潘盛發(fā)（廣西欽州市欽北區(qū)長(zhǎng)灘中學(xué)）

數(shù)形結(jié)合談數(shù)軸

潘盛發(fā)
（廣西欽州市欽北區(qū)長(zhǎng)灘中學(xué)）

探索數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的基礎(chǔ)性和重要性。

數(shù)形結(jié)合；數(shù)軸；應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的思想就是將數(shù)學(xué)中抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與具體直觀的圖像結(jié)合起來，利用抽象的思維和形象思維的有機(jī)結(jié)合，借助形的具體明確來反映數(shù)量之間的關(guān)系，借助數(shù)來具體描述形的本質(zhì)內(nèi)涵，用這種數(shù)形結(jié)合的思想來解決數(shù)學(xué)中某些問題往往可以使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，抽象的問題具體化，同時(shí)也便于對(duì)概念的理解和掌控。

在七年級(jí)的數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)的數(shù)軸就是數(shù)形結(jié)合的最好例子。我們初次學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值以及有理數(shù)這些概念時(shí)，往往在理解上有一些困難，如果通過數(shù)軸來幫助理解，就可以解決這個(gè)問題。

數(shù)軸可以在以下幾個(gè)方面幫助我們理解有關(guān)數(shù)的概念和解題中的應(yīng)用。

一、利用數(shù)軸形象地表示有理數(shù)

數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線，零用原點(diǎn)來表示，正數(shù)用原點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)表示，負(fù)數(shù)用原點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)表示，這樣就使較抽象的數(shù)能通過直觀、形象的數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來。

例：在數(shù)軸上表示有理數(shù)+2，0，-3。

在數(shù)軸上用0表示原點(diǎn)，A點(diǎn)表示+2，也就是A點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，距原點(diǎn)有2個(gè)長(zhǎng)度單位，用B點(diǎn)表示-3，也就是B點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，距原點(diǎn)有3個(gè)長(zhǎng)度單位。（如圖1）

圖1

二、利用數(shù)軸比較直觀地理解相反數(shù)

只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。如5與-5、2與-2都是互為相反數(shù)。如果把這一概念與直觀的數(shù)軸聯(lián)系起來，那么互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)可以表示為數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)分別位于原點(diǎn)兩側(cè)，且它們到原點(diǎn)的距離相等。這樣，相反數(shù)概念在數(shù)軸上得到了直觀的解釋。

例：在數(shù)軸上表示+4和-4，并判斷它們是否互為相反數(shù)。

用A點(diǎn)表示+4，用B點(diǎn)表示-4，A點(diǎn)和B點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離都是4個(gè)長(zhǎng)度單位，符合對(duì)于相反數(shù)的要求，因此+4和-4是互為相反數(shù)。（如圖2）

圖2

三、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

許多學(xué)生在比較兩個(gè)有理數(shù)大小時(shí)，對(duì)法則理解不透，因而常常出錯(cuò)。若是把數(shù)軸利用起來，就會(huì)減少錯(cuò)誤的出現(xiàn)。在比較有理數(shù)大小時(shí)，可以先在數(shù)軸上用點(diǎn)表示有理數(shù)，再觀察哪個(gè)點(diǎn)在右，哪個(gè)點(diǎn)在左，因?yàn)樽筮叺狞c(diǎn)表示的數(shù)比右邊的點(diǎn)表示的數(shù)小。那從左到右，數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是由小到大的，因此，就把比較數(shù)的大小問題，轉(zhuǎn)化成排列點(diǎn)的順序問題，學(xué)生就很容易掌握。

例：在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用“<”連接起來。

+3，-2，-3，+1，0。

根據(jù)題目要求，在數(shù)軸上把對(duì)應(yīng)點(diǎn)找出來，從而就把5個(gè)點(diǎn)的左右順序排定（如圖3），得到：

-3<-2<0<+1<+3。

圖3

四、利用數(shù)軸理解絕對(duì)值的意義

絕對(duì)值是中學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的概念，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，許多學(xué)生不能正確地理解這一概念，如果能借助數(shù)軸來理解這一概念，問題就會(huì)變得簡(jiǎn)單、直觀。絕對(duì)值就是在數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。因?yàn)閮牲c(diǎn)間的距離是非負(fù)的，因此，任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)的，即|a|≥0（a是有理數(shù)）。

例如：+2的絕對(duì)值是2，-3的絕對(duì)值是3，0的絕對(duì)值是0，如圖4

圖4

在數(shù)軸上用C點(diǎn)表示+2，C點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2個(gè)長(zhǎng)度單位，在數(shù)軸上用D點(diǎn)表示-3，D點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3個(gè)長(zhǎng)度單位，因?yàn)樵c(diǎn)到原點(diǎn)的距離為0，所以0的絕對(duì)值是0。

五、利用數(shù)軸求出不等式組的解集

一般的，幾個(gè)不等式和解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式的解集。先把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，從而利用數(shù)軸就可以直觀地確定不等式組的解集。

例：解下列不等式組

解：解不等式①得x＞2

解不等式②2得x＞3

把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來（如圖5）

圖5

從圖中可以找出兩個(gè)不等式解集的公共部分，得到不等式組的解集：x＞3

數(shù)軸在其他方面還有更為廣泛的應(yīng)用，隨著數(shù)的范圍的第二次擴(kuò)充，還可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示全體實(shí)數(shù)等。

由于數(shù)形結(jié)合思想是一種深層的數(shù)學(xué)知識(shí)，它隱含于數(shù)學(xué)教材之中，教學(xué)的首要任務(wù)就在于引導(dǎo)充分發(fā)掘教材中的數(shù)形結(jié)合思想，而挖掘過程采用的主要方法是歸納和提煉。教師在教學(xué)過程中根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)編排課程內(nèi)容時(shí)，要注意根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，滲透一些數(shù)形結(jié)合的初步思想。根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況引導(dǎo)說明，抓住數(shù)形結(jié)合的思想引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，既借助代數(shù)方法研究圖形特征，這樣既有利于數(shù)形結(jié)合思想的闡述，又比較符合學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律和認(rèn)識(shí)規(guī)律，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，開拓學(xué)生的解題思路，活躍課堂氣氛，發(fā)展學(xué)生的形象思維能力、空間想象能力等。

當(dāng)學(xué)生弄清了數(shù)形結(jié)合思想以后，教師在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)及解題指導(dǎo)中，應(yīng)盡量體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的方法和運(yùn)用，使其達(dá)到自覺、自由的熟練運(yùn)用。

因此，在教學(xué)中教師要注意及時(shí)總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想的特點(diǎn)，滲透數(shù)形結(jié)合意識(shí)，強(qiáng)化對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中能夠充分發(fā)揮數(shù)軸的直觀作用，使數(shù)形有機(jī)地結(jié)合，會(huì)使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得更形象，更直觀，更生動(dòng)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)分析、解決問題的能力。

·編輯魯翠紅