.004，0.004)，m=1.0。圖3為系統(tǒng)Simulink仿真圖。圖4所示為指關節(jié)的位置跟蹤曲線，圖5所示為關節(jié)的控制輸入力矩，圖6所示為g(x)的實際值及其估計值。

圖3　單連桿柔性機械臂系統(tǒng)Simulink仿真框圖

圖4　位置跟蹤

圖5　控制輸入

圖6　g(x)及其估計值

仿真結果表明，采用神經網絡反演法對機械臂進行控制，能保證對象跟蹤誤差在1 s后收斂于0。神經網絡反演控制器的設計不但降低了基本的反演控制器對被控對象參數的敏感性，而且克服了傳統(tǒng)方法對被控對象模型精確的要求。因此該方法對柔性機械臂的控制具有一定的有效性。

3　結語

本文首先建立六自由度柔性關節(jié)的簡化模型，然后利用Lagrange法創(chuàng)建動力學模型。文中只考慮機械臂關節(jié)的柔性，忽略桿的柔性，將桿視為剛性桿。建模需要考慮各個電機和連桿的動能與勢能，及每個關節(jié)的彈性勢能，因此推導出整個關節(jié)機械臂的動力學方程。之后，以單自由度柔性機械臂為例，采用神經網絡反演法對其控制器進行設計，得到具體的控制器模型以及控制律。最后給出具體的被控對象參數以及控制器參數，在Simulink中對其進行仿真，實例證明神經網絡反演法對柔性機械臂的控制具有一定的可行性。

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(編輯張洋)

Dynamics Analysis of 6-DOF Manipulators with Flexible Joints

Wang Hai1Fu Bangchen1,2Xue Bin1Yang Chunlai1

1.Anhui Polytechnic University，Wuhu，Anhui，241000 2.Anpu Institute of Technology Robotic Industry Co., Ltd., Wuhu，Anhui，241000

Most robots were hypothetical designed and controlled in rigid body dynamics. Hence, the accuracy and efficiency of these robots were limited in working. However, the flexible joint manipulators provided a good point of these problems. The 6-DOF manipulator with flexible joints was studied herein. Firstly, a simplified model was given, and the kinetic model of this manipulator was built by Lagrange equations. Then, the control law was created by neural network backstepping method in the case of 6-DOF manipulator with flexible joints. Finally, the rationality of the controller was proven by Simulink.

6-DOF； flexible joint； dynamics； Lagrange equation； neural network backstepping method

王海，男，1976年生。安徽工程大學機械與汽車工程學院教授、博士。主要研究方向為微納米技術和機器人測控。發(fā)表論文20余篇。付邦晨，女，1992年生。安徽工程大學機械與汽車工程學院碩士研究生，蕪湖安普機器人產業(yè)技術研究院有限公司工程師。薛斌，男，1990年生。安徽工程大學機械與汽車工程學院碩士研究生。楊春來，男，1982年生。安徽工程大學機械與汽車工程學院講師、博士。

2015-06-08

國家自然科學基金資助項目(51175001，51275001，51375469)；安徽省自然科學研究計劃資助項目(KJ2012A003)

TP241

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.08.018