尹 麗，高 輝

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·基礎(chǔ)理論研究·

全微分法在隱函數(shù)求導(dǎo)中的應(yīng)用研究*

尹 麗，高 輝

（大連海洋大學(xué)理學(xué)院，遼寧大連 116023）

摘 要：將全微分法應(yīng)用于隱函數(shù)求導(dǎo)中，對單個方程和方程組所確定的一元隱函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)，單個方程和方程組所確定的二元隱函數(shù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了求解研究。結(jié)果表明：此方法使得隱函數(shù)求導(dǎo)變得通俗易懂，且不易出錯，大大提高了解答此類問題的正確率，使隱函數(shù)求導(dǎo)不再成為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：全微分法；復(fù)合函數(shù)；隱函數(shù)；求導(dǎo)；偏導(dǎo)數(shù)

1 引言

隱函數(shù)求導(dǎo)是高等數(shù)學(xué)的重要的知識點(diǎn)，也是初學(xué)者學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。究其原因，傳統(tǒng)的方法對隱函數(shù)求導(dǎo)：首先，應(yīng)區(qū)分開自變量與函數(shù)；再次，需把握好自變量與函數(shù)間的關(guān)系，認(rèn)識到：在求導(dǎo)過程中函數(shù)是關(guān)于自變量的中間變量；最后，實(shí)質(zhì)是用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的思路解決隱函數(shù)求導(dǎo)問題。而在實(shí)際練習(xí)中，自變量與函數(shù)間的關(guān)系是千變?nèi)f化的。學(xué)生單一地依據(jù)求導(dǎo)法則去求解隱函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的（偏）導(dǎo)數(shù)的時候，常會發(fā)現(xiàn)很難把握住函數(shù)變量間的關(guān)系，從而很容易造成問題的錯解 。［1］

因此，本文將全微分法應(yīng)用于隱函數(shù)求導(dǎo)中，對單個方程和方程組所確定的一元隱函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)，單個方程和方程組所確定的二元隱函數(shù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了求解研究。

該方法的好處在于：利用全微分形式的不變性，不論自變量與函數(shù)如何變換，對自變量與函數(shù)始終“同等看待”，對他們“平等處理”，從而使問題簡約，做題思路明了，解決方法標(biāo)準(zhǔn)，達(dá)到提高正確率的效果。

2 全微分法

全微分法實(shí)質(zhì)上是應(yīng)用函數(shù)全微分形式的不變性，在函數(shù)或隱函數(shù)的方程兩邊分別求全微分，最后求得函數(shù)的全微分，從而求得函數(shù)或隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。

全微分法以下面兩定理為基礎(chǔ)。

定理1（一元函數(shù)微分形式的不變性）設(shè)y= f（u），u=g（x）都可微，則函數(shù)y=f［g（x）］的微分為

即一個一元可微函數(shù)的微分總是等于該函數(shù)對某個變量的導(dǎo)數(shù)乘以該變量的微分。

定理2（二元函數(shù)全微分形式的不變性）設(shè)函數(shù)z=f（x，y）可微，不論x，y是自變量，還是中間變量，函數(shù)z的全微分形式總是

一般地，定理1和定理2可以推廣到任意n元可微函數(shù)。

3 全微分法在隱函數(shù)求導(dǎo)中的應(yīng)用

3.1 單個方程確定的一元隱函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)

解 方程y=1+xey兩邊同時求微分：

自產(chǎn)自銷，各推各的，分布零散，沒有形成一個具體的體系，僅僅只是依靠自身是無法形成品牌和規(guī)模的。缺少品牌營銷推廣限制著民宿的經(jīng)營，模仿其他民宿，零散的經(jīng)營，沒有經(jīng)營理念和品牌營銷的民宿注定跟不上現(xiàn)代旅游發(fā)展的步伐。

dy=d（1+xey）?dy=d1+dxey?dy=0+ eydx+xeydy?（1-xey）dy=eydx

3.2 方程組所確定的一元隱函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)

例3［3］求由方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

分析 本題方程組所確定的函數(shù)x=x（z），y =y（z）都是一元函數(shù)，適用定理1，把兩個方程同時兩邊求微分，解出函數(shù)x的微分dx，解出函數(shù)y的微分dy，據(jù)定理1

3.3 單個方程確定的二元隱函數(shù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)

解對方程兩邊同時求微分d（x2+y2+z2-4z）=d0

2xdx+2ydy+2zdz-4dz=0

整理得（z-2）dz=-xdx-ydy

3.4 方程組所確定的二元隱函數(shù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)

例7［3］求由方程組所確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

分析 本題方程組所確定的函數(shù)u=u（x，y），v=v（x，y）都是二元函數(shù)，適用定理2.

解 對方程組兩邊同時微分并整理

解方程

4 結(jié)論

微分形式不變性的妙處在于能夠避開函數(shù)變量錯綜復(fù)雜的關(guān)系，抓住問題的本質(zhì)，利用熟識的數(shù)學(xué)形式結(jié)構(gòu)原型方便簡潔地解決問題［4］。通過以上范例，把全微分法應(yīng)用于隱函數(shù)求導(dǎo)中。發(fā)現(xiàn)利用全微分形式的不變性解決隱函數(shù)求導(dǎo)是一種簡明、規(guī)范的數(shù)學(xué)方法。使用該方法，以不變應(yīng)萬變，使得隱函數(shù)求導(dǎo)變得通俗易懂，且不易出錯，大大提高了解答此類問題的正確率，使隱函數(shù)求導(dǎo)不再成為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

［1］蔡白光，郭紀(jì)云.全微分法在微分學(xué)中的應(yīng)用［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013（4）：303-305.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［3］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：下冊［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［4］張艷瓊.關(guān)于微分形式不變性的教學(xué)思考［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2013（3）：44-46.

中圖分類號：O172.1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-6125（2016）02-0001-04

收稿日期：2016-03-11

作者簡介：尹 麗（1981-），女，遼寧莊河人，大連海洋大學(xué)理學(xué)院講師、碩士。主要研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。高 輝（1978-），女，遼寧莊河人，大連海洋大學(xué)理學(xué)院講師、碩士。主要研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

Application study of total differential method in solving derivation of implicit function

YIN Li，GAO Hui
（Dalian Ocean University，science Institute，Dalian，116023，China）

Abstract：The total differential method applied in implicit function derivation，for first and second derivative of one variable of implicit function determined by a single equation or the equations，first and second partial derivative of binary variable of implicit function determined by a single equation or the equations was studied to solve.The results show that this method makes the implicit function derivation become easy to understand.And when this method is used，it is not liable to make errors.This method can raise the exactness rate.Using this method makes implicit function derivation is no longer the difficulty of learning advanced mathematics.

Key words：Total differential method；Compound function；Implicit function derivation；Partial derivative