陳漢波， 熊　彬

(桂林理工大學(xué)　地球科學(xué)學(xué)院，桂林　541004)

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地-井與井-地及井-井時(shí)域激電異常響應(yīng)特征分析

陳漢波， 熊彬*

(桂林理工大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院，桂林541004)

摘要：井中激電是尋找深部金屬礦產(chǎn)的有效方法之一，這里基于有限差分和異常電位算法實(shí)現(xiàn)了時(shí)間域井中激發(fā)極化法的三維數(shù)值模擬。首先直接給出點(diǎn)源三維異常電位場滿足的基本微分方程；然后采用一維非零元素行壓縮存儲(chǔ)模式對(duì)所形成的大型稀疏矩陣進(jìn)行存儲(chǔ)，節(jié)約了計(jì)算所需內(nèi)存空間；同時(shí)引入不完全Cholesky分解穩(wěn)定化雙共軛梯度(ICBG)法求解有限差分線性方程組，提高了求解的效率。構(gòu)建典型的地電模型，采用地-井、井-地、井-井的觀測模式分別進(jìn)行正演計(jì)算，結(jié)果表明，時(shí)間域井中激電視極化率異常響應(yīng)較視電阻率異常響應(yīng)靈敏，綜合考慮這兩種視參量的空間分布特征，在一定程度上可以提高對(duì)相關(guān)異常體的分辨率，為今后野外的實(shí)際數(shù)據(jù)資料的解釋提供依據(jù)。

關(guān)鍵詞：有限差分法； 激發(fā)極化； IBCG法； 一維非零元素壓縮

0引言

激發(fā)極化法是根據(jù)巖、礦石的激發(fā)極化效應(yīng)解決地質(zhì)問題的一類地球物理勘探方法。而井中激發(fā)極化法(Induced polarization well logging)則是在鉆孔中運(yùn)用激發(fā)極化法，并與其他井中物探方法結(jié)合運(yùn)用，可以有效地解決在勘探金屬礦產(chǎn)中所遇到的一系列問題。

從七十年代開始，我國就比較系統(tǒng)地對(duì)井中激電進(jìn)行理論研究和實(shí)驗(yàn)應(yīng)用，經(jīng)過半個(gè)世紀(jì)的發(fā)展，取得了豐碩的成果。吳小平等[1-4]采用有限差分法對(duì)直流點(diǎn)電源作用下的三維地電體進(jìn)行數(shù)值模擬；潘和平等[5]結(jié)合解析法和數(shù)值法實(shí)現(xiàn)了地-井時(shí)域激電擬牛頓反演研究，提高了反演的精度；吳冰[6]進(jìn)行了地-井激電法探測盲礦體的數(shù)字模擬研究；周峰等[7-8]以球體為研究對(duì)象，采用有限差分法實(shí)現(xiàn)了井中激電地-井方式井旁球體正反演研究；呂玉增[9-10]實(shí)現(xiàn)了地-井、井-地IP三維快速正反演研究，對(duì)異常特征進(jìn)行了分析，同時(shí)編制了相應(yīng)的解釋軟件；李長偉[11]進(jìn)行井中激發(fā)極化法正反演，同時(shí)探討了相應(yīng)的快速迭代求解技術(shù)；張艷國[12]等進(jìn)行了地-井?dāng)嗝鍵P正演模擬研究，增大了地-井IP反演的數(shù)據(jù)量，提高了反演的精度；郭剛等[13]對(duì)井中激電地-井方式下的極化率異常特征進(jìn)行了計(jì)算研究，同時(shí)結(jié)合實(shí)際應(yīng)用加以說明。以上研究成果對(duì)于井中激電的應(yīng)用具有很大的指導(dǎo)意義。然而，這些研究大多僅考慮井-地或者地-井情形，沒有考慮井-井觀測模式，也沒能同時(shí)處理地-井、井-地、井-井情形下的井中激電正演問題，同時(shí)計(jì)算的效率也有待進(jìn)一步的提高。作者在前人的基礎(chǔ)上，在井-地、地-井、井-井的觀測模式下對(duì)時(shí)間域井中激發(fā)極化法三維有限差分進(jìn)行正演研究；探討了時(shí)間域井中激發(fā)極化法正演求解的原理和方法；給出了相應(yīng)的迭代求解算法過程，對(duì)井-地、地-井、井-井IP異?？臻g分布特征進(jìn)行分析，以期對(duì)井中激電的異常規(guī)律作進(jìn)一步揭示，進(jìn)而指導(dǎo)野外的實(shí)際資料的地質(zhì)解釋。

1邊值問題

穩(wěn)定電流場所滿足的微分方程：

·[σ(x,y,z)u(x,y,z)]=

-Iδ(x-x0)δ(y-y0)δ(z-z0)∈Ω

(1)

相應(yīng)的邊界條件

(2)

(3)

式中：σ為電導(dǎo)率；I為電流強(qiáng)度；u為電位；(z,y,z)、(x0,y0,z0) 分別為觀測點(diǎn)和點(diǎn)電流源的位置；δ為狄拉克函數(shù)；Γs為地面邊界；Γ∞為地下無窮邊界；n為邊界的外法向矢量；r為源點(diǎn)到邊界上節(jié)點(diǎn)的矢徑；θ為外法向矢量n和矢徑r之間的夾角。為了消除源點(diǎn)的奇異性，假設(shè)電流源附近電導(dǎo)率為δm的均勻半空間或者均勻全空間電位為u0，由無源區(qū)介質(zhì)電阻率分布引起的電位為us，于是

u=us+u0

(4)

顯然有源區(qū)電位滿足式(5)。

σm2u0=-Iδ(x-x0)δ(y-y0)δ(z-z0)(5)

結(jié)合式(1)和式(5)可得

·[σus)=-[(σ-σm)u0]

(6)

其相應(yīng)的邊界條件

(7)

(8)

對(duì)整個(gè)計(jì)算區(qū)域單元進(jìn)行差分離散，具體推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[14]。最后可得線性方程組，見式(9)。

Kus=b

(9)

式中:K為總體系數(shù)矩陣；b為右端項(xiàng)。求解此方程組，便可得us，利用式(4)即可求得總電位值u,根據(jù)文獻(xiàn)[15]即可計(jì)算出極化率。

2線性方程組的求解

經(jīng)過有限差分法離散形成的系數(shù)矩陣是對(duì)稱正定的，共軛梯度(CG)法是求解此類問題優(yōu)先選擇的方法之一。共軛梯度法在求解條件數(shù)很小的線性方程組時(shí)，收斂速率快，若線性方程組的條件數(shù)很大，則不易收斂。這里所形成的線性方程組條件數(shù)很大，為了提高其收斂速度，要對(duì)其進(jìn)行預(yù)處理，改善其條件數(shù)。作者采用不完全分解求解預(yù)條件矩陣，之后結(jié)合穩(wěn)定化雙共軛梯度(BICGSTAB)法求解差分方程組。根據(jù)Meijerink 等[16]提出的不完全Cholesky分解公式

A=MMT

(10)

其中

M=UD(-1/2)

(11)

及

(12)

式中: U為下三角矩陣；Uii=Dii。將方程(9)改寫成方程(13)。

[M-1A(MT)-1](MTu)=M-1b

(13)

將M、MT分別看做穩(wěn)定化雙共軛梯度算法中左右預(yù)條件矩陣，則可形成不完全Cholesky分解穩(wěn)定化雙共軛梯度算法，其具體迭代過程[17]如式(14)所示。

P(i)=r{i-1)+β(i-1)(P(i-1)-ωi-1ν(i-1))

s=r(i-1)-αiν(i)

(14)

ωi=(tTs)/(tTt)

r(i)=s-ωit

βi=(ρi/ρi-1/(ωi/αi)

enddo

3數(shù)值算例

3.1算例1

為了驗(yàn)證算法的正確性，設(shè)計(jì)三層水平大地模型。第一層電阻率為50 Ω·m，厚度為5 m，第二層電阻率為100 Ω·m，厚度為 10 m，第三層電阻率為20 Ω·m。供電電極在地面，采用對(duì)稱四極進(jìn)行測量，解析解采用數(shù)字濾波算法進(jìn)行計(jì)算，數(shù)值解與解析解對(duì)比如圖1所示。由圖1可知,數(shù)值解與解析解基本一致，這里采取的算法解點(diǎn)源三維地電場是可靠有效的。針對(duì)模型1，采用不同的算法，不同的網(wǎng)格大小在CPU Intel(R) Core(TM) i3 M380內(nèi)存2G的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行了試算。表1為ICCG和ICBG這兩種計(jì)算方法在相同的網(wǎng)格大小下的計(jì)算時(shí)間和迭代次數(shù)的對(duì)比表。由表1可知，無論在計(jì)算時(shí)間上，還是在迭代次數(shù)方面，不完全穩(wěn)定化雙共軛梯度算法(ICBG)，優(yōu)于不完全Cholesky共軛梯度法(ICCG)。

3.2算例2

如圖2所示，井深500 m,井口坐標(biāo)(0,0,0)，井旁有一板狀異常體，長、寬、高分別為20 m、100 m、50 m，其中心位于(110，0,225)處。采用地-井測量模式進(jìn)行觀測，將供電點(diǎn)分別置于A1=(0,0,0)、A2=(-20,0,0)、A3=(20，0，0)處供電，采用二極裝置沿井進(jìn)行測量。計(jì)算結(jié)果分別如圖3和圖4所示。

圖1　數(shù)值解與解析解Fig．1　Comparison between analytical and 　　numerical solutions

圖2　模型過XOZ斷面圖Fig．2　The XOZ section figure of model

方法50×50×50100×100×100時(shí)間/s迭代次數(shù)時(shí)間/s迭代次數(shù)不完全Cholesky共軛梯度法(ICCG)711260183不完全Cholesky穩(wěn)定化共軛梯度法(ICBG)5624095

圖3　不同供電點(diǎn)視電阻率曲線圖Fig．3　The apparent resistivity curves

圖4　不同供電點(diǎn)視極化率曲線圖Fig．4　The apparent chargeability curves

從圖3、圖4可以看出，視電阻率與視極化率均可以反映出低阻體的存在，視電阻率在異常體上邊界達(dá)到極小值，視極化率在異常體上邊界達(dá)到極大值。

3.3算例3

如圖5所示，有一豎井，井口位于處。井旁有兩個(gè)相同大小的異常體：①低阻高極化體，長、寬、高分別為30 m、30 m、20 m，異常體中心為(-25,-25,60)；②高阻高極化體，異常體中心為(25,25,40)。采用二極裝置進(jìn)行井-地測量，供電電極分別定在地下(0,0,20)、(0,0,0)、(0，0，70)處供電，在地表上沿著測線逐點(diǎn)測量。

地表視電阻率和視極化率平面等值線如圖6所示。

圖5　模型平面圖Fig．5　The section figure of model

圖6　不同供電點(diǎn)的地表視電阻率/極化率等值線圖Fig．6　Ground apparent resistivity and chargeability anomalycontour section of different point sources model(a)供電點(diǎn)(0,0,20)地表視電阻率等值線圖;(b)供電點(diǎn)(0,0,20)地表視極化率等值線圖;(c)供電點(diǎn)(0,0,25)地表視電阻率等值線圖;(d)供電點(diǎn)(0,0,25)地表視極化率等值線圖;(f)供電點(diǎn)(0,0,70)地表視電阻率等值線圖;(g)供電點(diǎn)(0,0,70)地表視極化率等值線圖

從圖6(a)、圖6(c)可知，地表視電阻率等值線，表現(xiàn)為一個(gè)高阻異常和一個(gè)低阻異常形態(tài)，與異常體在地面的投影位置基本吻合。由于高阻異常體比低阻異常體更靠近地表和供電點(diǎn)，故高阻異常體所形成的視電阻率異常較高于低阻異常體所引起的異常響應(yīng)。隨著供電點(diǎn)的深度加大，高阻體的地表視電阻率響應(yīng)依然明顯，然而，低阻體異常響應(yīng)卻變?nèi)酢膱D6(f)可以看出，隨著供電點(diǎn)位于異常體下面，低阻體在地表投影位置視電阻率呈高阻響應(yīng)，而高阻體在地表投影位置對(duì)應(yīng)的視電阻率呈低阻響應(yīng)，這是低阻體吸引電流，高阻排斥電流所致。圖6(b)為地表視極化率等值線圖，表現(xiàn)為兩個(gè)高極化異常形態(tài)，顯示出兩個(gè)高極化體的存在。高阻體的異常響應(yīng)要比低阻體更加明顯，低阻體的異常響應(yīng)中心往右上角方向偏移。由圖6(d)可以看出，隨著供電點(diǎn)的深度加大，異常中心由兩個(gè)變?yōu)橐粋€(gè)，對(duì)高阻體在地表投影位置比較吻合，主要反映的是高阻體。由圖6(g)可看到，隨著供電點(diǎn)處于兩個(gè)異常體下面，地表的視極化率等值線在兩個(gè)異常體在地表投影位置之間的中心呈高極化響應(yīng)，此時(shí)的高極化響應(yīng)是兩個(gè)異常體的綜合反映。

3.4算例4

如圖7所示，有兩豎井，井b1井口位于(0,0,0)處，作為測量井。井b2井口位于(-100,0,0)處，作為供電井。井旁有一異常體，長、寬、高均為50 m。其中心位于(0,0,250)處，井b1垂直穿過異常體中心。

采用井-井測量方式，設(shè)供電點(diǎn)分別位于A1=(-100,0,250)、A2=(-100,0,250)、A3=(-100,0,275)處供電，采用二極裝置沿井進(jìn)行測量，計(jì)算結(jié)果如圖8和圖9所示。由圖8、圖9可以看出，視電阻率曲線和視極化率曲線同樣能夠反映出低阻體的存在，在異常體的上下邊界視電阻率和視極化率均達(dá)到極值，兩者均很好地反映出異常體的大致位置。

圖7　模型過XOZ斷面圖Fig．7　The XOZ section figure of model

圖8　不同供電點(diǎn)的視電阻率率曲線Fig．8　The apparent resistivity curves

圖9　不同供電點(diǎn)的視極化率曲線Fig．9　The apparent chargeability curves

4結(jié) 論

作者研究了時(shí)域井中激電的三維正演問題，運(yùn)用異常電位法消除了源點(diǎn)奇異性，提高源附近解的精度。引入不完全分解穩(wěn)定化雙共軛梯度法迭代法求解線性方程組，快速實(shí)現(xiàn)了線性方程組的求解。值得注意的是，該方法同樣可以求解復(fù)數(shù)域的大型線性方程組。

通過分析不同測量模式下的異?？臻g分布特征可知，采用井-地面積測量方式，可以大致了解異常體在地面的投影位置，但這只能定性地分析。若要精確定位，還需進(jìn)行反演研究。地-井測量方式可知異常體的大小范圍；井-井測量模式有助探測井旁盲礦體，了解異常體與已知礦體之間的連接關(guān)系。總體而言，時(shí)域井中激電視極化率異常響應(yīng)較視電阻率響應(yīng)靈敏，綜合此兩種視參量，有助于提高對(duì)異常體的分辨率。算例結(jié)果驗(yàn)證了方法的可靠性和高效性，能夠很好反映出異常場的特征，從而為進(jìn)一步進(jìn)行井中激電反演和解釋研究奠定基礎(chǔ)。

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收稿日期：2015-03-12改回日期：2015-04-02

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(201300541164004)；廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2011GXNSFA018003，2013GXNSFAA019277)；桂林市“漓江學(xué)者”專項(xiàng)(2013005)

作者簡介：陳漢波(1990-)，男，碩士，主要從事電磁場數(shù)值模擬與反演研究，E-mail：563179536@qq.com 。 *通信作者：熊彬(1974-)，男，博導(dǎo)，主要從事電磁法數(shù)據(jù)模擬與反演成像研究，E-mail：xiongbin@glute.cdu.cn。

文章編號(hào)：1001-1749(2016)03-0314-07

中圖分類號(hào)：P 631.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.3969/j.issn.1001-1749.2016.03.04

The anomaly spatial distribution of surface-borehole,borehole-surface and borehole-borehole IP method

CHEN Han-bo， XIONG Bin

(College of Earth Sciences, Guilin University of Technology, Guilin541004, China)

Abstract:Induced polarization well logging is a preferred method for surveying deep metal mineral resources. The main task in this paper is to solve the forward problem of induced polarization well logging by using the finite difference method and the abnormal field Method. First, the 3D anomalous potential basic differential equation of point source is derivated in detailed. The technique of the one-dimensional non-zero element row compression is used to store the sparse coefficient matrix. The result shows that it can save much memory space and reduce compute capacity. It is high efficiency to solve the system of linear equations with the method. After the forward of the surface-borehole, borehole-surface and borehole-borehole IP method. The results display that the apparent chargeability anomaly is more sensitive than the apparent resistivity. Considering the distribution space characteristics of the apparent parametric, it can, to a certain extent, improve the resolution of abnormal body and provide a basis to analyze actual field data in future.

Key words:finite difference method; induced polarization; ICBG method; one-dimensional non-zero element row compression