左月飛　劉　闖　張　捷　符　慧　張　濤（南京航空航天大學自動化學院　南京　210016）

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永磁同步電動機轉(zhuǎn)速伺服系統(tǒng)PI控制器的一種新設計方法

左月飛劉闖張捷符慧張濤
（南京航空航天大學自動化學院南京210016）

提出了PI控制器的一種新設計方法，將所有已知和未知的擾動集中為總擾動，簡化系統(tǒng)模型，再用積分器作為擾動觀測器對總擾動進行觀測并補償。新型PI控制器中的參數(shù)與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系非常簡單，易于整定。針對連續(xù)變化輸入，新型PI控制器引入了輸入微分前饋，具有更好的跟蹤性能，且輸入微分前饋僅是一個微分器，與電動機參數(shù)無關(guān)，進一步簡化了控制器的設計。采用離散最速跟蹤微分器對階躍輸入安排過渡過程，可以消除PI控制系統(tǒng)階躍響應的超調(diào)，同時提高系統(tǒng)階躍響應對控制器參數(shù)的不敏感性。實驗結(jié)果驗證了所提方法的有效性。

永磁同步電動機PI控制器參數(shù)整定連續(xù)變化輸入輸入微分前饋過渡過程

0　引言

永磁同步電動機（Permanent Magnetic Synchronous Motor，PMSM）以其高功率/重量比、高轉(zhuǎn)矩/慣量比、

高效率和具有一定魯棒性等優(yōu)點逐漸取代直流電動機和其他電勵磁的電動機，被廣泛應用于工業(yè)調(diào)速系統(tǒng)中。傳統(tǒng)的PMSM轉(zhuǎn)速伺服系統(tǒng)大多采用雙環(huán)線性控制結(jié)構(gòu)，內(nèi)環(huán)為電流環(huán)，外環(huán)為速度環(huán)。隨著控制理論的發(fā)展，多種先進的復雜控制策略如非線性PI控制［1-3］、自適應控制［4，5］、模糊控制［6］、滑模變結(jié)構(gòu)控制［7］、自 抗擾控 制 （ActiveDisturbanceRejectionControl，ADRC）［8-11］等被應用于PMSM轉(zhuǎn)速伺服系統(tǒng)中，但這些控制策略存在參數(shù)整定困難、算法復雜或存在抖振等問題。因此，在工業(yè)應用中占主導地位的控制仍是線性PI控制。

傳統(tǒng)的PI控制器大多根據(jù)頻域特性來整定控制器參數(shù)，文獻［12，13］通過幅值裕度和相位裕度得到旨在獲得最佳閉環(huán)特性的PID參數(shù)，文獻［14］建立了較為精確的PMSM控制系統(tǒng)模型，并給出了控制器的PI參數(shù)的解析計算式。由于考慮了較多的非理想環(huán)節(jié)，整定方法較為復雜，且難以定量分析它們對系統(tǒng)性能的影響。傳統(tǒng)的PI控制器多通過階躍響應考察系統(tǒng)的跟蹤性能，由于階躍輸入的微分量為脈沖信號，因此在建模時常忽略輸入的微分量。然而，當輸入為連續(xù)變化的信號時，忽略輸入的微分量將產(chǎn)生建模誤差。為此，文獻［15］基于內(nèi)?？刂频脑硖岢銮梆伩刂苼硖岣呦到y(tǒng)的跟蹤性能，但需要知道系統(tǒng)的精確數(shù)學模型。

針對傳統(tǒng)PI控制器的控制參數(shù)與系統(tǒng)性能關(guān)系復雜的問題，本文借鑒ADRC的控制思想，將外部擾動、建模誤差以及未建模擾動等所有已知和未知擾動集中為總擾動，然后用積分器作為擾動觀測器對總擾動進行觀測并補償，得到新型PI控制器。新型PI控制器從傳統(tǒng)PI控制器參數(shù)中分離出與電動機參數(shù)有關(guān)的控制增益，簡化了控制器參數(shù)與系統(tǒng)性能的關(guān)系，從而簡化參數(shù)整定過程。針對輸入連續(xù)變化的場合，新型PI控制器中同樣采用前饋控制的方法進行補償，不同的是，由于模型得到簡化，新型PI控制器的輸入微分前饋（Input Derivative Feedforward，IDF）環(huán)節(jié)只是一個微分器，與電動機參數(shù)無關(guān)，進一步簡化控制器的設計。利用新型PI控制系統(tǒng)能夠在無擾動的情況下無誤差地跟蹤連續(xù)變化輸入，采用文獻［16］提出的改進型離散最速跟蹤微分器對階躍輸入安排過渡過程，可以消除階躍響應的超調(diào)，并且可同時提高系統(tǒng)階躍響應性能對參數(shù)的不敏感性。最后通過實驗驗證了所提方法的正確性和實用性。

1　新型PI控制器的設計

1.1PMSM的數(shù)學模型

本文研究的是表貼式永磁同步電動機，則其在轉(zhuǎn)子磁場定向的同步旋轉(zhuǎn)坐標系（d-q坐標系）下的機械運動方程為

式中，J為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2；B為系統(tǒng)的粘滯摩擦系數(shù)，N·m/（rad/s）；TL為負載轉(zhuǎn)矩，N·m；Ω為機械角速度，rad/s；Kt為轉(zhuǎn)矩常數(shù)，N·m/A；iq為交軸電流，A。

1.2誤差反饋控制律設計

定義機械角速度給定值v與反饋值x1之差為角速度跟蹤誤差es，即es=v-x1，則由式（3）可得角速度跟蹤誤差的狀態(tài)方程為

采用線性比例反饋控制律，即

式中，kp為控制器的比例系數(shù)。

結(jié)合式（4）和式（5）可得控制量為

式（6）中的實際狀態(tài)x1和x2未知，可通過傳感器測量或用觀測器對其進行觀測。

通常，角速度可通過對角度信號直接微分得到，將其定義為y，并設y=x1+δns，其中δns為角速度Ω的測量噪聲。用y代替x1，則角速度跟蹤誤差變?yōu)閑s=v-y。

系統(tǒng)無擾動時，采用比例控制即可實現(xiàn)無穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)有擾動時，采用比例積分控制即可消除穩(wěn)態(tài)誤差。由此可知，積分的作用就是抵消擾動對系統(tǒng)的影響，或積分器能夠觀測擾動。將x2替換為跟蹤誤差的積分，得到PI控制器下的控制量為

由于采用了積分器且輸出存在限幅，本文采用遇限停止積分的抗積分飽和方法，于是得到新型PI控制器的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。轉(zhuǎn)速環(huán)傳統(tǒng)PI控制器的結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示，PMSM矢量控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。對比圖1和圖2可看出，新型PI控制器與傳統(tǒng)PI控制器在結(jié)構(gòu)上的區(qū)別為:新型PI控制器多了一個輸入微分前饋環(huán)節(jié)和控制增益環(huán)節(jié)。

圖1　轉(zhuǎn)速環(huán)新型PI控制器結(jié)構(gòu)框圖Fig.1　Block diagram of the novel PI controller for speedloop

圖2　轉(zhuǎn)速環(huán)傳統(tǒng)PI控制器結(jié)構(gòu)框圖Fig.2　Block diagram of traditional PI controller for speedloop

圖3　矢量控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.3　Block diagram of vector control system

1.3系統(tǒng)響應

將式（7）代入式（4）可得閉環(huán)系統(tǒng)的輸出為

式中，λc（s）為閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式，λc（s）=s2+ kps+ki。

當無IDF時，系統(tǒng)在給定作用下的傳遞函數(shù)為

2　新型PI控制系統(tǒng)的性能分析

2.1系統(tǒng)對時變輸入的跟蹤性能

在連續(xù)變化輸入（如正弦給定）的作用下，輸入的微分量對應的控制量通常能夠被系統(tǒng)響應，因此輸入微分前饋可以起作用。由式（9）知，新型PI控制系統(tǒng)能夠在無擾動的情況下無誤差地跟蹤連續(xù)變化輸入。由式（10）知，傳統(tǒng)PI控制系統(tǒng)對連續(xù)變化輸入的跟蹤存在相位滯后，跟蹤誤差較大。

2.2系統(tǒng)的階躍響應

式中，ωd為阻尼自然頻率，rad/s；t為時間，s；φ為振蕩角，rad；ω1和ω2為兩個不同的衰減振蕩頻率，rad/s；m為振蕩頻率比；a、b為臨時變量。以上參數(shù)的計算公式如下

由式（12）和式（13）可知，超調(diào)量σ%隨阻尼比ζ的增大而減小，與無阻尼自然頻率ωn無關(guān)。百分超調(diào)量σ與阻尼比ζ間的關(guān)系如圖4所示。由圖4可看出，增大阻尼比可減小超調(diào)量，但并不能消除超調(diào)量。另外，增大阻尼比會減小阻尼自然頻率ωd，導致系統(tǒng)響應變慢。因此，為獲得較好的階躍響應，需同時增大ζ和ωn，但這受限于系統(tǒng)噪聲。

圖4　百分超調(diào)量與阻尼比間的關(guān)系Fig.4　The relationship between overshoot and damping ratio

2.3系統(tǒng)的抗擾性能及抑制測量噪聲性能

由式（9）可得，系統(tǒng)在擾動作用下的傳遞函數(shù)和在測量噪聲作用下的傳遞函數(shù)分別為

當ζ=1.0、ωn分別為30、60和90時，抗擾系統(tǒng)和抑制測量噪聲系統(tǒng)的頻域特性曲線如圖5所示。由圖5可看出，ωn越大，則抗擾系統(tǒng)的低頻幅值越小，抑制測量噪聲系統(tǒng)的高頻幅值越大，而諧振幅值不變。因此，ωn越大，系統(tǒng)抗低頻擾動的能力越強，階躍響應越快，且超調(diào)量不受影響，但抑制測量噪聲能力越差。

圖5　不同ωn時抗擾系統(tǒng)和抑制測量噪聲系統(tǒng)的頻域特性Fig.5　Frequency-domain characteristic of anti-disturbance system and measurement noise suppression system under different undamped natural frequency ωn

當ωn=60、ζ分別為0.5、1.0和2.0時，抗擾系統(tǒng)和抑制測量噪聲系統(tǒng)的頻域特性曲線如圖6所示。由圖6可看出，ζ越大，則抗擾系統(tǒng)在頻率接近ωn處的幅值越小，抑制測量噪聲系統(tǒng)的高頻幅值越大，而諧振幅值越小。因此，ζ越大，系統(tǒng)對頻率接近自然頻率ωn的擾動抑制能力越強，階躍響應越快，且超調(diào)量越小，但抑制測量噪聲能力越差。

圖6　不同ζ時抗擾系統(tǒng)和抑制測量噪聲系統(tǒng)的頻域特性Fig.6　Frequency-domain characteristic of anti-disturbance system and measurement noise suppression system under different damping ratio ζ

由式（9）可得新型PI控制系統(tǒng)的輸出

于是，式（7）中的積分項經(jīng)Laplace變換為

由式（17）可知，積分器觀測到的擾動項中包含測量噪聲的微分信號。ωn越大，則積分器對擾動的觀測速度越快，系統(tǒng)抗擾性能越好，但同時噪聲也越大，即系統(tǒng)抗擾性能與抑制測量噪聲性能之間存在矛盾。對比式（10）和式（15）可知，系統(tǒng)在輸入作用下的傳遞函數(shù)和系統(tǒng)在測量噪聲下的傳遞函數(shù)相同，因此系統(tǒng)的階躍響應快速性與抑制測量噪聲性能之間也存在矛盾。

3　安排過渡過程以消除超調(diào)

新型PI控制系統(tǒng)能夠在無擾動的情況下無誤差地跟蹤連續(xù)變化輸入，但階躍響應卻存在超調(diào)，原因就在于階躍輸入下的輸入微分前饋環(huán)節(jié)不起作用。如果對階躍輸入安排過渡過程，減小輸入的微分量以便輸入微分前饋環(huán)節(jié)能夠起作用，則可消除系統(tǒng)階躍響應的超調(diào)。

文獻［8］提出了多種過渡過程，為使系統(tǒng)能對輸入的微分量有較好的響應，應選擇能使輸入微分量緩慢變化的過渡過程。因此，本文采用離散最速跟蹤微分器（DFTD）來安排過渡過程。由于文獻［8］提出的DFTD存在超調(diào)的問題，為此采用文獻［16］中改進后的DFTD，其結(jié)構(gòu)框圖如圖7所示。

圖7　DFTD的結(jié)構(gòu)框圖Fig.7　The block diagram of DFTD

圖7中x11為安排過渡過程后的新給定，x21為新給定的微分，對應的離散系統(tǒng)方程及其中的最速控制綜合函數(shù)fsun的算法公式分別為

式中，h為計算步長；nref為轉(zhuǎn)速給定，r/min；ceil（m0）表示取比m0大的最小整數(shù)。

假設過渡過程的時間為T，則函數(shù)fsun中的r及x21的最大值x21m分別為

若給定nref=800 r/min，則T分別為0.15 s、0.10 s 和0.05 s時，r分別為14 200、32 000和128 000。

4　實驗驗證

為驗證所提控制方法的有效性，對采用新型PI控制器永磁同步電動機調(diào)速系統(tǒng)的階躍響應、抗擾性能、跟蹤正弦輸入性能進行了實驗驗證。實驗中PMSM參數(shù)如表1所示。

表1　電動機參數(shù)Tab.1　Motor parameters

永磁同步電動機調(diào)速系統(tǒng)的實驗平臺采用dSPACE實時仿真系統(tǒng)DS1103，利用快速原型法通過Simulink自動完成代碼生成與下載。實驗中的逆變器開關(guān)頻率為10 kHz，通過PWM中斷觸發(fā)電流采樣和占空比更新。

實驗中所用的負載曲線如圖8所示。由圖8可看出，加載過程時間較長，且負載變化率不恒定，而卸載時間較短（約80 ms），且負載變化率近似恒定，因此只做了卸載實驗。

圖8　實驗負載曲線Fig.8　Load curve in experiment

圖9　不同ζ下起動和變負載時的動態(tài)響應Fig.9　Dynamic response when starting and load varing under different damping ratio

圖10　不同ωn下起動和變負載時的動態(tài)響應Fig.10　Dynamic response when starting and load varingunder different undamped natural frequency

表2　不同ζ和ωn時的超調(diào)量和轉(zhuǎn)速變化量Tab.2　Overshoot and speed variation under different ζ and different ωn

由表2可看出，80 r/min起動時超調(diào)量的實驗值與理論值基本相符，驗證了理論的正確性，偏差是由實際起動時存在負載轉(zhuǎn)矩導致的。800 r/min起動時超調(diào)量的實驗值比80 r/min時的還要小，這是由系統(tǒng)控制量飽和導致的。卸載時轉(zhuǎn)速變化量的實驗值與理論值也基本相符，存在較小的偏差是由于理論卸載曲線與實際卸載曲線之間存在偏差導致的，并不影響ζ和ωn對系統(tǒng)抗擾性能的影響性質(zhì)。

給定500 r/min、5 Hz的正弦轉(zhuǎn)速，取ζ=1、ωn分別為60和200時，系統(tǒng)的正弦跟蹤響應如圖11所示。由圖11a可看出，傳統(tǒng)PI控制器下的跟蹤誤差為±120 r/min，而新型PI控制器下的跟蹤誤差只有±10 r/min。由圖11b可看出，傳統(tǒng)PI控制器下的跟蹤誤差為±12 r/min，而新型PI控制器下的跟蹤誤差只有±1 r/min。新型PI控制器下仍存在較小的跟蹤誤差而不是理論情況下的零，這是由于實際系統(tǒng)中存在摩擦轉(zhuǎn)矩等負載擾動。對比圖11a和圖11b可看出，增大ωn盡管提高了系統(tǒng)的抗擾性能，但同時也增大了系統(tǒng)的噪聲，與理論分析結(jié)果一致，進一步驗證了理論分析的正確性。

圖11　跟蹤正弦給定時的動態(tài)響應Fig.11　Dynamic response of tracking sine reference

給定階躍轉(zhuǎn)速800 r/min，安排過渡時間T分別為0.15 s、0.10 s和0.05 s的3種過渡過程，ζ=1，ωn= 60，傳統(tǒng)PI控制系統(tǒng)和新型PI控制系統(tǒng)下的空載起動實驗波形如圖12所示。由圖12可看出，傳統(tǒng)PI控制系統(tǒng)在T分別為0.15 s、0.10 s和0.05 s時的超調(diào)量分別為10%、10%和5%，新型PI控制系統(tǒng)在T為0.15 s時的超調(diào)量約為0.4%，在T分別為0.10 s和0.05 s時均無超調(diào)。新型PI控制系統(tǒng)在T為0.15 s時存在超調(diào)是由控制量飽和導致的，不過此超調(diào)量相比于傳統(tǒng)PI控制器下的10%小得多。以上結(jié)果驗證了安排過渡過程的有效性。

圖12　安排過渡過程時的階躍響應Fig.12　Step response with transient profile

5　結(jié)論

針對傳統(tǒng)PI控制器存在參數(shù)整定困難、對時變輸入跟蹤性能差等問題，本文基于自抗擾控制器的設計思想提出了PI控制器的一種新設計方法。

新型PI控制器的系數(shù)kp、ki與系統(tǒng)階躍響應、抗擾性能以及對時變輸入的跟蹤性能之間的關(guān)系非常簡單，易于整定。ζ越大，則系統(tǒng)的階躍響應越快，且超調(diào)量越小，對頻率接近ωn的擾動抑制能力越強，但恢復時間越長，且系統(tǒng)對測量噪聲的抑制能力越差；ωn越大，則系統(tǒng)的階躍響應越快，且超調(diào)量不受影響，對中低頻擾動的抑制能力越強，但對測量噪聲的抑制能力越差。

對于輸入連續(xù)變化的應用場合，由于存在輸入微分前饋環(huán)節(jié)，新型PI控制器相對于傳統(tǒng)PI控制器具有更好的跟蹤性能。另外，輸入微分前饋環(huán)節(jié)只是一個微分器，與電動機參數(shù)無關(guān)，簡化了控制系統(tǒng)的設計。

新型PI控制器下的系統(tǒng)階躍響應仍存在超調(diào)，且超調(diào)量只與阻尼比有關(guān)；盡管通過增大阻尼比可以減小超調(diào)量，但并不能消除超調(diào)量；系統(tǒng)的階躍響應快速性與抑制噪聲性能之間存在矛盾，抗擾性能與抑制噪聲性能之間也存在矛盾。

通過安排過渡過程，將階躍輸入變?yōu)檫B續(xù)變化輸入，從而可以消除階躍響應的超調(diào)，另外還可以提高系統(tǒng)階躍響應對控制參數(shù)的不敏感性。

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左月飛男，1989年生，博士研究生，研究方向為永磁同步電機伺服系統(tǒng)控制。

E-mail:zuo@nuaa.edu.cn（通信作者）

劉闖男，1973年生，教授，博士生導師，研究方向為現(xiàn)代交流調(diào)速、開關(guān)磁阻電機、航空航天電源系統(tǒng)、新能源發(fā)電等技術(shù)。

E-mail:lc@nuaa.edu.cn

A Novel Design Method of PI Controller for Permanent Magnetic Synchronous Motor Speed Servo System

Zuo YuefeiLiu ChuangZhang JieFu HuiZhang Tao
（College of AutomationNanjing University of Aeronautics and AstronauticsNanjing210016China）

A novel design method of the PI controller is proposed in this paper.The controller lumps various known and unknown quantities that affect the system performance into a total disturbance，simplifies the system model，and then uses the integrator as an observer to realize total disturbance estimation and rejection.The parameters in the novel PI controller have simple relationship with system performance，and are easy to tune.With the input derivative feedforward（IDF）used in the novel PI controller，better performance of tracking the continuous varying input can be obtained.The IDF is just a differentiator irrelative to the parameters of the permanent magnetic synchronous motor（PMSM），which further simplifies the controller design process.The discrete fastest tracking differentiator（DFTD）is used to diminish the overshoot in the step response，which improves the parameter insensitivity of the system at the same time.Extensive experiments are performed to verify the validity of the proposed algorithm.

Permanent magnetic synchronous motor，PI controller，parameter tunning，continuously varying input，input derivative feedforward，transient profile

TM351

國家自然科學基金（51377076）、江蘇省“六大人才高峰”項目（YPC13013）和江蘇省產(chǎn)學研資金（BY2014003-09）資助。

2015-03-27改稿日期 2015-05-24