王勇

“二次根式的乘除法”這節(jié)內(nèi)容是八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第16章16.3節(jié)，在研究教材和教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，對(duì)這部分內(nèi)容的設(shè)計(jì)及其體現(xiàn)的課程理念深有感觸，現(xiàn)將我的體會(huì)看法與各位同仁分享。

感觸一：“二次根式的乘除法”編寫意圖和地位

從2011年版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（初中數(shù)學(xué)）對(duì)“數(shù)與代數(shù)”這一主線從五個(gè)角度去落實(shí)：一是要幫助學(xué)生搞清楚運(yùn)算的對(duì)象是什么？二是要不斷地理解和認(rèn)識(shí)運(yùn)算的背景，為什么要做加、減、乘、除？三是運(yùn)算法則。四是學(xué)會(huì)這么多的運(yùn)算，到底有什么用？在哪兒發(fā)揮作用？五是在運(yùn)算中既有精準(zhǔn)的運(yùn)算，也有進(jìn)似的運(yùn)算。從教材參考書看，二次根式這章的核心是以二次根式這一特殊的“式”為載體，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)運(yùn)算在代數(shù)中的核心地位，學(xué)習(xí)用運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，體會(huì)運(yùn)算法則的邏輯關(guān)系，體會(huì)運(yùn)算在代數(shù)中的基礎(chǔ)地位。做好：1.一以貫之地進(jìn)行代數(shù)基本思想和方法的教學(xué)；2.以運(yùn)算為核心，加強(qiáng)運(yùn)算能力的培養(yǎng)。從教材看，二次根式的乘除法是在掌握、理解算術(shù)平方根的基礎(chǔ)上并利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)二次根式加減法的基礎(chǔ)，也是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)必備的基礎(chǔ)。重點(diǎn)是二次根式乘除法則的探究和運(yùn)用。二次根式的乘除涵蓋了初中階段的所有運(yùn)算，學(xué)會(huì)了二次根式的運(yùn)算，也就基本掌握了所有的運(yùn)算。二次根式的運(yùn)算更進(jìn)一步的體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展從“數(shù)”到“式”的過程，也讓學(xué)生不斷地形成完整的知識(shí)體系。所以，二次根式這一章在初中數(shù)學(xué)中地位和作用尤其重要。

感觸二：二次根式乘除運(yùn)算的引入

從運(yùn)算的角度提出了二次根式也是一個(gè)實(shí)數(shù)，這類實(shí)數(shù)將滿足怎樣的運(yùn)算法則，該如何進(jìn)行四則運(yùn)算的研究任務(wù)。引入內(nèi)容看似沒什么？但其中蘊(yùn)含太多的哲理，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的開啟，也是拋磚引玉，是學(xué)生思考接下來要思考什么？解決什么問題的導(dǎo)向。所以，教師要做好引入的導(dǎo)學(xué)。

感觸三：二次根式乘除法法則探究

問題探究是引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般歸納二次根式的乘除法則。從條件“計(jì)算下列各式，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律”看，學(xué)生應(yīng)從三個(gè)維度去進(jìn)行探究：一是計(jì)算，憑學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行；二是觀察，要從算式的結(jié)構(gòu)、運(yùn)算方法、運(yùn)算結(jié)果、形式變化等方面觀察；三是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是在觀察的基礎(chǔ)上，總結(jié)歸納得出一般的結(jié)論。從編者設(shè)置的問題看，學(xué)生是很容易從這些特例中發(fā)現(xiàn)，即培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦的能力，也讓學(xué)生體會(huì)法則的生成過程，并且對(duì)法則的理解更有深意。

感觸四：二次根式乘除法則的應(yīng)用

二次根式乘除法則是 學(xué)生用已有的知識(shí)基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)是完全能運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算——只需要將被開方數(shù)相乘（除）即可。但法則反過來運(yùn)用更多的是對(duì)計(jì)算結(jié)果的化簡(jiǎn)，這是學(xué)生思維的難點(diǎn)，也是學(xué)生逆向思維培養(yǎng)的著力點(diǎn)，也是本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)核心。比如：計(jì)算，學(xué)生很容易按照法則計(jì)算得出，從而利用二次根式的性質(zhì)又可以將二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。特別是對(duì)這類二次根式的化簡(jiǎn)，還要考慮“分?jǐn)?shù)（式）”的性質(zhì)——分子分母同時(shí)乘以一個(gè)不為零的數(shù)（式），所以在二次根式的乘除運(yùn)算中，要讓學(xué)生體驗(yàn)“先算后化，先化后算”，怎樣做才會(huì)使計(jì)算較簡(jiǎn)便，從而讓學(xué)生全面掌握、理解二次根式的乘除運(yùn)算。如計(jì)算，學(xué)生就可以先算再化更容易做。

感觸五：最簡(jiǎn)二次根式

二次根式學(xué)生先從“形”上認(rèn)識(shí)——含有二次根號(hào)，再從“質(zhì)”上理解——被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，如，但學(xué)生又可以利用二次根式的乘除法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此引出最簡(jiǎn)二次根式：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含開得盡方的因數(shù)或因式。這二者必須同時(shí)滿足，這樣的二次根式才是最簡(jiǎn)二次根式，但從給出的兩個(gè)條件中不難看出，學(xué)生理解有難度：（1）不含分母；（2）不含開得盡方的因數(shù)或因式。從這兩個(gè)條件中告知學(xué)生什么樣的二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，同時(shí)也告知了化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的方法：（1）把被開方數(shù)中含有的分母化“掉”，不含分母；（2）把被開方數(shù)中開得盡方的因數(shù)或因式開方出來。這又回到了二次根式的運(yùn)算本質(zhì)上來。同時(shí)要提醒學(xué)生是“因數(shù)或因式”，不要錯(cuò)將這樣的被開方數(shù)開方出來：這里的x2，y2不是被開方數(shù)的因數(shù)或因式。

感觸六：二次根式的計(jì)算結(jié)果

教材中有這樣一句話：在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式，并且分母中不含二次根式。這句話揭示了數(shù)學(xué)運(yùn)算的“規(guī)矩”——所有計(jì)算結(jié)果都力求最簡(jiǎn)。同時(shí)，既要使結(jié)果是最簡(jiǎn)二次根式也要使分母不含二次根式，這又是要將分母中的二次根式化“掉”?；胃綖樽詈?jiǎn)二次根式方法已有了，要將分母含有二次根式的二次根式化“掉”的方法又是學(xué)生需要類比掌握的?；卸胃降姆帜傅姆椒▽?shí)際就是運(yùn)用“分式”的性質(zhì)——分子分母同時(shí)乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)亩胃?，使其分母所含的二次根式形?”的形式，利用二次根式的性質(zhì)即可將分母中所含的二次根式化“掉”。從而實(shí)現(xiàn)有關(guān)二次根式的計(jì)算結(jié)果是最簡(jiǎn)二次根式并且分母不含二次根式。

總之，這一節(jié)內(nèi)容是本章的核心和重點(diǎn)，二次根式的乘除法掌握好了，接下來學(xué)習(xí)二次根式的加減法就很容易了。但不管是關(guān)于什么樣的“式”的計(jì)算，學(xué)生始終要把握一個(gè)原則——一定符號(hào)二計(jì)算，這樣就不會(huì)出現(xiàn)=（-2）×（-3）=6這樣的錯(cuò)誤。對(duì)于運(yùn)算學(xué)生總會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的問題，就其原因是學(xué)生對(duì)法則的生成和運(yùn)用理解不夠?qū)е碌模诮虒W(xué)中，教師要積極的讓學(xué)生參與探究，與同學(xué)分享探究成果，真正吃透法則的“精髓”，能更好地運(yùn)用法則解決數(shù)學(xué)問題。