潘靈剛　周　千　張　蒙

(西安航空學(xué)院理學(xué)院　西安　710077)

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一種基于Logistic映射和Bernoulli移位映射的圖像加密算法*

潘靈剛周千張蒙

(西安航空學(xué)院理學(xué)院西安710077)

摘要提出一種新的基于Logistic映射和Bernoulli移位映射的圖像加密算法。該算法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、運(yùn)算快速、解密準(zhǔn)確，避免了常用置亂變換算法固有的缺陷及密碼強(qiáng)度的不足，具有很高的安全性。

關(guān)鍵詞混沌; Logistic映射; 圖像加密; Bernoulli移位映射

Class NumberTP391

1引言

隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，圖像安全越來越受到人們的普遍關(guān)注。對(duì)于圖像加密方法，經(jīng)常采用置亂技術(shù)法,主要有Arnold變換、幻方變換、Gray碼法等[1～4]?？傮w而言，基于置亂技術(shù)的圖像加密技術(shù)可以等效為對(duì)圖像矩陣進(jìn)行有限步的初等矩陣變換，即設(shè)法另行排列各像素點(diǎn)從而加密圖像，但各像素點(diǎn)灰度值在排列過程中卻并未發(fā)生相互聯(lián)系[5]。但置亂技術(shù)由于其算子具有周期性，并且密鑰和算法未有效分離，所以它與密碼學(xué)Kerckhoffs準(zhǔn)則不符[6～7]。另外，這種排列變換還時(shí)常因?yàn)閳D像的自相似性等特性導(dǎo)致加密失敗[1]。如何保護(hù)數(shù)據(jù)量大、高冗余度的圖像的安全性,成為密碼學(xué)研究的熱門課題[8]。針對(duì)上述各種置亂算法的不足以及圖像自身特點(diǎn)，本文所提圖像加密算法構(gòu)造簡(jiǎn)單，運(yùn)算速度快，并且能準(zhǔn)確地解密，既實(shí)用，又安全。

2算法描述

2.1背景知識(shí)

2.1.1混沌系統(tǒng)

混沌現(xiàn)象是一種貌似無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，是在確定論系統(tǒng)中出現(xiàn)的類似隨機(jī)的行為過程[9]，其存在于不可積分的非線性系統(tǒng)中?；煦缇哂型?fù)鋫鬟f性，并且具有對(duì)初值敏感的性質(zhì)，即初始狀態(tài)只要有微小的差別的兩個(gè)同構(gòu)混沌系統(tǒng)在較短的時(shí)間后就會(huì)產(chǎn)生兩組完全不同的、互不相關(guān)的混沌序列[10]?；煦缧盘?hào)包含周期性和隨機(jī)性，可以用來產(chǎn)生符合安全性要求的序列密碼[11]。此外，混沌對(duì)參數(shù)與初值非常敏感則意味著密碼對(duì)密鑰的敏感性，因而混沌加密算法如果構(gòu)造合理就會(huì)非常簡(jiǎn)單。

本文提出了一種基于Logistic映射和Bernoulli移位映射的一個(gè)二次加密系統(tǒng)。兩種映射如下所述：

2.1.2Logistic映射

Logistic映射的定義如下：

xn+1=f(xn,μ)=μxn(1-xn)

式中μ為控制參數(shù)，且0≤μ≤4，x∈[0,1]。當(dāng)參數(shù)μ在(μ∞,4]區(qū)間中取值時(shí)(其中μ∞=3.57)，Logistic映射就會(huì)出現(xiàn)混沌。即當(dāng)μ>3.57=μ∞時(shí)，Logistic映射生成的時(shí)間序列像在區(qū)間[0,1]上具有隨機(jī)成分，并且μ在接近4的范圍內(nèi)長(zhǎng)成的混沌序列的隨機(jī)成分較強(qiáng)[12]。

2.1.3Bernoulli移位映射

Bernoulli移位映射定義如下：

xn+1=axn(mod1)

式中，a為正整數(shù)，xn∈(0,1)，n=0,1,2…。當(dāng)a>1時(shí)，該映射的Lyapunov指數(shù)為lna>0,且模運(yùn)算使迭代序列有界，所以該映射是混沌的[13]。

2.2加密原理

若{Pn}表示明文，{Kn}表示密鑰，{Cn}表示密文，那么基于混沌的加密算法為

{Cn}={Pn}⊕{Kn}

而解密算法就是：

{Pn}={Cn}⊕{Kn}

2.3算法流程

步驟1:數(shù)字圖像P是m×n(m是P的行像素?cái)?shù),n是P的列像素?cái)?shù))的矩陣,將矩陣的元素值轉(zhuǎn)成二進(jìn)制,得到m×n階矩陣P′。

步驟3：利用Bernoulli移位映射xn+1=axn(mod1)生第二個(gè)混沌加密矩陣K2。

步驟4:矩陣P′的元素與圖像二進(jìn)制像素值元素一一對(duì)應(yīng),將矩陣P′的元素P′[i,j]與加密矩陣K1,K2的元素作兩次位異或運(yùn)算,得到矩陣C(其中i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)。

步驟5:C是一個(gè)m×n的矩陣,對(duì)矩陣C的元素值進(jìn)行十進(jìn)制轉(zhuǎn)換得C′矩陣，即為加密后的圖像。

和加密算法一樣，解密算法只需要把步驟1中的圖像P換成加密后的圖像C′，并將加密時(shí)兩映射的順序互換，則由步驟4得的圖像就是原圖像，這樣就可以實(shí)現(xiàn)解密了。

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文用Matlab程序?qū)崿F(xiàn)了加密/解密算法，將Lena圖像用算法程序加密與解密，結(jié)果如圖1所示。

圖1　算法對(duì)Lena圖像的加解密結(jié)果

4算法特點(diǎn)與安全性分析

4.1算法優(yōu)點(diǎn)

由圖1可見,加密后的圖像與原圖像直方圖完全不一樣,正確密鑰解密的圖像與原圖一樣，而錯(cuò)誤的密鑰解密會(huì)得到與原圖像沒有關(guān)系的圖像。利用本算法進(jìn)行加密已完全改變了原圖像的像素值,而不是像置亂算法那樣只是將原圖像像素重新排列,這樣才真正對(duì)圖像進(jìn)行了加密。由于算法采用了取模運(yùn)算,避免了因機(jī)器原因產(chǎn)生解密誤差。同時(shí),按位進(jìn)行異或運(yùn)算是一種可逆運(yùn)算,要解密只要再進(jìn)行一次異或運(yùn)算即可。本算法采用了雙映射加密,這樣大大提高了密鑰量,是單個(gè)映射的兩倍或者更多,不僅要確定各個(gè)初值和參數(shù),同時(shí)還必需確定兩映射的加密次序,當(dāng)然我們可以也通過來回進(jìn)行交叉加密來提高密鑰量。

4.2安全性分析

利用上述算法對(duì)圖像進(jìn)行加密,這里采用的密鑰是：對(duì)于Logistic映射，μ=3.99,x0=0.61032；對(duì)于Bernoulli移位映射，a=999,x0=0.70331。由圖1(b)看出，加密后的圖像分辨不出人物或其輪廓,從而無法得知密鑰，破譯加密圖像就非常困難。加之混沌序列對(duì)初始值的敏感性,即使密鑰稍有變化也會(huì)導(dǎo)致解密失敗。如圖1(d)其解密密鑰為μ=3.99，x0=0.61031,a=999,x0=0.70331，偏差雖小，但卻與原圖毫無關(guān)系。若想得到正解而用唯密文攻擊,因?yàn)樗惴ㄓ兴膫€(gè)參數(shù)，所以要搜索的密鑰量高就相當(dāng)之高，除了兩個(gè)初值x0，還必須確定正確的μ，a。如若圖像數(shù)據(jù)量加大,那么密鑰量也就更加龐大,故算法足以抵御唯密文的攻擊。對(duì)比圖1(e)(f),因?yàn)榧用軋D像的灰度分布與原圖灰度分布完全不同,所以想從灰度直方圖窺測(cè)圖像內(nèi)容是不可能的。最后,為了提高保密程度,也可以通過變換兩映射的加密次序和增加加密次數(shù)來提高安全性。

5結(jié)語

本加密算法基于Logistic映射和Bernoulli移位映射兩個(gè)混沌系統(tǒng)，算法中初值條件、Logistic映射參數(shù)、Bernoulli映射參數(shù)都可當(dāng)密鑰，初值的選取在一定程度上是隨機(jī)的，并且選取初值時(shí)范圍大、解密密鑰對(duì)初值也非常敏感，因而系統(tǒng)的保密性能非常高，預(yù)期效果也非常好。相比而言本算法優(yōu)點(diǎn)有加密算法簡(jiǎn)便、加密速度快、加密效果好，并且實(shí)用性很強(qiáng)。

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收稿日期:2016年1月10日,修回日期:2016年2月20日

基金項(xiàng)目:陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目(編號(hào)：15JK1379)資助。

作者簡(jiǎn)介:潘靈剛,男,碩士,助教,研究方向：圖像處理。周千,男,碩士,講師,研究方向：圖像處理。張蒙,男,講師,研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)建模。

中圖分類號(hào)TP391

DOI:10.3969/j.issn.1672-9722.2016.07.033

An Image Encryption Algorithm Based on Logistic Map and Bernoulli Shift Map

PAN LinggangZHOU QianZHANG Meng

(School of Science, Xi’an Aeronautical University, Xi’an710077)

AbstractOn the basis of Logistic map and Bernoulli shift map, a new image encryption algorithm is presented. In this algorithm the computational speed is fast because of simple design. At the same time,it could decrypt cipher text accurately. The algorithm also avoids inherent defects and inadequateness of cryptological intensity of other algorithms adopting permutation transform and thus has super security.

Key Wordschaos, Logistic mapping, image encryption, Bernoulli shift mapping