汪雅倩，朱家明

基于GARCH模型的股指期貨套利策略研究

汪雅倩，朱家明

從股指期貨上市后的活躍度看，該市場(chǎng)有很大的發(fā)展空間。從量化投資角度研究股指期貨的套利策略和風(fēng)險(xiǎn)管理。在對(duì)股指期貨進(jìn)行分析后，得到股票指數(shù)的計(jì)算方法和期貨的定價(jià)方式。根據(jù)指數(shù)時(shí)間序列建立GARCH模型，來(lái)對(duì)股指期貨進(jìn)行跨期套利分析，并給出相應(yīng)的套利策略。從時(shí)間序列角度對(duì)上證指數(shù)作預(yù)測(cè)，了解上證指數(shù)的走勢(shì)。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)對(duì)行情進(jìn)行分析，在建立模型后，用時(shí)間序列的曲線估計(jì)進(jìn)行收益率預(yù)測(cè)，通過(guò)分析時(shí)間序列的變化，建立GARCH模型，評(píng)估股指策略的收益情況，并進(jìn)行跨期套利。

統(tǒng)計(jì)套利；協(xié)整；股指期貨套利；GARCH模型

股指期貨SPIF在石油危機(jī)后應(yīng)運(yùn)成為一種可有效避免風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)保值的金融工具。股指期貨指的是買(mǎi)方和賣(mài)方以股價(jià)指數(shù)為標(biāo)的物，按照商榷的條件在將來(lái)某天進(jìn)行交割的標(biāo)準(zhǔn)化期貨合約，一般通過(guò)現(xiàn)金結(jié)算差價(jià)。其在規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)也可為以后適時(shí)推出外匯期貨等金融衍生品提供經(jīng)驗(yàn)。股指期貨一般具有股票特性、期貨特性：相比于商品期貨，股指期貨的買(mǎi)賣(mài)雙方應(yīng)深入了解經(jīng)濟(jì)走勢(shì)、行業(yè)變動(dòng)和權(quán)重較大的成分股動(dòng)態(tài)；相比于商品期貨的實(shí)物即時(shí)交割，股指期貨慣用現(xiàn)金交割，未平倉(cāng)的結(jié)算價(jià)格一般為末交易日收盤(pán)前一段時(shí)間現(xiàn)貨價(jià)格加權(quán)。在我國(guó)目前的經(jīng)濟(jì)條件下，開(kāi)展股指期貨并通過(guò)量化有效地控制其風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)我國(guó)證劵市場(chǎng)的規(guī)范和發(fā)展具有重要意義。

在統(tǒng)計(jì)套利的基礎(chǔ)上，結(jié)合了GARCH模型，基于模型的套利方式使用于異方差性金融序列上，可以制定出更加靈活、精確和持重的交易策略。

一、相關(guān)文獻(xiàn)綜述

在國(guó)外，對(duì)統(tǒng)計(jì)套利及股指期貨的實(shí)證分析一直是金融研究的熱點(diǎn)。G.Vidyamurthy基于統(tǒng)計(jì)套利是基于相對(duì)價(jià)值開(kāi)展起來(lái)的觀點(diǎn)，首次將其和協(xié)整策略聯(lián)合，用協(xié)整系數(shù)表示配對(duì)股票間的價(jià)格關(guān)系［1］。N.S.Thomaidis結(jié)合GARCH模型與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析價(jià)差數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)性，以搜尋可能存在的組合套利機(jī)會(huì)［2］。L.Cui等人提出使用創(chuàng)新的T-GARCH模型以分析期貨間短期價(jià)格協(xié)整關(guān)系及不對(duì)稱價(jià)格方差的傳遞，得到該模型給予更平穩(wěn)確切的交易門(mén)檻而獲得更高收益的結(jié)論［3］。

國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)股指期貨套利的理論框架和套利策略的研究也作出了較多貢獻(xiàn)。仇中群等人基于實(shí)證結(jié)果，分析相較于其余跟蹤誤差法，運(yùn)用協(xié)整存在更大套利空間，并易于削弱風(fēng)險(xiǎn)［4］。陳之遠(yuǎn)使用統(tǒng)計(jì)套利方法，基于仿真數(shù)據(jù)研究，實(shí)證結(jié)果表明國(guó)內(nèi)股市不成熟，股價(jià)波動(dòng)大，短期有較大套利空間［5］。李世偉使用滬深300股指期貨數(shù)據(jù)，利用改進(jìn)的協(xié)整理論進(jìn)行套利操作，認(rèn)為改良的協(xié)整套利策略能獲較佳套利結(jié)果［6］。陳姚祥基于實(shí)證分析得知GARCH模型跨期套利收益較佳，并表示價(jià)差數(shù)據(jù)方差擴(kuò)展倍數(shù)越大，存在的套利空間越小，同時(shí)風(fēng)險(xiǎn)也有所減?。?］。

二、股指的計(jì)算及期貨的低價(jià)

（一）指數(shù)的計(jì)算

股價(jià)均值是某時(shí)點(diǎn)上市股價(jià)絕對(duì)數(shù)，經(jīng)差異時(shí)點(diǎn)對(duì)比，可分析股價(jià)的動(dòng)態(tài)趨向。在股價(jià)平均數(shù)基本分類(lèi)中，權(quán)重股是按照每期樣股相對(duì)重要程度進(jìn)行賦權(quán)，權(quán)重按數(shù)量為買(mǎi)賣(mài)股量、股票發(fā)布數(shù)等；按時(shí)間分類(lèi)成t日權(quán)數(shù)和T日權(quán)數(shù)。目前慣用的派許指數(shù)是以T日買(mǎi)賣(mài)股數(shù)（或發(fā)布數(shù)）為權(quán)數(shù)。

T+t日時(shí)指數(shù)計(jì)算公式為：

式中：I表示指數(shù)；MV表示調(diào)整總市值。

（二）股指期貨的定價(jià)

基于現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)理論建立理想條件下股指期貨遠(yuǎn)期定價(jià)模型：

式中：t為基期；S為基期的標(biāo)的物價(jià)格；f為遠(yuǎn)期（期貨）多頭在基期的價(jià)值；T為報(bào)告期；ST為報(bào)告期的標(biāo)的物價(jià)格（基期時(shí)未知該值）；r為報(bào)告期時(shí)按持續(xù)復(fù)利得出的基期年利率；k為遠(yuǎn)期（期貨）合同的交割價(jià)格。

用F表示收益率已知的標(biāo)的物遠(yuǎn)期價(jià)格，則F的計(jì)算公式為：

這就是理想條件下股指期貨遠(yuǎn)期合約定價(jià)公式，若不滿足式（3）中的關(guān)系，就存在套利機(jī)會(huì)。

如果F＞Se（r-q）（T-t），投資者能通過(guò)購(gòu)進(jìn)股指的成分股，同時(shí)賣(mài)出指數(shù)期貨合約以賺取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利利潤(rùn)；相反，如果F＜Se（r-q）（T-t），投資者能通過(guò)賣(mài)空股指的成分股，并購(gòu)進(jìn)該遠(yuǎn)期合約以賺取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利。

三、股指期貨跨期套利模型的建立

由股指期貨套利原理可知，期貨市場(chǎng)中，股價(jià)受眾多因素影響而隨時(shí)間波動(dòng)，股價(jià)波動(dòng)不確定性給予了套利策略實(shí)施的空間。股指期貨跨期套利的交易所、標(biāo)的類(lèi)型相同，但交割時(shí)間有異。其在不同時(shí)間價(jià)格有異，若價(jià)差遠(yuǎn)離理想狀態(tài)，則有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)跨期套利的可能。統(tǒng)計(jì)套利方法是經(jīng)過(guò)分析不同時(shí)間交割價(jià)差的變化，得到有據(jù)的變化區(qū)間，在現(xiàn)實(shí)價(jià)差偏離時(shí)，則進(jìn)行套利。具體做法是：在以往價(jià)差水平基礎(chǔ)上剖析價(jià)差平穩(wěn)度及指標(biāo)間長(zhǎng)期均衡性，并策劃比較合理的套利模式，不必就形式作出預(yù)測(cè)及估算，而且可以分析出最優(yōu)套利的可能性。

（一）歷史移動(dòng)法預(yù)測(cè)長(zhǎng)期趨勢(shì)

假設(shè)末期的觀測(cè)值為xT，可通過(guò)收集歷史數(shù)據(jù)，根據(jù)歷史移動(dòng)平均法公式來(lái)預(yù)測(cè)當(dāng)天的收盤(pán)價(jià)。公式如下：

（二）基于GARCH模型的跨期套利

1.協(xié)整檢驗(yàn)

假設(shè)某經(jīng)濟(jì)變量與其他經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)相聯(lián)系，則長(zhǎng)期看來(lái)這些變量需存在均衡性，這是模型構(gòu)造檢驗(yàn)的根基。短期內(nèi)，隨機(jī)干擾使其遠(yuǎn)離平均數(shù)：若偏離是臨時(shí)的，則長(zhǎng)期仍能恢復(fù)平衡；若偏離無(wú)法改變，則不認(rèn)為該些變量有均衡性。理論上，時(shí)間序列分析時(shí)的序列需穩(wěn)定，也就是無(wú)隨機(jī)性或確定性，不然可能出現(xiàn)“偽回歸”。但金融數(shù)據(jù)通常非平穩(wěn)，需在差分后將其平穩(wěn)化，但此舉會(huì)丟失總量的長(zhǎng)期信息，而該信息對(duì)問(wèn)題的分析是不可或缺的，則可用協(xié)整 （co-integration）來(lái)解決現(xiàn)有的矛盾。

對(duì)于隨機(jī)向量Xt=（x1t，x2t，…，xnt），若已知Xt～I(xiàn)（d），存在一個(gè)N×1階矩陣β（β≠0），有βTXt～I(xiàn)（d-b），可知指標(biāo)x1t，x2t，…，xnt有（d，b）階的協(xié)整性，用Xt～I(xiàn)（d，b）表示，β為協(xié)整矩陣。

2.GARCH模型的建立

GARCH模型是廣義ARCH模型。一般而言，GARCH（0，p）模型，等同ARCH（p）模型。

ARCH（p）可以寫(xiě)為：

若干擾項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差不存在自相關(guān)，則

OLS殘差：yt=γ0+γ1x1t+…+γkxkt+ut。

標(biāo)準(zhǔn)化CARCH（0，p）模型中：

式中：xt為1×（k+1）階外生變量矩陣；γ為（k+1）×1階系數(shù)矩陣。

（三）實(shí)例分析

本次研究選擇上證指數(shù)（00001）2015年3月27日到2016年3月25日的收盤(pán)價(jià)，共241個(gè)數(shù)據(jù)作為時(shí)間序列，利用Eviews軟件對(duì)序列建立GARCH模型，并研究收益波動(dòng)率給出套利方案。

現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)處理，上證時(shí)間序列均值為0.000 222，標(biāo)準(zhǔn)差為0.024 815，p值為0。然后對(duì)序列做ADF檢驗(yàn)，得到t統(tǒng)計(jì)量為-13.185 85，p值為0，表明序列平穩(wěn)。

序列自相關(guān)及偏自相關(guān)系數(shù)都進(jìn)入了2倍標(biāo)準(zhǔn)差預(yù)計(jì)值里，同時(shí)Q統(tǒng)計(jì)量的概率P＞5%，故序列在α=0.05時(shí)無(wú)明顯相關(guān)關(guān)系。

將x去均值化，得到w，并建立CARCH（1，1）模型。CARCH（1，1）系數(shù)都通過(guò)t檢驗(yàn)，建模效果較好，對(duì)T-GARCH模型和E-GARCH模型結(jié)果分析知E-GARCH效果最好，所以選擇EGARCH模型，并對(duì)模型進(jìn)行ARCH-M檢驗(yàn)。由檢驗(yàn)結(jié)果可知系數(shù)不顯著（用Variance時(shí)系數(shù)一樣不顯著），說(shuō)明不存在ARCH-M過(guò)程。

因此，可以得到模型：

對(duì)均值式的殘差項(xiàng)εt做LM檢驗(yàn)，結(jié)果顯示，不存在ARCH效應(yīng)。

通過(guò)分析，可以得到所采取的交易策略是：第一，x3＜-1，則做牛市跨期套利；第二，x3＞1，則做熊市跨期套利；第三，建立套利頭寸后，當(dāng)x3回落至區(qū)間［-1，1］時(shí)，進(jìn)行反向操作，了解套利頭寸；第四，當(dāng)近期合約到期后，無(wú)論價(jià)差是否回落，反向?qū)_了結(jié)套利頭寸，不進(jìn)行展期操作。

基于GARCH模型的跨期套利統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1。

表1　基于GARCH模型的跨期套利結(jié)果

四、結(jié)論

一般而言，統(tǒng)計(jì)套利是種借助不同到期日價(jià)差遠(yuǎn)離長(zhǎng)久均衡區(qū)間的程度，對(duì)沖套利頭寸而獲利的交易方式。其不同于單純分析不同到期日期貨走向而投機(jī)，而是股指期貨套利的創(chuàng)新。該模型套利效果較佳，投資者可依據(jù)歷史價(jià)差動(dòng)態(tài)性、風(fēng)險(xiǎn)偏好、期望值收益對(duì)模型做調(diào)整，以得理想收益。

利用統(tǒng)計(jì)套利的跨期套利在實(shí)行中有待考究。首先，使用以往數(shù)據(jù)建模，變動(dòng)趨勢(shì)不能真實(shí)表示指標(biāo)間新關(guān)系，從而模型需頻繁納入新數(shù)據(jù)以確保準(zhǔn)確性；其次，對(duì)于協(xié)整抑或CARCH，閾值設(shè)定的差異會(huì)引致交易活動(dòng)的差異，進(jìn)而帶來(lái)不同利潤(rùn)；最后，風(fēng)險(xiǎn)偏好和投資方式有異的投資者在同種閾值設(shè)定下收益也不同。在此強(qiáng)調(diào)，跨期套利并非無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，價(jià)差風(fēng)險(xiǎn)、保證金風(fēng)險(xiǎn)不可忽視，市場(chǎng)不穩(wěn)時(shí)，投資者應(yīng)有足量流動(dòng)資金維持保證金水平。同時(shí)，止盈止損閾值的設(shè)置對(duì)投資者較為必要。

［1］VIDYAMURTHY G.Pairs Trading：Quantitative Methods and Analysis［J］.New Jersey，2004（13）.

［2］THOMAIDIS N S.Efficient Statistical Analysis of Financial Time-Series Using Neural Networks and GARCH Model［C］. Social Science Electronic Publishing，2006.

［3］CUI L，HUANG K，CAI H J.Application of a TGARCHWavelet Neural Network to Arbitrage Trading in the Metal Futures Market in China［J］.Quantitative Finance，2013（2）.

［4］仇中群，程?？?基于協(xié)整的股指期貨跨期套利策略模型［J］.系統(tǒng)工程，2008（12）.

［5］陳之遠(yuǎn).行為統(tǒng)計(jì)套利模型在中國(guó)股票市場(chǎng)中的應(yīng)用研究［D］.南京：南京財(cái)經(jīng)大學(xué)，2011.

［6］李世偉.基于協(xié)整理論的滬深300股指期貨跨期套利研究［J］.中國(guó)計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（2）.

［7］陳姚祥.股指期貨跨期套利研究：基于GARCH模型［J］.中國(guó)企業(yè)家，2013（12）.

（編輯：唐龍）

F830.93

A

1673-1999（2016）06-0038-03

汪雅倩（1995-），女，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)（安徽蚌埠 233030）金融學(xué)院2013級(jí)在讀本科生，研究方向?yàn)榻鹑趯W(xué)；朱家明（1973-），男，碩士，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模。

2016-03-28

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的非一致指數(shù)二分性及其數(shù)值模擬”（11301001）；安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)教研項(xiàng)目“數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽引領(lǐng)大學(xué)生科研創(chuàng)新的研究”（acjyzd201429）。